Empirische Verteilungsfunktion < Statistik/Hypothesen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei folgendes:
Note 1 2 3 4 5
abs. Häufigkeit 3 14 12 7 4
i) Zeichne den Graphen der empir. Verteilungsfunktion.
ii) Bestimmte die Quantile x0,25 und x0,75. |
Mein Weg:
i) Ich hab die abs. Häufigkeiten in relative Häufigkeiten umgewandelt, also so:
Note 1 2 3 4 5
abs. Häufigkeit 3 14 12 7 4
rel. Häufigkeit 0,075 0,35 0,3 0,175 0,1
kum. rel. Häufigkeit 0,075 0,425 0,725 0,9 1
Dann folgende Skizze:
http://s1.directupload.net/images/131226/r5vz6ca7.jpg
Stimmt das? Und ist das die allgemeine Vorgehensweise?
ii)
Geordnete Werte:
3 4 7 12 14
x0,25 = 0,25 * n+1 = 0,25 *6 = 1,5 nicht ganzzahlig, also runden wir auf 2 auf. Wir betrachten die 2. Stelle, also:
x0,25 = 4
x0,75 = 0,75 * 6 = 4,5 nicht ganzzahlig, also runden wir auf 5 auf. Wir betrachten die 5. Stelle, also:
x0,75 = 14
Stimmt das? Mich irritiert, dass Online-Rechner für x0,75 = 12 errechnen. Kann mir das bitte jemand erklären?
Danke!
Gruß Ptolemaios
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> Gegeben sei folgendes:
> Note 1 2 3 4 5
> abs. Häufigkeit 3 14 12 7 4
>
> i) Zeichne den Graphen der empir. Verteilungsfunktion.
> ii) Bestimmte die Quantile x0,25 und x0,75.
>
>
> Mein Weg:
> i) Ich hab die abs. Häufigkeiten in relative
> Häufigkeiten umgewandelt, also so:
>
> Note 1 2 3 4 5
> abs. Häufigkeit 3 14 12 7 4
> rel. Häufigkeit 0,075 0,35 0,3 0,175 0,1
> kum. rel. Häufigkeit 0,075 0,425 0,725 0,9 1
>
> Dann folgende Skizze:
> http://s1.directupload.net/images/131226/r5vz6ca7.jpg
>
> Stimmt das? Und ist das die allgemeine Vorgehensweise?
>
>
> ii)
> Geordnete Werte:
> 3 4 7 12 14 ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Was soll denn das ?
Es macht doch kaum einen Sinn, diese Anzahlen nach
ihrer Größe zu ordnen - außer es ginge um Fragen wie
etwa: "Welche Note wurde von den meisten Schülern
erzielt ?"
> x0,25 = 0,25 * n+1 = 0,25 *6 = 1,5 nicht ganzzahlig, also
> runden wir auf 2 auf. Wir betrachten die 2. Stelle, also:
> x0,25 = 4
>
> x0,75 = 0,75 * 6 = 4,5 nicht ganzzahlig, also runden wir
> auf 5 auf. Wir betrachten die 5. Stelle, also:
> x0,75 = 14
>
> Stimmt das? Mich irritiert, dass Online-Rechner für x0,75
> = 12 errechnen. Kann mir das bitte jemand erklären?
Das zeigt meiner Ansicht nach nur, dass du die eigentliche
Aufgabe gar nicht richtig verstanden hast. Die Liste von
Zahlen, für die hier Quantile zu bestimmen sind, ist doch
auf keinen Fall die Liste [mm] $\{3,14,12,7,4\}$ [/mm] oder (geordnet)
[mm] $\{3,4,7,12,14\}$ [/mm] , sondern die Liste aller insgesamt 40 Noten,
die (geordnet) so aussieht:
[mm] $\{\underbrace{1,1,1}_{3},\underbrace{2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2}_{14},\underbrace{3,3,\,....\,3}_{12}, \underbrace{4\,....\,4,4}_{7},\underbrace{5,5,5,5}_{4}\}$
[/mm]
LG , Al-Chw.
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Hallo Al-Chwarizmi,
danke für deine Antwort.
Kannst du mir bitte sagen, ob die i) stimmt und ob das die allgemeine Vorgehensweise ist?
Zur ii):
x0,25 = a * n = 0,25 * 40 = 10 ganzzahlig, also:
Das 25% Quantil liegt zwischen dem 10. und 11. Wert, also zwischen den Noten 2 und 2.
x0,75 = a * n = 0,75 * 40 = 30 ganzzahlig, also,
Das 75% Quantil liegt zwischen dem 30. und 31. Wert, also zwischen den Noten 3 und 3.
So korrekt?
Kannst du mir bitte erklären, wie man vorgeht, falls das Produkt nicht ganzzahlig ist? Addiert man dann
1 dazu und rundet dann nach den normalen Rundungsregeln?
Danke!
Gruß Ptolemaios
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Hallo,
> Kannst du mir bitte sagen, ob die i) stimmt und ob das die
> allgemeine Vorgehensweise ist?
Ob was die allgemeine Vorgehensweise ist???
Die Rechnungen sind richtig. Die Darstellung als Treppenfunktion ist hier völlig sinnfrei in meinen Augen. Das ist eine diskrete Verteilung, da ist das (Darstellungs-)Mittel der Wahl das Säulendiagramm. Denn was sollen denn die Springstellen aussagen, das ist doch ein Widerspruch in sich, ist dir das nicht aufgefallen?
> Zur ii):
> x0,25 = a * n = 0,25 * 40 = 10 ganzzahlig, also:
> Das 25% Quantil liegt zwischen dem 10. und 11. Wert, also
> zwischen den Noten 2 und 2.
>
> x0,75 = a * n = 0,75 * 40 = 30 ganzzahlig, also,
> Das 75% Quantil liegt zwischen dem 30. und 31. Wert, also
> zwischen den Noten 3 und 3.
>
> So korrekt?
Auch wiedewr richtig gerechnet aber völlig sinnfrei interpretiert. Das 0.25-Quartil liegt bei 2, das 0.75-Quartil bei 3 4, fertig.
> Kannst du mir bitte erklären, wie man vorgeht, falls das
> Produkt nicht ganzzahlig ist? Addiert man dann
> 1 dazu und rundet dann nach den normalen Rundungsregeln?
Nein, wenn das Produkt nicht ganzzahlig ist nimmt man i.a. den nächsthöheren Rangplatz.
Gruß, Diophant
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Hallo diophant,
vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Zur i):
Ich dachte, dass man das in der Form darstellen muss. Dass man in der Wahl frei ist, das war mir nicht bewusst.
Zur ii):
Bei einer anderen Aufgabe mit 12 Monaten und den jeweiligen Regentagen, haben wir die Werte geordnet und so mit dem Monat mit den niedrigsten Regentagen angefangen.
Nun bin ich verwirrt, wann man die Liste ordnen soll und wann nicht? Kannst du mir das bitte noch erklären?
Danke!
Gruß Ptolemaios
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Hallo,
> Hallo diophant,
>
> vielen Dank für deine schnelle Antwort!
>
> Zur i):
> Ich dachte, dass man das in der Form darstellen muss. Dass
> man in der Wahl frei ist, das war mir nicht bewusst.
Das habe ich auch nicht geschrieben. Du kannst das ganze auch als Mandala ausgestalten, sofern es von anderen Betrachtern richtig verstanden wird, darauf kommt es doch an. Und wie gesagt: deine Treppenfunktion, die würde für den Fall Sinn machen, wenn man jede reelle Zahl aus [1;5] als Note bekommen könnte. Also etwa [mm] \pi-2, [/mm] wenn man mal ziemlich gut (bzw. in der Schweiz ziemlich schlecht) war.
Aber es gibt nur die ganzzahligen Werte von 1 bis 5, insofern
- bietet sich ein Säulendiagramm an
- ergibt deine Darstellung, ich wiederhole es nochmals, keinen Sinn.
>
> Zur ii):
> Bei einer anderen Aufgabe mit 12 Monaten und den
> jeweiligen Regentagen, haben wir die Werte geordnet und so
> mit dem Monat mit den niedrigsten Regentagen angefangen.
> Nun bin ich verwirrt, wann man die Liste ordnen soll und
> wann nicht?
Du hast sie hier doch auch geordnet (wenn auch zu Beginn falsch)?
Wenn man Quantile wie den Zentralwert oder die Quartile bestimmen möchte, dann muss man so eine Urliste einfach aus dem Grund ordnen, weil besagte Maßzahlen für eine geordnete Liste definiert sind.
Ich würde dir ganz dringend die Lektüre deines Schulbuchs bzw. deiner Unterlagen ans Herz legen, denn du hast offensichtlich wesentliche Grundlagen nicht verstanden. Das wird man nicht in einem solchen Thread klären können, das musst du selbst aufarbeiten!
Gruß, Diophant
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Danke für deine Antwort.
Es handelt sich um ein Nebenfach in der Uni, ein Schulbuch habe ich also nicht. Ich bezog mich auf eine
Aufgabe, wie wir sie in der Uni gemacht haben, das Schema habe ich also versucht bei der AUfgabe mit den Noten anzuwenden.
Das ist die Lösung der Dozentin aus der anderen Aufgabe:
Quantil Bestimmung:
[mm]x_\alpha \in [x_(\alpha*N); x_(\alpha*N)+1][/mm], für ganzzahlig
Monat Jan. Feb. Mär. Apr. Mai Jun. Jul. Aug. Sept. Okt. Nov. Dez.
Regentage 20 10 7 9 11 21 19 16 13 10 2 23
Dann haben wir die Tabelle nach Anzahl der Regentage geordnet:
Monat 11 3 4 2 10 5 9 8 7 1 6 12
Regentage 2 7 9 10 10 11 13 16 19 20 21 23
Für den Boxplot haben wir dann auch die beiden Quantile x0,25 und x0,75 wie bei meiner Ausgangsaufgabe bestimmt:
x0,25 = 0,25 * 12 = 3
x0,25 liegt in [x(3), x(4)]
Das 25% Quantil liegt im Bereich des 3. und 4. Wertes, also zwischen 9 und 10 Regentagen.
x0,75 = 0,75 * 12 = 9
x0,75 liegt in [x(9), x(10)]
Das 75% Quantil liegt im Bereich des 3. und 4. Wertes, also zwischen 19 und 20 Regentagen.
Das habe ich also angewendet. Dann ist diese Vorgehensweise ja auch falsch? Ich bitte um Hilfe!
Danke!
Gruß Ptolemaios
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Hallo,
> Danke für deine Antwort.
> Es handelt sich um ein Nebenfach in der Uni, ein Schulbuch
> habe ich also nicht. Ich bezog mich auf eine
> Aufgabe, wie wir sie in der Uni gemacht haben, das Schema
> habe ich also versucht bei der AUfgabe mit den Noten
> anzuwenden.
>
>
> Das ist die Lösung der Dozentin aus der anderen Aufgabe:
>
> Quantil Bestimmung:
> [mm]x_\alpha \in [x_(\alpha*N); x_(\alpha*N)+1][/mm], für
> ganzzahlig
>
> Monat Jan. Feb. Mär. Apr. Mai Jun. Jul. Aug. Sept.
> Okt. Nov. Dez.
> Regentage 20 10 7 9 11 21 19
> 16 13 10 2 23
>
> Dann haben wir die Tabelle nach Anzahl der Regentage
> geordnet:
> Monat 11 3 4 2 10 5 9 8 7
> 1 6 12
> Regentage 2 7 9 10 10 11 13 16 19 20
> 21 23
>
> Für den Boxplot haben wir dann auch die beiden Quantile
> x0,25 und x0,75 wie bei meiner Ausgangsaufgabe bestimmt:
> x0,25 = 0,25 * 12 = 3
> x0,25 liegt in [x(3), x(4)]
> Das 25% Quantil liegt im Bereich des 3. und 4. Wertes,
> also zwischen 9 und 10 Regentagen.
>
> x0,75 = 0,75 * 12 = 9
> x0,75 liegt in [x(9), x(10)]
> Das 75% Quantil liegt im Bereich des 3. und 4. Wertes,
> also zwischen 19 und 20 Regentagen.
>
>
> Das habe ich also angewendet. Dann ist diese Vorgehensweise
> ja auch falsch? Ich bitte um Hilfe!
Warum soll sie falsch sein, hast du denn die biherigen Antworten gründlich gelesen?
Das einzige, was mir persönlich fremd ist, ist diese Aussage, dass ein Quartil in einem Intervall liegt. Normalerweise verwendet man entweder den Wert eines Rangplatzes, oder aber den Mittelwert zwischen zwei Rangplätzen. Da gibt es halt unterschiedliche Vorgehensweisen, und im Sinne eurer Dozentin hast du das dann richtig gemacht.
Gruß, Diophant
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> > Zur ii):
> > x0,25 = a * n = 0,25 * 40 = 10 ganzzahlig, also:
> > Das 25% Quantil liegt zwischen dem 10. und 11. Wert,
> also
> > zwischen den Noten 2 und 2.
> >
> > x0,75 = a * n = 0,75 * 40 = 30 ganzzahlig, also,
> > Das 75% Quantil liegt zwischen dem 30. und 31. Wert,
> > also zwischen den Noten 3 und 3.
> >
> > So korrekt?
>
> Auch wieder richtig gerechnet aber völlig sinnfrei
> interpretiert. Das 0.25-Quartil liegt bei 2, das
> 0.75-Quartil bei 3, fertig.
Hallo Diophant,
das sehe ich anders !
Erstens ist das 0.75-Quartil nicht bei 3, sondern bei 4,
denn die Liste von insgesamt 40 Noten enthält ja 7
mal die 4 und 4 mal die 5 . Der 75% - Schnitt liegt
zwischen den Listenelementen $\ [mm] N_{30}$ [/mm] und $\ [mm] N_{31}$ [/mm] ,
welche beide den Wert 4 haben.
Zweitens finde ich die Sprechweise von Ptolemaios
hier gar nicht daneben, denn er bezieht sich hier
auf die geordnete Liste aller Noten, wie ich sie ins
Spiel gebracht habe:
$ [mm] \{\underbrace{1,1,1}_{3},\underbrace{2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2}_{14},\underbrace{3,3,\,....\,3}_{12}, \underbrace{4\,....\,4,4}_{7},\underbrace{5,5,5,5}_{4}\} [/mm] $
LG , Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Fr 27.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Al,
> > > Zur ii):
> > > x0,25 = a * n = 0,25 * 40 = 10 ganzzahlig, also:
> > > Das 25% Quantil liegt zwischen dem 10. und 11. Wert,
> > also
> > > zwischen den Noten 2 und 2.
> > >
> > > x0,75 = a * n = 0,75 * 40 = 30 ganzzahlig, also,
> > > Das 75% Quantil liegt zwischen dem 30. und 31. Wert,
> > > also zwischen den Noten 3 und 3.
> > >
> > > So korrekt?
> >
> > Auch wieder richtig gerechnet aber völlig sinnfrei
> > interpretiert. Das 0.25-Quartil liegt bei 2, das
> > 0.75-Quartil bei 3, fertig.
>
>
> Hallo Diophant,
>
> das sehe ich anders !
>
> Erstens ist das 0.75-Quartil nicht bei 3, sondern bei 4,
Ja: das war ein Tippfehler, den ich mittlerweile ausgebessert habe.
> denn die Liste von insgesamt 40 Noten enthält ja 7
> mal die 4 und 4 mal die 5 . Der 75% - Schnitt liegt
> zwischen den Listenelementen [mm]\ N_{30}[/mm] und [mm]\ N_{31}[/mm] ,
> welche beide den Wert 4 haben.
>
> Zweitens finde ich die Sprechweise von Ptolemaios
> hier gar nicht daneben, denn er bezieht sich hier
> auf die geordnete Liste aller Noten, wie ich sie ins
> Spiel gebracht habe:
>
> [mm]\{\underbrace{1,1,1}_{3},\underbrace{2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2}_{14},\underbrace{3,3,\,....\,3}_{12}, \underbrace{4\,....\,4,4}_{7},\underbrace{5,5,5,5}_{4}\}[/mm]
>
> LG , Al
Hm, hier verstehe ich nicht so ganz, was du damit meinst. Mir ging es eigentlich darum, dem Themenstarter ein wenig den Sinn dessen, was er da tut näher zu bringen. Aber ihr (du und luis52) geht das wohl theoretischer an, da will ich mal nicht länger dazwischenfunken. 
Gruß, Diophant
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> > Zweitens finde ich die Sprechweise von Ptolemaios
> > hier gar nicht daneben, denn er bezieht sich hier
> > auf die geordnete Liste aller Noten, wie ich sie ins
> > Spiel gebracht habe:
> [mm]\{\underbrace{1,1,1}_{3},\underbrace{2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2}_{14},\underbrace{3,3,\,....\,3}_{12}, \underbrace{4\,....\,4,4}_{7},\underbrace{5,5,5,5}_{4}\}[/mm]
> Hm, hier verstehe ich nicht so ganz, was du damit meinst.
> Mir ging es eigentlich darum, dem Themenstarter ein wenig
> den Sinn dessen, was er da tut näher zu bringen. Aber ihr
> (du und luis52) geht das wohl theoretischer an, da will ich
> mal nicht länger dazwischenfunken.
Hallo Johannes,
auch ich habe eigentlich ganz genau dasselbe Ziel -
und in dem, was ich da gezeigt habe, steckt doch
wirklich keine große Theorie, sondern schlicht und
einfach die Definition der Quartile.
Wenn wir eine Liste von insgesamt 40 Einzelwerten
haben, finden wir z.B. Median und Quartile, indem
wir zuerst die Liste der Größe ihrer Elemente nach
ordnen und sie in 4 gleich große Teillisten unter-
teilen. Hier fallen in jede dieser 4 Teillisten je 10
Elemente:
1,1,1,2,2,2,2,2,2,2 | 2,2,2,2,2,2,2,3,3,3 | 3,3,3,3,3,3,3,3,3,4 | 4,4,4,4,4,4,5,5,5,5
Da, wo die Trennstriche sind, liegen der Reihe nach
die Quantile zu 25% , 50% und 75% bzw. unteres
Quartil, Median und oberes Quartil. Da die Markie-
rungen hier stets zwischen zwei identische Werte
fallen, sind die gesuchten Quartile auch gerade
gleich diesen Werten, hier also 2 , 3 und 4 .
LG , Al-Chwarizmi
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Hallo Luis und Al-Chwarizmi,
danke für eure Beteiligung.
@Luis:
Du meinst so bei der i):
http://s1.directupload.net/images/131228/sxpkpg48.jpg
@Al-Chwarizmi:
Ich denke, ich habe die Aufgabe hier nun verstanden.
Jedoch verstehe ich nicht, warum wir bei der Aufgabe mit den Regentagen (siehe meine vorletzte Frage), die Liste nach der Anzahl der Regentage ordnen? Das machen wir hier mit der Anzahl der Noten auch nicht, sondern lassen die Reihenfolge der Noten...
Wenn ich dich richtig verstehe, müsste man zudem eigentlich x0,25= 0,25 * 161 (Regentage) = 40,25 rechnen?
Also das ist die Angabe der anderen Aufgabe:
Monat Jan. Feb. Mär. Apr. Mai Jun. Jul. Aug. Sept. Okt. Nov. Dez.
Regentage 20 10 7 9 11 21 19 16 13 10 2 23
Warum soll man dann laut Dozentin, die Regentage nach der niedrigsten Anzahl aufsteigend ordnen?
Monat 11 3 4 2 10 5 9 8 7 1 6 12
Regentage 2 7 9 10 10 11 13 16 19 20 21 23
Anschließend berechnet sie das x0,25 Quantil mit x0,25 = 0,25 * 12 (Anzahl der Monate). Warum, das widerspricht sich doch mit unserer Vorgehensweise, mit der auch andere Ergebnisse rauskommen?
Danke!
Gruß Ptolemaios
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Hallo,
> @Luis:
> Du meinst so bei der i):
> http://s1.directupload.net/images/131228/sxpkpg48.jpg
Luis hat dich auf die falsch gesetzten Sprungstellen aufmerksam gemacht. Er hat dabei sehr viel theoretischer gedacht als ich. Das bedeutet: allgemein ist die Quantilsfunkltion definiert als die Umkehrfunktion einer Verteilungsfunktion (weshalb ist es bis auf Sprungstellen möglich, jede Verteilungsfunktion umzukehren?). Ich bin von dem praktischeren Standpunkt ausgegangen, dass für eine Stichprobe diskreter Daten die Verteilung der Merkmale als Boxplot dargestellt werden soll (wozu man eben die einschlägig bekannten Quantile zu den Werten p={0.25;0.5;0.75}verwendet).
>
> @Al-Chwarizmi:
> Ich denke, ich habe die Aufgabe hier nun verstanden.
> Jedoch verstehe ich nicht, warum wir bei der Aufgabe mit
> den Regentagen (siehe meine vorletzte Frage), die Liste
> nach der Anzahl der Regentage ordnen? Das machen wir hier
> mit der Anzahl der Noten auch nicht, sondern lassen die
> Reihenfolge der Noten...
> Wenn ich dich richtig verstehe, müsste man zudem
> eigentlich x0,25= 0,25 * 161 (Regentage) = 40,25 rechnen?
Es geht in beiden Fällen um Stichproben. Die einzelnen Werte der Stichprobe sind irgendwelchen Entitäten zugeordnet, die im einen Fall Schüler sind (man könnte ihre Namen angeben!), im anderen Fall Monate (bei denen eben an Stelle des Namens die kalendarische Nummer des Monats angegeben ist). Und sowohl den Schülern, als auch den Monaten, werden Zahlenwerte zugeordnet. Im einen Fall eben Noten von 1 bis 5, im anderen Fall die Anzahl der Regentage. Um daraus eine geordnete Stichprobe zu machen werden diese Daten in beiden Fällen nach den Stichprobenwerten in aufsteigender Reihenfolge sortiert, da ist kein Unterschied.
> Also das ist die Angabe der anderen Aufgabe:
> Monat Jan. Feb. Mär. Apr. Mai Jun. Jul. Aug. Sept.
> Okt. Nov. Dez.
> Regentage 20 10 7 9 11 21 19 16 13 10
> 2 23
>
> Warum soll man dann laut Dozentin, die Regentage nach der
> niedrigsten Anzahl aufsteigend ordnen?
> Monat 11 3 4 2 10 5 9 8 7 1 6 12
> Regentage 2 7 9 10 10 11 13 16 19 20 21 23
>
> Anschließend berechnet sie das x0,25 Quantil mit x0,25 =
> 0,25 * 12 (Anzahl der Monate). Warum, das widerspricht sich
> doch mit unserer Vorgehensweise, mit der auch andere
> Ergebnisse rauskommen?
Nein, es wird in beiden Fällen mit der Anzahl der Daten gerechnet, das sind im einen Fall 40 Schülerinnen und Schüler, im andewren eben 12 Monate!
Und es wäre vielleicht hilfreich, wenn du nicht nur schreibe würdest, dass sich da für dich etwas widerspricht, sondern wenn du ausformulieren würdest, weshalb es das tut. Ich jedenfalls kann nach mehrmaligem Studium des ganzen Threads immer noch nicht nachvollziehen, wo eigentlich deine begrifflichen Schwierigkeiten liegen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Sa 28.12.2013 | | Autor: | luis52 |
>
> @Luis:
> Du meinst so bei der i):
> http://s1.directupload.net/images/131228/sxpkpg48.jpg
Fast. Der obere Strich rechts darf nicht enden.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Fr 27.12.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin,
im Gegensatz zu Diophant bin ich der Ansicht, dass die Darstellung als Treppenfunfunktion durchaus "legitim" ist (siehe ![[]](/images/popup.gif) hier).
Allerding stimmen die Sprungstellen in deiner Zeichnung nicht: Die erste ist bei 1 und hat die Hoehe 0.075. Die letzte ist bei 5 und nimmt ab dort den Wert 1 an.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Sa 28.12.2013 | | Autor: | Ptolemaios |
Ok, ich denke ich habe die Aufgabe nachvollziehen können.
Danke an alle für ihre Geduld un Beteiligung!
Gruß Ptolemaios
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