Ellipse, Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
Für a,b > 0 sei durch E = {(x,y): [mm] \bruch{x^{2}}{a^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{y^{2}}{b^{2}} [/mm] = 1} eine Ellipse im [mm] \IR^{2} [/mm] gegeben, sowie der Punkt [mm] P_{0} [/mm] = [mm] (\bruch{a}{\wurzel{2}}, \bruch{b}{\wurzel{2}}). [/mm]
Weiterhin sei f(x,y) = 2 - [mm] (\bruch{x^{2}}{a^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{y^{2}}{b^{2}}). [/mm]
a) Berechnung des (äußeren) Normaleneinheitsvektor [mm] \vec{\nu} [/mm] an E im Punkt [mm] P_{0}.
[/mm]
b) Berechnung der Richtungsableitung [mm] \bruch{\partial f}{\partial \vec{\nu}} (P_{0}).
[/mm]
c) Gleichung der Tangetialebene an f im Punkt [mm] (P_{0}, f(P_{0})).
[/mm]
Für a) haben wir ja eine Punkteschar, die auf der Ellipse wandert. Also müssen wir den Normalenvektor in Abhängigkeit von a und b berechnen? Normaleneinheitsvektor bedeutet doch, dass dieser in jedem Punkt [mm] P_{0} [/mm] senkrecht zur Tangente in diesem Punkt steht?
Kann man da zuerst die Ableitung in Punkt [mm] P_{0} [/mm] berechnen, um auf den Anstieg der Tangente zu kommen und dann die Normale bilden?
Für b) benötigen wir ja erst einmal den Vektor aus a). Aber dann sollte es ja einsetzen in die Definiton der Richtungsableitung sein ...
Für c) rechnen wir erstmal die den Punkt aus:
[mm] (P_{0}, f(P_{0})) [/mm] = [mm] ((\bruch{a}{\wurzel{2}}, \bruch{b}{\wurzel{2}}), [/mm] 1). Dann müssen wir die partiellen Ableitungen nach x und y berechnen. Aber wie geht es dann weiter? Wir benötigen ja mindestens zwei Vektoren, die dann unsere Ebene aufspannen, und wir wissen das diese Ebene f im Punkt [mm] (P_{0}, f(P_{0})) [/mm] berührt, also ist dieser Punkt ebenfalls in der Ebene enthalten ?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Gruß.
|
|
| |
|
Hab mir zu dieser Thematik nun ein bisschen was durchgelesen und bin auf die Differentialgeometrie gestoßen.
Insbesondere auf Frenetgleichungen.
Diese stellen einen Zusammenhang zwischen Krümmung, dem Tangentenvektor und dem Normalenvektor her.
Sind diese Gleichungen hier anwendbar? Wenn ja, wie kann ich da ran gehen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:13 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Palindrom |
Mit diesem Ansatz komme ich auch nicht weiter.
Da ich bereits die Voraussetzung zur Anwendung nicht nachvollziehen kann.
Wie kann einfacher an diese Problematik herangehen?
Wäre dankbar für jede Erklärung :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mi 22.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 Mo 20.05.2013 | | Autor: | chrisno |
Hallo,
> ...
> Für a) ....
> Kann man da zuerst die Ableitung in Punkt [mm]P_{0}[/mm] berechnen,
> um auf den Anstieg der Tangente zu kommen und dann die
> Normale bilden?
Ja.
>
> Für b) benötigen wir ja erst einmal den Vektor aus a).
> Aber dann sollte es ja einsetzen in die Definiton der
> Richtungsableitung sein ...
Ja.
>
> Für c) rechnen wir erstmal die den Punkt aus:
> [mm](P_{0}, f(P_{0}))[/mm] = [mm]((\bruch{a}{\wurzel{2}}, \bruch{b}{\wurzel{2}}),[/mm]
> 1). Dann müssen wir die partiellen Ableitungen nach x und
> y berechnen. Aber wie geht es dann weiter? Wir benötigen
> ja mindestens zwei Vektoren, die dann unsere Ebene
> aufspannen, und wir wissen das diese Ebene f im Punkt
> [mm](P_{0}, f(P_{0}))[/mm] berührt, also ist dieser Punkt ebenfalls
> in der Ebene enthalten ?
Genau. Damit hast Du den Stützvektor.
Mit den partiellen Ableitungen hast Du die Spannvektoren.
|
|
|
| |
|
zu a) habe ich mir überlegt eine Tangentialebene an den Punkt [mm] P_0 [/mm] zu legen und mit Hilfe des Kreuzproduktes dann den Normalenvektor zu berechnen:
Die Gleichung für die Tangentialebene lautet allgemein:
z = [mm] f(P_0) [/mm] + [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} f(P_0) [/mm] (x - [mm] p_1) [/mm] + [mm] \bruch{\partial f}{\partial y} f(P_0) [/mm] (y - [mm] p_2)
[/mm]
Dafür habe ich jetzt nun erstmal den Funktionswert [mm] f(P_0) [/mm] berechnet
[mm] f(P_0) [/mm] = 1.
Dann hab ich die partiellen Ableitungen gebildet:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] -2x/a^2 [/mm] und
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] = [mm] -2y/b^2.
[/mm]
Dann den Punkt in meine Ableitungen eingesetzt:
[mm] f_x (a/\wurzel{2}, b/\wurzel{2}) [/mm] = - [mm] \wurzel{2}/a [/mm] und
[mm] f_y (a/\wurzel{2}, b/\wurzel{2}) [/mm] = - [mm] \wurzel{2}/b.
[/mm]
Damit ergibt sich für die Tangentialebene:
z = 1 - [mm] \wurzel{2}/a [/mm] (x - [mm] a/\wurzel{2}) [/mm] - [mm] \wurzel{2}/b [/mm] (y - [mm] b/\wurzel{2}) [/mm] = - [mm] \wurzel{2}/a [/mm] x - [mm] \wurzel{2}/b [/mm] y + 1.
Daraus habe ich dann die beiden Richtungsvektoren bestimmt:
[mm] \overrightarrow{r}_{1} [/mm] = [mm] [-(a/b),1,0]^T [/mm] und
[mm] \overrightarrow{r}_{2} [/mm] = [mm] [0,0,1]^T.
[/mm]
Das Kreuzprodukt liefert dann:
[mm] \overrightarrow{n} [/mm] = [mm] [1,(a/b),0]^T [/mm]
Da wir aber den Normaleneinheitsvektor suchen müssen wir Komponenten noch durch den Betrag teilen, also haben wir:
[mm] \overrightarrow{n} [/mm] = [(1/ [mm] \wurzel{1 + a^2/b^2}, [/mm] a/(b [mm] \wurzel{1 + a^2/b^2}, 0]^T.
[/mm]
Ist dies soweit richtig ?
Wenn ich diesen Vektor dann für b) benutze komme ich aber leider auf kein Ergebnis.
Könnte mir da einer einen Ansatz geben ?
Danke und Gruß :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:08 Fr 24.05.2013 | | Autor: | chrisno |
Bei a) handelt es sich um eine Ellipse, also eine Kurve im [mm] $\IR^2$. [/mm] Da gibt es keine Tangentialebene, nur eine Tangente.
Du hast also c) gelöst. Ich habe nur bis z = ... nachgerechnet.
|
|
|
| |
|
Okay, dann habe ich das wohl beides durcheinander gebracht.
Für die Ellipse gibt es ja dann eine Tangentengleichung:
Wenn [mm] (x_{1},y_{1}) [/mm] ein Punkt auf meiner Ellipse $ [mm] \bruch{(x-c)^2}{a^2}+\bruch{(y-d)^2}{b^2}=1 [/mm] $ ist, dann soll die Tangentengleichung [mm] \bruch{(x-c)(x_1-c)}{a^2}+\bruch{(y-d)(y_1-d)}{b^2}=1 [/mm] ?
Wenn ich dann meinen Punkt hier einsetze und c = d = 0 gilt, habe ich:
[mm] \bruch{xa}{\wurzel{2}a^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{yb}{\wurzel{2}b^{2}} [/mm] = 1
[mm] \bruch{x}{\wurzel{2}a} [/mm] + [mm] \bruch{y}{\wurzel{2}b} [/mm] = 1
Ist das meine Tangentengleichung ?
Wenn ja hätte diese dann den Anstieg - [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}a} [/mm] ?
Und daraus bestimme ich dann die Normale ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Fr 24.05.2013 | | Autor: | chrisno |
Ob das so stimmt habe ich nicht nachgeprüft. Du kannst auch die Ellipsengleichung umformen in f(x) = ... und dann nach x Ableiten und verglichen. Es müsste ja das Gleiche herauskommen. Die Normale steht senkrecht zur Tangente. Also anstelle der Steigung m -1/m verwenden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Fr 24.05.2013 | | Autor: | Palindrom |
Danke :)
Hab es mit der Ableitung überprüft, mein erstes Ergebnis kann nicht stimmen. Hab auch noch eine Formel in einer Formelsammlung für die Tangente gefunden und die beiden Werte stimmen jetzt überein.
Die Richtungsableitung macht dann auch keine Probleme mehr.
Danke & Gruß.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:11 Fr 24.05.2013 | | Autor: | lol13 |
> Danke :)
>
> Hab es mit der Ableitung überprüft, mein erstes Ergebnis
> kann nicht stimmen. Hab auch noch eine Formel in einer
> Formelsammlung für die Tangente gefunden und die beiden
> Werte stimmen jetzt überein.
Mit welcher Formel hast du nun weitergerechnet?
>
> Die Richtungsableitung macht dann auch keine Probleme mehr.
>
> Danke & Gruß.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 So 26.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Fr 24.05.2013 | | Autor: | lol13 |
> zu a) habe ich mir überlegt eine Tangentialebene an den
> Punkt [mm]P_0[/mm] zu legen und mit Hilfe des Kreuzproduktes dann
> den Normalenvektor zu berechnen:
>
> Die Gleichung für die Tangentialebene lautet allgemein:
>
> z = [mm]f(P_0)[/mm] + [mm]\bruch{\partial f}{\partial x} f(P_0)[/mm] (x -
> [mm]p_1)[/mm] + [mm]\bruch{\partial f}{\partial y} f(P_0)[/mm] (y - [mm]p_2)[/mm]
>
> Dafür habe ich jetzt nun erstmal den Funktionswert [mm]f(P_0)[/mm]
> berechnet
>
> [mm]f(P_0)[/mm] = 1.
>
> Dann hab ich die partiellen Ableitungen gebildet:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] = [mm]-2x/a^2[/mm] und
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] = [mm]-2y/b^2.[/mm]
>
> Dann den Punkt in meine Ableitungen eingesetzt:
>
> [mm]f_x (a/\wurzel{2}, b/\wurzel{2})[/mm] = - [mm]\wurzel{2}/a[/mm] und
> [mm]f_y (a/\wurzel{2}, b/\wurzel{2})[/mm] = - [mm]\wurzel{2}/b.[/mm]
>
> Damit ergibt sich für die Tangentialebene:
>
> z = 1 - [mm]\wurzel{2}/a[/mm] (x - [mm]a/\wurzel{2})[/mm] - [mm]\wurzel{2}/b[/mm] (y -
> [mm]b/\wurzel{2})[/mm] = - [mm]\wurzel{2}/a[/mm] x - [mm]\wurzel{2}/b[/mm] y + 1.
muss da nicht +3 stehen oder habe ich mich verrechnet?
> Daraus habe ich dann die beiden Richtungsvektoren bestimmt:
>
> [mm]\overrightarrow{r}_{1}[/mm] = [mm][-(a/b),1,0]^T[/mm] und
> [mm]\overrightarrow{r}_{2}[/mm] = [mm][0,0,1]^T.[/mm]
>
> Das Kreuzprodukt liefert dann:
>
> [mm]\overrightarrow{n}[/mm] = [mm][1,(a/b),0]^T[/mm]
>
> Da wir aber den Normaleneinheitsvektor suchen müssen wir
> Komponenten noch durch den Betrag teilen, also haben wir:
>
> [mm]\overrightarrow{n}[/mm] = [(1/ [mm]\wurzel{1 + a^2/b^2},[/mm] a/(b
> [mm]\wurzel{1 + a^2/b^2}, 0]^T.[/mm]
>
> Ist dies soweit richtig ?
>
> Wenn ich diesen Vektor dann für b) benutze komme ich aber
> leider auf kein Ergebnis.
> Könnte mir da einer einen Ansatz geben ?
>
> Danke und Gruß :)
>
|
|
|
| |
|
Ja, das stimmt.
Da hab ich einen Fehler gemacht und beim Klammer auflösen die + 1 jeweils vergessen.
Dann macht das 3 :)
Gruß
|
|
|
|
