Eliminieren < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Fr 24.05.2013 | | Autor: | miniwind |
| Aufgabe | | Y=C1⋅e^(x)+C2⋅e^(2x) |
Hallo,
kann mir jemand helfen die Aufgabe mit dem Eliminationsverfahren zu lösen.
Y=C1⋅ex+C2⋅e2x
Ich weiß man kann das auch ohne eliminieren.
Liebe Grüße Jasmin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Fr 24.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Jasmin,
> Y=C1⋅e^(x)+C2⋅e^(2x)
> Hallo,
> kann mir jemand helfen die Aufgabe mit dem
> Eliminationsverfahren zu lösen.
> Y=C1⋅ex+C2⋅e2x
>
> Ich weiß man kann das auch ohne eliminieren.
Das ist doch keine DGl. Da steht ja schon eine fertige Funktion. Was willst Du da eliminieren?
Das Eliminationsverfahren wird bei DGl-Systemen angewandt.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Fr 24.05.2013 | | Autor: | miniwind |
Es soll halt die Differentialgleichung von der allgemeine Lösung aufgestellt werden.
Lösung ist:
y''-3y'+2Y=0
Durch das elminieren kommt man auf die Gleichung, aber ich weiß nicht wie das geht.
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Hallo nochmal,
> Es soll halt die Differentialgleichung von der allgemeine
> Lösung aufgestellt werden.
Aha. Es ist immer besser, wenn Du die ganze Aufgabenstellung schon am Anfang verrätst, das erspart eine Menge Ratearbeit. 
> Lösung ist:
> y''-3y'+2Y=0
>
> Durch das elminieren kommt man auf die Gleichung, aber ich
> weiß nicht wie das geht.
Du bildest erstmal die 1. und 2. Ableitung.
Dann möchtest Du ja, dass aY+bY'+cY''=0 ist.
Schau Dir dazu die Glieder mit [mm] e^x [/mm] und [mm] e^{2x} [/mm] an.
Du bekommst ein gewöhnliches lineares Gleichungssystem für drei Variable, aber nur mit zwei Gleichungen.
Dann kannst Du das Eliminationsverfahren anwenden.
Die Lösung ist einfach unterbestimmt, enthält also noch einen Parameter. Das ist klar. Hier ist ja z.B. 7Y''-21Y'+14Y=0 die gleiche Lösung.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Fr 24.05.2013 | | Autor: | miniwind |
Meine Ableitungen sind:
y'=C1*e^(x)+2*C2*e^(2x)
y''=C1*e^(X)+4*C2*e^(2x)
und jetzt muss man doch y in die Ableitungen einsetzten, oder?
Ich weiß nicht wie ich die gleichungen auflösen soll?
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Hallo miniwnd,
> Meine Ableitungen sind:
> y'=C1*e^(x)+2*C2*e^(2x)
> y''=C1*e^(X)+4*C2*e^(2x)
>
> und jetzt muss man doch y in die Ableitungen einsetzten,
> oder?
> Ich weiß nicht wie ich die gleichungen auflösen soll?
Das kannst Du z.B mit dem Einsetzungsverfahren
oder mit dem Additionsverfahren machen.
Gruss
MahtePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Fr 24.05.2013 | | Autor: | miniwind |
Wo würdest du den Y=C1*e^(x)+C2*e^(2x) einsetzen in der ersten ableitung? Da muss ja minus y nachher stehen.
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Hallo miniwind,
> Wo würdest du den Y=C1*e^(x)+C2*e^(2x) einsetzen in der
> ersten ableitung? Da muss ja minus y nachher stehen.
Ich würde y-y' rechnen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Fr 24.05.2013 | | Autor: | miniwind |
Dann hat man:
Y=C1*e^(x)+C2*e^(2x) /-y'
Y'=C1*e^(X)+2*C2*e^(2x)
y-y'=-2
Y=C1*e^(x)+C2*e^(2x) /-y''
Y''=C1*e^(x)+4*C2*e^(2x)
y-y''=-3
und jetzt komm ich nicht weiter
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Hallo miniwind,
> Dann hat man:
> Y=C1*e^(x)+C2*e^(2x) /-y'
> Y'=C1*e^(X)+2*C2*e^(2x)
>
> y-y'=-2
>
Das muss doch lauten:
[mm]y-y'=-\red{1*e^{x}[/mm]
> Y=C1*e^(x)+C2*e^(2x) /-y''
> Y''=C1*e^(x)+4*C2*e^(2x)
>
> y-y''=-3
Hier analog:
[mm]y-y''=-3*\red{e^{x}[/mm]
>
> und jetzt komm ich nicht weiter
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Fr 24.05.2013 | | Autor: | miniwind |
Aber damit komme ich ja nicht auf die Lineare Gleichung.
Y''-3Y'+2Y=0
hm, und wieso e^(x) das fällt doch weg.
Die Konstanten und e- funktion löse sich doch auf.
hm, irgendwie verstehe ich das nicht;(
sorry
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Hallo miniwind,
> Aber damit komme ich ja nicht auf die Lineare Gleichung.
> Y''-3Y'+2Y=0
>
> hm, und wieso e^(x) das fällt doch weg.
> Die Konstanten und e- funktion löse sich doch auf.
> hm, irgendwie verstehe ich das nicht;(
Da hast Du recht.
Ich meinte naturlich [mm]e^{-2*x}[/mm]
> sorry
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Fr 24.05.2013 | | Autor: | miniwind |
y-y'=-1*e^(2x) und y-y''=-3*e^(2x)
Wie kriege ich den jetzt die Lineare Gleichung aufgestellt?
Tut mir leid, dass ich dich solange aufhalte.
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Hallo miniwind,
> y-y'=-1*e^(2x) und y-y''=-3*e^(2x)
>
> Wie kriege ich den jetzt die Lineare Gleichung
> aufgestellt?
> Tut mir leid, dass ich dich solange aufhalte.
Addiere das -3 fache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung.
Gruss
MathePower
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Hallo miniwind,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Y=C1⋅e^(x)+C2⋅e^(2x)
> Hallo,
> kann mir jemand helfen die Aufgabe mit dem
> Eliminationsverfahren zu lösen.
> Y=C1⋅ex+C2⋅e2x
>
> Ich weiß man kann das auch ohne eliminieren.
>
Bilde y' und y''.
Ermittle daraus [mm]C_{1}[/mm] und [mm]C_{2}[/mm]
Setze dies dann in
[mm]y=C_{1}⋅e^{x}+C_{2}⋅e^{2x}[/mm]
ein.
> Liebe Grüße Jasmin
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 Sa 25.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Y=C1⋅e^(x)+C2⋅e^(2x)
> Hallo,
> kann mir jemand helfen die Aufgabe mit dem
> Eliminationsverfahren zu lösen.
> Y=C1⋅ex+C2⋅e2x
>
> Ich weiß man kann das auch ohne eliminieren.
>
> Liebe Grüße Jasmin
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Wenn ich es richtig verstehe, so soll [mm] y(x)=C_1⋅e^x+C_2⋅e^{2x} [/mm] die allgemeine Lösung einer homogenen linearen DGL 2.Ordnung mit konstanten Koeffizienten sein.
Eine solche DGL hat die Form
(*) $y''+ay'+by=0$
Damit ist [mm] y(x)=e^x [/mm] eine Lösung von (*) [mm] (C_1=1 [/mm] und [mm] C_2=0)
[/mm]
Setzt man das in (*) ein, so bekommt man:
[mm] (1+a+b)e^x=0,
[/mm]
also
1+a+b=0.
Ebenso ist [mm] y(x)=e^{2x} [/mm] eine Lösung von (*). Das liefert
[mm] (4+2a+b)e^{2x}=0,
[/mm]
Also:
4+2a+b=0.
Jetzt löse das LGS
1+a+b=0
4+2a+b=0.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Sa 25.05.2013 | | Autor: | fred97 |
So kann mans auch machen:
Zu
(*) $ y''+ay'+by=0 $
gehört das char. Polynom
[mm] p(\lambda)=\lambda^2+a*\lambda+b.
[/mm]
Ist nun [mm] \lambda_0 \in \IR [/mm] oder [mm] \in \IC [/mm] und ist [mm] y(x)=e^{\lambda_0 *x} [/mm] eine Lösung von (*), so gilt [mm] p(\lambda_0)=0
[/mm]
Nun sind [mm] e^x [/mm] und [mm] e^{2x} [/mm] Lösungen von (*), also hat p die Nullstellen 1 und 2.
Daher: [mm] p(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2).
[/mm]
Jetzt ausmultiplizieren und Du hast a und b.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 Sa 25.05.2013 | | Autor: | miniwind |
Vielen Dank;)
Ich habe die Aufgabe jetzt auch endlich mal verstanden;)
Gruß Miniwind
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