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Hi
ich war seit längerem krank und hab heut im Seminar diese Aufgabe bekommen, doch nach zählreichen fehlgeschlagenen Lösungsversuchen, wende ich mich vertrauensvoll an euch.
Eine Zerlegung einer Menge X ist eine Menge M= {A1,A2, . . .} nichtleerer
Teilmengen von X mit den Eigenschaften
[mm] A_{i} \cap A_{j} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j
[mm] \bigcup A_{i} [/mm] = X
Zeigen Sie, dass auf X durch
x [mm] \sim [/mm] y : [mm] \gdw \exists [/mm] i [mm] \in [/mm] N mit x, y [mm] \in A_{i}
[/mm]
eine Äquivalenzrelation definiert wird. Begrüunden Sie, warum man Äquivalenzrelationen auf X und Zerlegungen von X identifizieren kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Di 09.11.2004 | | Autor: | Astrid |
Hallo Robert,
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> Eine Zerlegung einer Menge X ist eine Menge M= {A1,A2, . .
> .} nichtleerer
> Teilmengen von X mit den Eigenschaften
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> [mm]A_{i} \cap A_{j}[/mm] = [mm]\emptyset[/mm] für i [mm]\not=[/mm] j
>
> [mm]\bigcup A_{i}[/mm] = X
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> Zeigen Sie, dass auf X durch
>
> x [mm]\sim[/mm] y : [mm]\gdw \exists[/mm] i [mm]\in[/mm] N mit x, y [mm]\in A_{i}
[/mm]
>
>
> eine Äquivalenzrelation definiert wird.
Du mußt hierfür zeigen:
[mm]\forall x,y,z \in X[/mm]
(i) x ~ x
(ii) x ~ y [mm] \Rightarrow [/mm] y ~ x
(iii) x ~ y und y ~ z [mm] \Rightarrow [/mm] x ~ z
Ok, was heißt das für unsere Definition?
(i) Ist x ~ x? Ja, weil natürlich ein [mm]i \in \IN[/mm] existiert, so dass [mm]x \in A_i[/mm], da die Vereinigung der [mm] A_i [/mm] wieder X ist.
(ii) Sei also x ~ y. Das heißt, [mm]\exists i \in \IN \ mit \ x, y \in A_{i}[/mm]. Da man aber genausogut sagen kann, dass [mm]y, x \in A_{i}[/mm] - ich mache das jetzt ganz ausführlich  -, gilt auch y ~ x.
(iii) Sei nun x ~ y und y ~ z. Dann gilt... versuche es doch jetzt einmal allein! Was gilt? Was mußt du zeigen?
Falls du weitere konkrete Fragen hast, einfach posten!
Gruß,
Astrid
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Di 07.11.2006 | | Autor: | gamer |
Wie begründet man, warum man Äquivalenzrelationen auf X und Zerlegungen von X identifizieren kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Di 07.11.2006 | | Autor: | statler |
Guten Tag!
> Wie begründet man, warum man Äquivalenzrelationen auf X und
> Zerlegungen von X identifizieren kann?
Indem man eine bijektive Abbildung von der Menge der Äquivalenzrelationen in/auf die Menge der Zerlegungen angibt. Einen Teil hast du schon gemacht, das war die Aufgabe. Fehlt noch die Umkehrabb. bzw. der Nachweis, daß diese Abb. bijektiv ist.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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