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| Aufgabe | Es sei K ein endlicher Körper. Für n [mm] \in \IN [/mm] und a [mm] \in [/mm] K bezeichne na = a + ...+ a die n-fache Summe von a mit sich selbst.
(a) Es sei 1 [mm] \in [/mm] K das Einselement von K. Zeigen Sie: Es gibt mindestens ein n [mm] \in \IN [/mm] mit n1 = 0.
(b) Zeigen Sie: Für alle a [mm] \in [/mm] K und n [mm] \in \IN [/mm] mit n1 = 0 gilt na = 0.
(c) Es sei M ={n [mm] \in \IN [/mm] | n1 = 0}. Nach (a) ist M nicht leer. Sei [mm] n_0 [/mm] das kleinste Element von M. Zeigen Sie, dass [mm] n_0 [/mm] eine Primzahl ist. Die Zahl [mm] n_0 [/mm] nennt man auch Charakteristik von K.
(d) Sei p eine Primzahl. Bestimmen Sie die Charakteristik des endlichen Körpers [mm] \IZ/p\IZ. [/mm] |
Hallo!
Irgendwie bringt mich das "na = a + ... + a" ziemlich durcheinander. Ich kann nicht erkennen, wie ich das evtl in den Aufgaben nutzen kann.
Kurz: in meinem Kopf herrscht das reinste Chaos :)
Es soll ja angeblich nicht schwer sein, aber nachdem ich schon einige Zeit über dieser Aufgabe gesessen habe und bis jetzt immernoch keine Idee habe, würde ich mich freuen, wenn ich eine kleine "Starthilfe" bekommen könnte.
Schonmal vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:13 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei K ein endlicher Körper. Für n [mm]\in \IN[/mm] und a [mm]\in[/mm] K
> bezeichne na = a + ...+ a die n-fache Summe von a mit sich
> selbst.
>
> (a) Es sei 1 [mm]\in[/mm] K das Einselement von K. Zeigen Sie: Es
> gibt mindestens ein n [mm]\in \IN[/mm] mit n1 = 0.
nimm' mal an, dem wäre nicht so. Insbesondere ist ja [mm] $1=1_K \not=0_K\,.$ [/mm] Die Addition in $K$ ist abgeschlossen. [mm] $n\;1_K$ [/mm] bedeutet nichts anderes als [mm] $n\;1_K=\sum_{k=1}^n 1_K\,$ [/mm] (gemeint ist beim Summenzeichen die Addition im Körper [mm] $\black{K}$), [/mm] insbesondere ist daher [mm] $n\;1_K \in [/mm] K$ für alle $n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
Sei nun $m+1 [mm] \in \IN$ [/mm] (hier meint + die Addition zweier natürlicher Zahlen: der natürlichen Zahl [mm] $\black{m}$ [/mm] mit der natürlichen Zahl [mm] $\black{1}$), [/mm] $m [mm] \ge [/mm] 1$ so, dass $K$ aus [mm] $\black{m+1}$ [/mm] Elementen bestehe (ein jeder Körper enthält ja insbesondere ein Nullelement [mm] $0_K$ [/mm] und ein Einselement [mm] $1_K$, [/mm] die zudem stets voneinander verschieden sind).
Nun gilt:
Für $n=1$ ist $1 [mm] \odot 1_K=1_K \in K\,.$ [/mm]
Für $n=2$ ist $2 [mm] \odot1_K=:2_K \in K\,.$
[/mm]
.
.
.
Für $n=m$ ist $m [mm] \odot1_K=:m_K \in K\,.$
[/mm]
(Hinweis: Ich schreibe nun $n [mm] \odot [/mm] a$ für [mm] $n\;a\,$ [/mm] also $n [mm] \odot a=\sum_{k=1}^n a\,.$)
[/mm]
Das sind nun $m$ paarweise verschiedene Elemente, alle sind nach Annahme zudem von der [mm] $0_K$ [/mm] verschieden.
Warum sind sie paarweise verschieden? Wäre dem nicht so, so gäbe es zwei ungleiche natürliche Zahlen $p,q [mm] \in \{1,...,m\}\,,$ [/mm] so dass [mm] $p_K=q_K\,$ [/mm] also so dass [mm] $\sum_{k=1}^p 1_K=\sum_{k=1}^q 1_K\,.$ [/mm] O.B.d.A. sei $q > [mm] p\,$, [/mm] dann ist die Konsequenz [mm] $\sum_{k=1}^{q-p} 1_K=0_K\,.$ [/mm] Dann wäre aber schon [mm] $(q-p)_K=(q-p) \odot 1_K=0_K\,.$ [/mm] Das kann also nicht sein.
Die Folgerung ist nun, dass für jedes der Elemente aus der Menge [mm] $M:=\{0_K, 1_K, ..., m_K\}$ [/mm] schon gilt, dass, egal, welches ich rauspicke, wenn ich dann [mm] $1_K$ [/mm] addiere, so muss das Element wieder in $M$ liegen. (Andernfalls würde diese Addition ja wieder ein Element in $K$ erzeugen und dann hätte dieser [mm] $\black{n}+2$ [/mm] Elemente, im Widerspruch zur Voraussetzung.) Nimm' jetzt irgendein Element aus $M$ heraus und schreibe Dir das auf. Dann folgt aber doch die Existenz eines..., so dass ... Das widerspricht aber direkt der Annahme.
> (b) Zeigen Sie: Für alle [mm]a \in K[/mm] und [mm]n \in \IN[/mm] mit [mm]n\; 1 = 0[/mm] gilt [mm]n \;a = 0[/mm].
Na, vorausgesetzt ist hier: Es gelte [mm] $n\;1_K=\sum_{k=1}^n 1_K=0_K\,.$ [/mm] Ist nun $a [mm] \in [/mm] K$, so gilt:
[mm] $n\;a=\sum_{k=1}^n a\,.$
[/mm]
Nun kannst Du [mm] $a=a*1_K$ [/mm] schreiben und dann an das Distributivgesetz denken. Dann denke an die Voraussetzung und beachte, dass für jedes $t [mm] \in [/mm] K$ gilt: [mm] $t*0_K=0_K\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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