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Endomorphismus-linear unabhängig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 So 06.06.2004
Autor: nevinpol

Hallöchen!

habe hier eine Aufgabe, wofür ich einen Ansatz habe, aber
den Beweis nicht so hinkriege:(

Ich freue mich auf eure Hilfe :)




Also die Aufgabe lautet:

Es sei $F$ ein Endomorphismus des Vektorraums $V$ (über irgend einem Körper $K$)
und $v [mm] \in [/mm] V$.
Beweisen Sie:
Es gibt ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $F^{n}(v) \ne [/mm] 0$, aber [mm] $F^{n+1}=0$, [/mm] dann ist die Familie

$v, F(v), [mm] F^2(v),...,F^n(v)$ [/mm] linear unabhängig.




Mein Ansatz:

Also über Endomorphismus habe ich gelesen, dass es die Abbildung in sich selbst ist.
Also dass es im Grunde ein Homomorphismus ist, wobei V=W ist.
Ich konnte aber daraus für diese Aufgabe nicht soviel basteln.

Jedenfalls gilt ja für den Beweis der linearen Unabhängigkeit:



[mm] $v_o \cdot \lambda_0 [/mm] + F(v) [mm] \cdot \lambda_1 [/mm] + [mm] F^2(v) \cdot \lambda_2 [/mm] + ... + [mm] F^n(v) \cdot \lambda_n [/mm] = 0$ mit

der einzigen Lösung -> [mm] $\lambda_0, \lambda_1, [/mm] ... , [mm] \lambda_n=0$ [/mm] ist.



Ich hoffe jemand kann mir einen Tipp zu einem richtigen Ansatz geben.

Schönen Sonntag noch

nevinpol







        
Bezug
Endomorphismus-linear unabhängig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 So 06.06.2004
Autor: Marc

Hallo nevinpol,

> Es sei $F$ ein Endomorphismus des Vektorraums $V$ (über
> irgend einem Körper $K$)
>  und $v [mm] \in [/mm] V$.
> Beweisen Sie:
>  Es gibt ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $F^{n}(v) \ne [/mm] 0$, aber
> [mm] $F^{n+1}=0$, [/mm] dann ist die Familie
>  
> $v, F(v), [mm] F^2(v),...,F^n(v)$ [/mm] linear unabhängig.
>  
>
>
> Mein Ansatz:
>  
> Also über Endomorphismus habe ich gelesen, dass es die

Sehr vorbildlich :-)

> Abbildung in sich selbst ist.
>  Also dass es im Grunde ein Homomorphismus ist, wobei V=W
> ist.

[ok]

Die Homomorphismen zwischen Vektorräumen sind auch bekannt unter dem Namen lineare Abbildung...

>  Ich konnte aber daraus für diese Aufgabe nicht soviel
> basteln.
>  
> Jedenfalls gilt ja für den Beweis der linearen
> Unabhängigkeit:
>  
>
>
> [mm] $v_o \cdot \lambda_0 [/mm] + F(v) [mm] \cdot \lambda_1 [/mm] + [mm] F^2(v) \cdot \lambda_2 [/mm] + ... + [mm] F^n(v) \cdot \lambda_n [/mm] = 0$ mit
>  
> der einzigen Lösung -> [mm] $\lambda_0, \lambda_1, [/mm] ... , [mm] \lambda_n=0$ [/mm] ist.

Der Ansatz ist schon mal sehr gut.
Jetzt mußt du noch irgendwie die spezielle Eigenschaft von F ausnutzen.
Tipp: Wende auf die Gleichung $v [mm] \cdot \lambda_0 [/mm] + F(v) [mm] \cdot \lambda_1 [/mm] + [mm] F^2(v) \cdot \lambda_2 [/mm] + ... + [mm] F^n(v) \cdot \lambda_n [/mm] = 0$ (n-1) Mal  die Abbildung F (auf beiden Seiten der Gleichung an). Was folgt dann unmittelbar? Wie kann man diese Erkenntnis auch auf die anderen [mm] \lambda_i [/mm] ausweiten?

Viel Spaß beim Lösen,
Marc

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