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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Sa 16.09.2006 | | Autor: | Mathe00 |
| Aufgabe | Auf zwei geraden, sich rechtwinklig kreuzenden Straßen fahren zwei Autos jeweils mit konstanter Geschwindigkeit. FAhrzeug A ist 2km von der Kreuzung entfernt und hat eine Geschwindigkeit von [mm] 50\bruch{km}{h}. [/mm] Gleichzeitig hat das Fahrzeug B eine Entfernung von 1,5km und fährt mit [mm] 80\bruch{km}{h}.
[/mm]
a) Bestätige, dass die Fahrzeuge über die Kreuzung kommen ohne zusammenzustoßen.
b)Welches ist die kleinste Entfernung der beiden Fahrzeuge voneinander? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ZU a): Ich weiß, dass ich das shconmal in Klasse 11 oder so gemacht habe, doch finde meine Unterlagen nicht mehr. Kann mir jemand vielleciht den kompletten Rechenweg für so diese Aufgabe mit Erklärung geben?
Zu b): Weiß gerade gar nicht wie ich da anfangen muss. Kann mir jemand einen Ansatz leifern?
Danke schon mal im voraus^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Sa 16.09.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Stelle dir einfach ein Koordinatensystem vor, in welchem sich das eine Auto auf der x-Achse und das andere auf der y-Achse jeweils in die positive Richtung bewegt! Im Ursprung sei die Kreuzung.
Dann gilt ja allgemein für die beiden Autos:
Fahrzeug A: [mm] x(t)=-2km+50\bruch{km}{h}*t [/mm] und
Fahrzeug B: [mm] y(t)=-1,5km+80\bruch{km}{h}*t
[/mm]
Nun zur a)
Um zu zeigen, dass die beiden Fahrzeuge nicht im Urpsrung zusammenboxen, rechnest du einfach die Zeiten [mm] t_{1} [/mm] und [mm] t_{2} [/mm] aus, die jedes Auto braucht um den Ursprung zu erreichen. Also
Fahrzeug A: [mm] $x(t)=0\Rightarrow t_{1}$
[/mm]
Fahrzeug B: [mm] $y(t)=0\Rightarrow t_{2}$
[/mm]
Du erhälst unterschiedliche Zeiten, d.h. sie boxen nicht zusammen.
Zur b)
Den Abstand [mm] $\Delta [/mm] z(t)$ (die zu jedem Zeitpunkt kürzeste Verbindung) der beiden Fahrzeuge kann man ja allgemein wie folgt ausdrücken:
[mm] $(\Delta z(t))^{2}=(\Delta x(t))^{2}+(\Delta y(t))^{2}$
[/mm]
Wenn das nicht sofort klar ist, vielleicht kurz ne Skizze machen.
Also
[mm] $(\Delta z(t))^{2}=(-2km+50\bruch{km}{h}*t)^{2}+(-1,5km+80\bruch{km}{h}*t )^{2}$
[/mm]
Nach Ausmultiplizieren und Wurzelziehen erhälst du also deine "Abstandsfunktion" [mm] $\Delta [/mm] z(t)$.
Nun ist die Foderung: [mm] $\Delta [/mm] z(t)$ soll minimal sein. D.h.:
[mm] $\Delta [/mm] z(t)$ minimal [mm] $\gdw$ $\bruch{d}{dt}\Delta [/mm] z(t)=0$ und zusätzlich [mm] $\bruch{d^{2}}{dt^{2}}\Delta [/mm] z(t)>0$.
Hieraus erhält man eine Zeit [mm] t_{3} [/mm] zu welchem der Abstand minimal ist und hiermit den Abstand.
Alles klar soweit?
Ich hoffe ich konnte etwas weiterhelfen!
Lg, Kübi
![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
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