Entartetes Eigenwertproblem? < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Sa 29.03.2008 | | Autor: | nickname |
| Aufgabe | | [mm] \pmat{ 1 & 4 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 0& 0 & 5} [/mm] |
Hi!
ich will die Eigenvektoren der obigen Matrix bestimmen. Die Eigenwerte sind meiner ansicht nach 5 , 5, -3. Der Eigenvektor zu 3: [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{-1\\1\\ 0}. [/mm] Zu 5 ist es laut Skript [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}.
[/mm]
Mein Problem besteht darin dass ich nicht weiss woher die [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] kommt? Das hat etwas mit dem "entarteten Eigenwertproblem" zu tun, d.h. wenn man 2 mal den gleichenEW hat dann kommt da so ein "Vorfaktor" dazu ( wenn ich das richtig verstanden habe!). Aber wie komme ich darauf?
Vielen Dank!
nickname
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Sa 29.03.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo nickname,
wenn [mm] $\frac{1}{\wurzel{2}}\vektor{1\\1\\0}$ [/mm] ein Eigenvektor deiner MAtrix ist, dann ist [mm] $\vektor{1\\1\\0}$ [/mm] auch einer und ebenso alle anderen Vielfachen von [mm] $\vektor{1\\1\\0}$: [/mm] Die Eigenvektoren zu einem Eigenwert bilden ja imemr einen linearen Unterraum. Der Faktor [mm] $\bruch{1}{\wurzel{2}}$ [/mm] kommt daher, dass der Betrag des Eigenvektors auf 1 normiert wurde. Wenn das nicht verlangt ist könnte man den Vorfaktor auch einfach weglassen.
Gruß
piet
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