Epizykloide < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Di 30.10.2007 | | Autor: | allan |
Hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich bin zwar noch Schüler, allerdings denke ich dass meine Frage bezüglich der Facharbeit hier besser aufgehoben ist.
Ich beschäftige mich mit einer Nephroide, eine Epizykloide, bei der ein Kreis mit Radius 0,5 um einen Kreis mit Radius 1 rollt.
Für die Parametergleichungen habe ich folgende Rechnungen durchgeführt:
Variablen:
x,y Koordinaten des gesuchten Punktes P
w,z Koordinaten des Mittelpunktes des abrollenden Kreises
t Abrollwinkel
a Radius des festen Kreis (Mittelpunkt M)
1/2a Radius des abrollenden Kreises (Mittelpunkt N)
Rechnung:
x = w - [mm] x_{1}
[/mm]
mit w = 3/2*a*cos(t) (Dreieck aus x-Achse, Ordinate durch M und der Strecke [MN])
und [mm] x_{1} [/mm] = 1/2*a*cos(3t) (Dreieck aus Abszisse durch M, Ordinate durch P und der Strecke [NP])
=> x = 3/2*a*cos(t) - 1/2*a*cos(3t)
In Wikipedia und anderen Internetquellen wird die Formel aber wie folgt angegeben:
x = 3/4*a*cos(t) - 1/4*a*cos(3t)
Wenn ich diese Funktion zeichne, ergibt sich eine kleinere Nephroide, bei der der eigentliche Inkreis den Umkreis darstellt.
Mit meiner ausgerechneten Formel klappt allerdings alles wie ich es mir vorstelle.
Was ist hier falsch? Welche Formel stimmt?
Gruß Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Di 30.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Beides stimmt!
die haben in wiki einfach nen anderen Parameter a gewählt.
der ist ja aber dafür, dass das ne Nephroide gibt völlig egal. Hauptsache der eine ist 3 mal so gross wie der andere.
so ist natürlich x = 17*3/2*a*cos(t) - 17*1/2*a*cos(3t) auch ne Nephroide, und ebenso x = 0,01*3/2*a*cos(t) - 0,01*1/2*a*cos(3t) ebenso.
Beim Zeichnen mit der gleichen Eingabe für a ist die erste von meinen allerdings 1700 mal so gross wie die zweite!
Deine Bezeichnungen sind so wie dus erklärst für dich die besten, also nimm die für ne Facharbeit. sag aber schon, dass ne allgemeine Epizykloide
mit x = a*cos(t) - b*cos(3t) zur Nephroide wird, wenn a/b=3 ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Di 30.10.2007 | | Autor: | allan |
Hallo,
danke erstmal für die rasche Antwort und die Bestätigung, dass meine Formel zur Erklärung sinnvoller ist.
Ich verstehe allerdings die Formel von Wikipedia immer noch nicht.
Wikipedia: "Die Nephroide entsteht durch Abrollen eines Kreises mit dem Radius 0,5 auf der Außenseite eines Kreises mit dem Radius 1."
Wikipedia-Formel: x = 3/4*cos(t) - 1/4*cos(3t)
Wenn ich t=0 setze ist x=1/2, also ein Punkt, der nicht auf dem Umfang des abrollenden Kreises liegt! Dazu müsste x=1 sein.
2. Muss das Verhältnis innerer Kreisradius / äußerer Kreisradius = 2 sein?
Du hast eben a/b=3 geschrieben.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Di 30.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Artikel von wiki ist möglicherweise irreführend. Es wird ja nicht erklärt was "1" ist. klingt komisch, aber 1 kann sehr wohl etwa 2 Längeneinheiten sein.
Ich denk die Darstellung kommt von der anderen Darstellung als Kurve dritten Grades, da entsteht die 3/4.
mein a/b war das Verhaltnis in der Gleichung, hatte nix mit dem a deiner Gleichung zu tun. es ist das Verhältnis der Umlauffrequenzen. Deshalb war eigentlich auch meine Gleichung falsch:
Allgemeine Epicyclöide:
x=acost-bcos(a/b*t) wäre richtig. (ich hatte statt a/b leider ne 3 stehen)
dabei ist a der Radius auf dem der äussere Mittelpunkt ist, b der Radius des Rollkreises (a-b) der Radius des Kreises, auf dem gerollt wird.
bei dir: a=3/2r, b=1/2r ergibt ne Nephroide.
Machst du auch andere bekannte EpiCycloiden ? Ellipse, Astroid, Cardioide, Deltoide Limacon?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Do 01.11.2007 | | Autor: | allan |
Hallo,
danke für deine Antworten, du hast mir sehr geholfen!
Ich beschäftige mich nur mit der nephroide bzw. ihrer kaustik.
allerdings habe ich noch schwierigkeiten, die beiden formeln in eine Formel ohne t zu bringen.
meine parametergleichungen sind:
x=6a*cos(t)-4a*cos³(t)
y=4a*sin³(t)
ich habe folgendermaßen gedacht:
da sin³(t)=pi/2-cos³(t) ist, kann man diese gleichung ja nach cos³(t) auflösen:
cos³(t)=pi/2 - y/4a
davon die dritte wurzel und ich kann es in die erste gleichung einsetzen.
was ist denn mein denkfehler hier?
wie stell ich das besser an?
gruß
PS: Kennt jemand gute fachliteratur zu diesem thema?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Fr 02.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> allerdings habe ich noch schwierigkeiten, die beiden
> formeln in eine Formel ohne t zu bringen.
> meine parametergleichungen sind:
> x=6a*cos(t)-4a*cos³(t)
> y=4a*sin³(t)
>
> ich habe folgendermaßen gedacht:
> da sin³(t)=pi/2-cos³(t) ist, kann man diese gleichung ja
> nach cos³(t) auflösen:
Diese Gleichung ist keine richtige Beziehung, setzt z.Bsp t=0 dann siehst dus.
ich habs nicht durchgerechnet, aber sicher musst du verwenden, dass [mm] sin^6a=(1-cos^2a)^3 [/mm] ist.
Eine gute Quelle ist (natürlich) englisch: ![[]](/images/popup.gif) hier
Gruss leduart
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