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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Endliche abelsche Gruppen
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Endliche abelsche Gruppen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Sa 21.12.2013
Autor: Differential

Aufgabe
Hallo,

Sei G:=\langle x,y,z\rangle eine abelsche Gruppe und \phi : \mathbb{Z}^3\to G ein surjektiver Homomorphismus mit \text{ker }\phi =\langle k_1,k_2,k_3\rangle =\langle (2,4,8),(0,3,6),(2,10,20)\rangle. Bestimmen Sie c_1,\ldots, c_r\in\mathbb{N} mit 0\le r\le 3 und G\cong \mathbb{Z}/c_1\mathbb{Z}\oplus \ldots \oplus \mathbb{Z}/c_r\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}^{3-r}.



ich würde mich freuen, wenn ihr mir ein kurzes Feedback zu meiner Lösung der Aufgabe geben könntet:

Meine Lösung: Wir berechnen die Elementarteiler der Matrix
          A=(k_1,k_2,k_3)_{3\times 3}=\begin{pmatrix} 2&0&2\\4&3&10\\8&6&20 \end{pmatrix}
In Einzelschritten:
          \begin{pmatrix} 2&0&2\\4&3&10\\8&6&20 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 2&0&2\\0&3&5\\0&6&12 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2&0&0\\0&3&6\\0&6&12 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2&0&0\\2&3&6\\0&6&12 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2&-2&0\\2&1&6\\0&6&12 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&2&6\\-2&2&0\\6&0&12 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&2&6\\0&6&12\\0&-12&-24 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&6&12\\0&-12&-24 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&6&12\\0&0&0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&6&0\\0&0&0 \end{pmatrix}

Ich bin dabei streng nach der Beschreibung der Vorgehensweise in der Algebra von Bosch vorgegangen (Seite 80, falls jemand das Werk vor sich liegen hat).
Der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen sagt mir nun, dass
          G\cong\mathbb{Z}/1\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}^{3-2}=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}
ist.

Ist nicht, sobald \mathbb{Z} selbst dabei ist, die ganze direkte Summe gleich ganz \mathbb{Z}? Klar, oder?

Das wäre dann aber immer so, wenn einer der Elementarteiler gleich 1 ist.

Ich sehe nicht was ich falsch gemacht habe. Die 1 ist im vierten Schritt dadurch entstanden, dass a_{11}\nmid a_{22} an dieser Stelle gilt. Daher habe ich Division mit Rest ausgeführt und a_{22}=1\cdot a_{11}+1 erhalten. Aufgrund dieses Ergebnises dann a_2+=a_1 (a_2\equiv 2. Zeile) und a^2-=1\cdot a^1 (a^2\equiv 2. Spalte) gerechnet. Ist ja klar, dass dann der Rest 1 in Zelle a_22 steht; ist ja auch so gewünscht.

Liebe Grüße
Differential
        
Bezug
Endliche abelsche Gruppen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:39 Sa 21.12.2013
Autor: Differential

Kann mir denn niemand einen kleinen Tipp geben? So langsam verzweifle ich an dieser Aufgabe.

Für mich ist ganz klar $1$ einer der Elementarteiler, dann wäre aber die Gruppe isomorph zu [mm] $\mathbb{Z}$, [/mm] oder?

Stimmt das? Bitte gebt mir einen kleinen Hinweis.


Liebe Grüße
Differential
Bezug
        
Bezug
Endliche abelsche Gruppen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:07 Sa 21.12.2013
Autor: felixf

Moin Differential!

> Sei G:=\langle x,y,z\rangle eine abelsche Gruppe und \phi : \mathbb{Z}^3\to G
> ein surjektiver Homomorphismus mit \text{ker }\phi =\langle k_1,k_2,k_3\rangle =\langle (2,4,8),(0,3,6),(2,10,20)\rangle.
> Bestimmen Sie c_1,\ldots, c_r\in\mathbb{N} mit 0\le r\le 3
> und G\cong \mathbb{Z}/c_1\mathbb{Z}\oplus \ldots \oplus \mathbb{Z}/c_r\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}^{3-r}.
>  
>
> ich würde mich freuen, wenn ihr mir ein kurzes Feedback zu
> meiner Lösung der Aufgabe geben könntet:
>  
> Meine Lösung: Wir berechnen die Elementarteiler der
> Matrix
>            A=(k_1,k_2,k_3)_{3\times 3}=\begin{pmatrix} 2&0&2\\4&3&10\\8&6&20 \end{pmatrix}
>  
> In Einzelschritten:
>            \begin{pmatrix} 2&0&2\\4&3&10\\8&6&20 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 2&0&2\\0&3&5\\0&6&12 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2&0&0\\0&3&6\\0&6&12 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2&0&0\\2&3&6\\0&6&12 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 2&-2&0\\2&1&6\\0&6&12 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&2&6\\-2&2&0\\6&0&12 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&2&6\\0&6&12\\0&-12&-24 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&6&12\\0&-12&-24 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&6&12\\0&0&0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&6&0\\0&0&0 \end{pmatrix}

Ich hab das jetzt nicht nachgerechnet, ich gehe einfach mal davon aus dass es stimmt.

> Ich bin dabei streng nach der Beschreibung der
> Vorgehensweise in der Algebra von Bosch vorgegangen (Seite
> 80, falls jemand das Werk vor sich liegen hat).
>  Der Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen sagt
> mir nun, dass
>            G\cong\mathbb{Z}/1\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}^{3-2}=\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}
>  
> ist.

Genau.

> Ist nicht, sobald \mathbb{Z} selbst dabei ist, die ganze
> direkte Summe gleich ganz \mathbb{Z}? Klar, oder?

Nein. Es ist das direkte Produkt von [mm] $\IZ$ [/mm] mit der endlichen zyklischen Gruppe [mm] $\IZ/6\IZ$. [/mm]

> Das wäre dann aber immer so, wenn einer der
> Elementarteiler gleich 1 ist.

Nein. Elementarteiler vom Wert 1 (oder -1, je nachdem wie das bei euch definiert ist) fallen "weg", da [mm] $\IZ/1\IZ$ [/mm] die triviale Gruppe ist und $G [mm] \times \IZ/1\IZ \cong [/mm] G$ ist fuer jede Gruppe $G$.

> Ich sehe nicht was ich falsch gemacht habe.

Wie kommst du darauf, dass du etwas falsch gemacht hast?
(Also, hast du, und zwar weil du gesagt hast dass das Ergebnis isomorph zu [mm] $\IZ$ [/mm] selber ist, was nicht stimmt.)

LG Felix

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