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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Sa 05.11.2005 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Leute,
ich wäge mich mal wieder in der Situation, eine Frage stellen zu müssen :/
Ich sitze jetzt seit etwa zwei Tagen an dieser Aufgabe und habe Seiten mit Sinen und Cosinen gefüllt, aber die Lösungsidee scheint mir verwehrt zu bleiben.
Ausgehend von einer Ellipse, deren Hauptachse mit der x-Achse übereinstimmt und deren linker Brennpunkt im Koordinatenursprung liegt, gilt für den variablen, vom Winkel zwischen Ellipsenpunkt und Ursprung abhängigen Radius:
[mm] $r(\phi) [/mm] = [mm] \bruch{p}{1-\epsilon * cos\phi} [/mm] = [mm] \bruch{a^2-s^2}{a-s * cos\phi}$
[/mm]
Dabei ist $p = a*(1 - [mm] \epsilon^2)$ [/mm] der Halbparameter, [mm] $\epsilon [/mm] = [mm] \bruch{s}{a}$ [/mm] die numerische Exzentrizität und s die lineare Exzentrizität der Ellipse. a bezeichnet die große Halbachse.
Diese Tatsache ist durch $||x|| + ||x'|| = 2a$ zu folgern, wobei x den Vektor vom linken Brennpunkt zu einem Punkt auf der Ellipsenbahn bezeichnet, und x' entsprechend den Vektor zu diesem Punkt ausgehend vom rechten Brennpunkt der Ellipse.
Zunächst habe ich gesehen, dass $||x||$ dem gesuchten Radius entsprechen muss, also sollte man über [mm] $r(\phi) [/mm] = ||x|| = 2a-||x'||$ zu einer Lösung kommen. Dachte ich. Leider stellte sich mir hier das grundsätzliche Problem, ||x'|| zu beschreiben, ohne wieder den Radius zu verwenden.
Anschließend habe ich mich darauf besonnen, einen Punkt x auf der Ellipsenbahn durch die einfache Form $x = [mm] \vektor{s+a*cos\phi_M \\b*sin\phi_M}$ [/mm] zu beschreiben, jedoch ist [mm] $\phi_M$ [/mm] nicht der in der Radiusformel gesuchte Winkel zwischen x-Achse über den Koordinatenursprung zum Punkt, sondern der Winkel zwischen x-Achse, Mittelpunkt der Ellipse und Punkt.
Die nächsten Seiten habe ich frohen Mutes versucht, diese beiden Winkel ineinander zu überführen, Maple gibt mir aber immer wieder unliebe Graphiken aus, die mein Ergebnis untergraben.
Davon abgesehen hilft mir dieser Ansatz auch nicht weiter, um auf die gesuchte Form zu kommen.
Im Moment zweifle ich, dass ich alsbald auf ein Ergebnis kommen werde, ich scheine mich zu sehr auf die Verfahren versteift zu haben, die ich bis jetzt verfolgt habe.
Sollte schon meine Vermutung [mm] $r(\phi) [/mm] = ||x||$ falsch sein?
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 Mo 07.11.2005 | | Autor: | AT-Colt |
Kann jemand bitte die Frage auf "beantwortet" Stellen? Ich kann sie nicht zurückziehen und nicht selbst beantworten ^^;
Nochmal zu den Voraussetzungen:
Ellipse mit großer Halbachse auf der x-Achse und Ursprung auf dem linken Brennpunkt, a ist die große Halbachse, s die lineare Exzentrizität, [mm] $\epsilon [/mm] = [mm] \bruch{s}{a}$ [/mm] die numerische Exzentrizität und $p = a [mm] (1-\epsilon)$ [/mm] der Halbparameter.
Der Vektor x zeigt vom Ursprung aus auf einen Punkt, der Vektor x' vom rechten Brennpunkt aus.
Ausgehend von ||x|| + ||x'|| = 2a betrachte man ||x'|| = 2a - ||x|| = 2a - r.
Nun kommt das zum tragen, woran ich mich nicht mehr erinnern konnte: Der Kosinussatz.
Es gilt für ||x'||:
[mm] $||x'||^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm] + [mm] 4s^2 [/mm] -4sr [mm] \cos(\phi) [/mm] = [mm] 4a^2 +r^2 [/mm] -4ar$
Nun löst man einfach nach r auf:
$4r(a-s [mm] \cos(\phi)) [/mm] = [mm] 4a^2 [/mm] - [mm] 4s^2$
[/mm]
$r = [mm] \bruch{a^2-s^2}{a-s \cos(\phi)} [/mm] = [mm] \bruch{p}{1-\epsilon \cos(\phi)}$
[/mm]
greetz
AT-Colt
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