Elemtarteiler von Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:34 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Dana22 |
Was sind Elementarteiler von Matrizen? Wie berechnet man sie? Ich habe in meiner Aufgabe zwei Matrizen gegeben und soll die Elementarteiler berechnen. ABER WIE???? In der Vorlesung wurde da (leider) nichts weiter zu gesagt und in Büchern hab ich bisher auch nix Brauchbares dazu gefunden!
Und das sind die zwei Matrizen: (oder zeigt mir bitte, wie man es rechnet an zwei anderen Matrizen, aber bitte zeigt es mir!)
[mm] \begin{pmatrix}
2 & 6 & 8 \\
3 & 1 & 2 \\
9 & 5 & 4
\end{pmatrix} [/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
4 & 0 & 0 \\
1 & 10 & 0 \\
0 & 0 & 15
\end{pmatrix} [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Fr 18.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Dana!
Es geht also um die Berechnung der Smith-Normalform.
Ausführliche Algorithmen dazu (mit Beispielen!) findest du hier:
![[]](/images/popup.gif) http://www.numerik.uni-kiel.de/~gej/talk1/berlin.ps
Als ausführliche Literaturgrundlage empfehle ich dir das Buch "Kowalsky: Lineare Algebra", Kapitel 11: Moduln über Hauptidealringen. Ich habe es gerade selber kurz überflogen, ist nicht gerade trivial, aber sehr ausführlich. Und es wird auch ein Beispiel durchgerechnet.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Sa 19.06.2004 | | Autor: | Dana22 |
Vielen, vielen Dank, Stefan. Das hat mir sehr weitergeholfen.
Nun hab ich trotzdem noch ganz kurz zum Verständnis eine Frage.
Zur 1. Matrix:
Da hab ich versucht die Eigenwerte auszurechnen und um dann eine Aussage übers charakteristische Polynom, Minimalpolynom und zur Diagonalisierbarkeit von A zu machen.
Mathematica hat mir komplexe Werte ausgespuckt. Somit hat doch dann A in Z keine Eigenwerte, kein charakteristische Polynom, kein Minimalpolynom und somit ist auch A nicht diagonalisierbar. Oder lieg ich da jetzt falsch???
Wenn A aber auch nicht diagonaliserbar ist, exisiert doch auch nicht C (die sogenannte SMITH-Normalform, bei der auf der Diagonale die Elementarteiler stehen).
Hab ich das nun richtig verstanden???
Wenn A nicht diagonalisierbar ist, existiert C nicht und damit sind keine Elementarteiler bestimmbar.
So, zur zweiten Matrix B:
B ist ja schon in Diagonalform. Nun wurde aber in deinem angegebenen Skript gesagt, dass für C (wo ich dann die Elementarteiler ablesen kann) gelten muß, dass [mm] a_i_,_i [/mm] | [mm] a_i_+_1_,_i_+_1
[/mm]
Und das ist ja hier leider nicht der Fall. Was mach ich nun hier??? Kann ich die Matrix B noch irgendwie umändern, dass die obengenannte Bedingung erfüllt ist??
Bitte nochmal um eine Antwort. Danke Dana.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Dana!
> Zur 1. Matrix:
> Da hab ich versucht die Eigenwerte auszurechnen und um
> dann eine Aussage übers charakteristische Polynom,
> Minimalpolynom und zur Diagonalisierbarkeit von A zu
> machen.
Das hat mit Eigenwerten und Diagonalisierbarkeit nichts zu tun. Es handelt sich ja nicht um eine Ähnlichkeitstransformation.
> Mathematica hat mir komplexe Werte ausgespuckt. Somit hat
> doch dann A in Z keine Eigenwerte, kein charakteristische
> Polynom, kein Minimalpolynom und somit ist auch A nicht
> diagonalisierbar. Oder lieg ich da jetzt falsch???
Ja.  (Siehe oben.) Im Übrigen: ein charakteristisches Polynom existiert immer! Du meintest wohl: Das charakteristische Polynom hat keine Nullstellen in [mm] $\IZ$. [/mm] Aber auch das ist völlig irrelevant. Hast du dir den Link wirklich durchgelesen? Du solltest die Sachen unbedingt auch noch mal im "Kowalsky" nachlesen.
> Wenn A aber auch nicht diagonaliserbar ist, exisiert doch
> auch nicht C (die sogenannte SMITH-Normalform, bei der auf
> der Diagonale die Elementarteiler stehen).
>
> Hab ich das nun richtig verstanden???
Nein.
> Wenn A nicht diagonalisierbar ist, existiert C nicht und
> damit sind keine Elementarteiler bestimmbar.
Falsch.
> So, zur zweiten Matrix B:
> B ist ja schon in Diagonalform. Nun wurde aber in deinem
> angegebenen Skript gesagt, dass für C (wo ich dann die
> Elementarteiler ablesen kann) gelten muß, dass [mm]a_i_,_i[/mm] |
> [mm]a_i_+_1_,_i_+_1
[/mm]
> Und das ist ja hier leider nicht der Fall. Was mach ich
> nun hier??? Kann ich die Matrix B noch irgendwie umändern,
> dass die obengenannte Bedingung erfüllt ist??
Ja. Die Smith-Normalform existiert immer. Aber die technischen Details, wie man sie ausrechnet (die ja teilweise recht aufwändig sind), musst du dir schon selber mit Hilfe des Links und des angegebenen Buches beibringen. Das würde hier zu viel Zeit und Mühe kosten und kann auch nicht die Aufgabe eines solchen Forums sein.
Liebe Grüße
Stefan
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