Entartung, symm.Bilinearform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 So 01.06.2008 | | Autor: | Damn88 |
| Aufgabe | Es sei V ein endl-dim [mm] \IR-Vektorraum [/mm] uns sei s: V x V -> [mm] \IR [/mm] eine symmetrische Bilinearform.
Es sei A eine Basis von V, so dass [mm] M_A(s) [/mm] Diagonalgestalt hat. Wir definieren
[mm] V^0 [/mm] = [mm]
Zeigen Sie, dass
[mm] V^0 [/mm] = { v [mm] \in [/mm] V | [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] V: s(v,w) = 0 }
Folgern Sie, dass [mm] V^0 [/mm] unabhängig von der gewählten Basis A ist |
Hallo!
Ich komm hier bei der Aufgabe kein Stück weiter.
Vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben :)
Sei A:= { [mm] v_1,..., v_n} [/mm]
Dann ist [mm] M_A(s) [/mm] = [mm] s(v_i,v_j) [/mm] = [mm] a_{ij},wobei a_{ij}= s(v_i,v_j) [/mm] = 0 für i [mm] \not= [/mm] j
So wenn ich jetzt von
[mm] V^0 [/mm] = [mm]
Also ist [mm] V^0 [/mm] ja quasi das Erzeugnis von den Vektoren der Basis A für die gilt s(v,v)=0
und ich muss zeigen dass dieses Erzeugnis die Menge der Vektoren v aus V ist für die für alle w aus V gilt s(v,w) =0.
Aber wie kann ich denn [mm] V^0 [/mm] = [mm]
Also ich bin für jeden Tipp dankbar!
Grüße,
Damn
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> Es sei V ein endl-dim [mm]\IR-Vektorraum[/mm] uns sei s: V x V ->
> [mm]\IR[/mm] eine symmetrische Bilinearform.
> Es sei A eine Basis von V, so dass [mm]M_A(s)[/mm] Diagonalgestalt
> hat. Wir definieren
> [mm]V^0[/mm] = [mm]
> Zeigen Sie, dass
> [mm]V^0[/mm] = [mm] \{ v \in V | \forall w \in V: s(v,w) = 0 \} [/mm]
>
> Folgern Sie, dass [mm]V^0[/mm] unabhängig von der gewählten Basis A
> ist
> Hallo!
> Ich komm hier bei der Aufgabe kein Stück weiter.
> Vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben :)
>
> Sei A:= [mm] /{v_1,..., v_n/}
[/mm]
> Dann ist [mm]M_A(s)[/mm] = [mm] (s(v_i,v_j))=[/mm] [mm](a_{ij}),wobei a_{ij}= s(v_i,v_j)[/mm]
> = 0 für i [mm]\not=[/mm] j
Hallo,
ja, so ist es.
>
> So wenn ich jetzt von
> [mm]V^0[/mm] = [mm]
> Problem, dass ich mir das nicht ganz vorstellen kann.
> Also ist [mm]V^0[/mm] ja quasi das Erzeugnis von den Vektoren der
> Basis A für die gilt s(v,v)=0
> und ich muss zeigen dass dieses Erzeugnis die Menge der
> Vektoren v aus V ist für die für alle w aus V gilt s(v,w)
> =0.
Ja.
Es sei nun [mm] A':=(v_1,...,v_k) [/mm] die Menge der Basisvektoren, für welche [mm] s(v_i, v_i)=0 [/mm] ist.
> Aber wie kann ich denn [mm]V^0[/mm] = [mm]
> überhaupt irgendwie "umformen"? Ich weiß gar nicht wie ich
> das ausschreiben oder in eine Menge schreiben soll..oder
> irgendwas
Dann ist [mm] V^0=, [/mm] da sind also sämtliche Linearkombinationen v. [mm] (v_1,...,v_k) [/mm] drin.
Nimm nun ein [mm] x\in V^0 [/mm] her. Wie kann man das darstellen?
Nimm nun irgendein belibiges w [mm] \in [/mm] V. Wie kannst Du das schreiben? Nun berechne s(x,w). Es kommt 0 heraus, woraus dann folgt, daß x [mm] \in \{ v \in V | \forall w \in V: s(v,w) = 0 \} [/mm] ist.
Damit hast Du dann [mm] V^0\subseteq \{ v \in V | \forall w \in V: s(v,w) = 0 \} [/mm] gezeigt.
Nun noch die umgekehrte Richtung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 So 01.06.2008 | | Autor: | Damn88 |
Vielen vielen Dank schon einmal!!
Du hast mir wirklich sehr geholfen.
Ich habe aber noch ein Problem bei der Rückrichtung:
Sei x [mm] \in [/mm] { v [mm] \in [/mm] V | [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] V: s(v,w)=0 } bel. mit x= [mm] a_1*v_1+...+a_n*v_n
[/mm]
Sei w [mm] \in [/mm] V bel. mit w = [mm] b_1*v_1+...+b_n*v_n
[/mm]
Dann gilt:
0 = s(x,w) =...= [mm] a_1*b_1*s(v_1,v_1)+ a_2*b_2*s(v_2,v_2) [/mm] + ...+ [mm] a_n*b_n*s(v_n,v_n)
[/mm]
Dh für die Summanden [mm] a_i*b_i*s(v_i,v_i) [/mm] für die weder [mm] a_i [/mm] noch [mm] b_i [/mm] gleich 0 ist, gilt: [mm] s(v_i,v_i) [/mm] = 0
Gelte nun also für i [mm] \in [/mm] { 1,...,k } : [mm] s(v_i,v_i) [/mm] = 0
Dann müsste man zeigen, dass [mm] a_{k+1},...,a_n [/mm] 0 sind
Nur hier bleibe ich hängen, denn es könnte ja genauso sein, dass ein [mm] b_i [/mm] mit i [mm] \in [/mm] { k+1,...,n } gleich 0 ist
Noch einen kleinen Tipp? :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 So 01.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Vielen vielen Dank schon einmal!!
> Du hast mir wirklich sehr geholfen.
> Ich habe aber noch ein Problem bei der Rückrichtung:
>
> Sei x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ v [mm]\in[/mm] V | [mm]\forall[/mm] w [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V: s(v,w)=0 } bel. mit
> x= [mm]a_1*v_1+...+a_n*v_n[/mm]
> Sei w [mm]\in[/mm] V bel. mit w = [mm]b_1*v_1+...+b_n*v_n[/mm]
>
> Dann gilt:
>
> 0 = s(x,w) =...= [mm]a_1*b_1*s(v_1,v_1)+ a_2*b_2*s(v_2,v_2)[/mm] +
> ...+ [mm]a_n*b_n*s(v_n,v_n)[/mm]
>
> Dh für die Summanden [mm]a_i*b_i*s(v_i,v_i)[/mm] für die weder [mm]a_i[/mm]
> noch [mm]b_i[/mm] gleich 0 ist, gilt: [mm]s(v_i,v_i)[/mm] = 0
> Gelte nun also für i [mm]\in[/mm] { 1,...,k } : [mm]s(v_i,v_i)[/mm] = 0
> Dann müsste man zeigen, dass [mm]a_{k+1},...,a_n[/mm] 0 sind
> Nur hier bleibe ich hängen, denn es könnte ja genauso
> sein, dass ein [mm]b_i[/mm] mit i [mm]\in[/mm] { k+1,...,n } gleich 0 ist
>
> Noch einen kleinen Tipp? :)
Waehl doch mal spezielle Vektoren fuer $w$. Etwa $w = [mm] v_i$ [/mm] mit [mm] $s(v_i, v_i) \neq [/mm] 0$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:27 So 01.06.2008 | | Autor: | Damn88 |
Danke!
Kann man so argumentieren?:
Sei [mm] v_i \in [/mm] A mit [mm] s(v_i,v_i \not= [/mm] 0 gegeben
Dann ist [mm] 0=s(x,v_i) [/mm] = [mm] a_i*s(v_i,v_i) [/mm]
=> [mm] a_i [/mm] = 0
D.h. für die Basisvektoren [mm] v_j [/mm] für die [mm] s(v_j,v_j) \not= [/mm] 0 ist, ist der Koeffizient [mm] a_j [/mm] =0
=> x wird aus den Basisvektoren [mm] v_k [/mm] erzeugt, für die gilt: [mm] s(v_k,v_k) [/mm] =0
=> x [mm] \in [/mm] < v [mm] \in [/mm] A | s(v,v) =0 >
=> { v [mm] \in [/mm] V | [mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] V: s(v,w) = 0 } [mm] \subseteq [/mm] < v [mm] \in [/mm] A | s(v,v) =0 >
Also ist die Rückrichtung auch gezeigt
:-D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 So 01.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Danke!
Bitte!
> Kann man so argumentieren?:
> Sei [mm]v_i \in[/mm] A mit [mm]s(v_i,v_i \not=[/mm] 0 gegeben
> Dann ist [mm]0=s(x,v_i)[/mm] = [mm]a_i*s(v_i,v_i)[/mm]
> => [mm]a_i[/mm] = 0
> D.h. für die Basisvektoren [mm]v_j[/mm] für die [mm]s(v_j,v_j) \not=[/mm] 0
> ist, ist der Koeffizient [mm]a_j[/mm] =0
> => x wird aus den Basisvektoren [mm]v_k[/mm] erzeugt, für die gilt:
> [mm]s(v_k,v_k)[/mm] =0
> => x [mm]\in[/mm] < v [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A | s(v,v) =0 >
> => { v [mm]\in[/mm] V | [mm]\forall[/mm] w [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V: s(v,w) = 0 } [mm]\subseteq[/mm] < v
> [mm]\in[/mm] A | s(v,v) =0 >
>
> Also ist die Rückrichtung auch gezeigt
Jep, das sieht gut aus :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 So 01.06.2008 | | Autor: | Damn88 |
Juchuu :)
Dann sage ich noch mal: DANKE!!
und mach mich an die nächste Aufgabe
Schönen Abend noch!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Di 03.06.2008 | | Autor: | pinked |
Hallo,
da bleibt für mich noch eine Frage offen, wieso is das nun alles unabhängig von der Basis die man gewählt hat?? Vllt weil diese Basis immer exisitert, wenn wir symmetische Bilinearformen betrachten, bzw es immer eine Basis P gibt, sodass PAP^-1 diagonal wird!?
Grüße pinki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Di 03.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> da bleibt für mich noch eine Frage offen, wieso is das nun
> alles unabhängig von der Basis die man gewählt hat?? Vllt
> weil diese Basis immer exisitert, wenn wir symmetische
> Bilinearformen betrachten, bzw es immer eine Basis P gibt,
> sodass PAP^-1 diagonal wird!?
Die Menge [mm] $\{ v \in V \mid \forall w \in V : s(v, w) = 0 \}$ [/mm] ist unabhaengig von der gewaehlten Basis. Und sie ist immer gleich [mm] $V^0$, [/mm] welches ja (a priori) von einer Basis abhaengt. Also sieht man damit, dass es voellig egal ist welche Basis man waehlt.
LG Felix
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