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Hallo ihr!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe dringende Frage zu Folgen.
Wir haben in der letzten Vorlesung angefangen mit Folgen und Reihen , aber darüber noch nicht sehr viel erfahren...
Als Übungsaufgabe haben wir jetzt aber schon folgende:
Bestimmen sie für die Folge reeler Zahlen (aj) j [mm] \in \IN, [/mm] und a [mm] \in \IR [/mm] zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] größer 0 eine natürliche Zahl N , so dass aj [mm] \in [/mm] (a- [mm] \varepsilon [/mm] , a + [mm] \varepsilon) [/mm] für alle aj [mm] \in \IN [/mm] mit j [mm] \ge [/mm] N gilt:
aj: = [mm] \bruch{2 * j^3 + (-1)^j *j - 3}{j^3+3*(-1)^j} [/mm] für j [mm] \in \IN [/mm] , a := 2
Jetzt weiß man ja, wegen der Definition zu Konvergenz von Folgen, dass a dann Grenzwert der Folge ist, wenn zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] größer 0 ein N [mm] \in \IN [/mm] existiert, sodass [mm] \left| aj - a \right| [/mm] kleiner ist für alle n [mm] \ge [/mm] N.
Also habe ich angefangen auszurechnen:
[mm] \left| \bruch{2 * j^3 + (-1)^j *j - 3}{j^3+3*(-1)^j} - 2 \right| [/mm] kleiner [mm] \varepsilon [/mm]
Umgeformt folgt daraus [mm] :\left| \bruch{(-1)^j * n - 3 *(-1)^j -3 }{j^3 + 3*(-1)^j}\right| [/mm] kleiner [mm] \varepsilon [/mm]
Nun müsste ich das ja irgendwie nach j auflösen um sagen zu können , ab welchem j die Folge für jedes noch so kleine [mm] \varepsilon [/mm] in dem Bereich aj [mm] \in [/mm] (a- [mm] \varepsilon [/mm] , a + [mm] \varepsilon) [/mm] liegt. (also in der Epsilon-Umgebung)
Aber irgendwie komme ich bei dieser Foge überhaupt nicht weiter.
Könnt ihr mir weiterhelfen?
Lg Sandra
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Mir ist noch eingefallen, dass man evtl. eine Fallunterschiedung machen könnte...
einmal für gerade j und einmal für ungerade j .
Denn in dem Fall das j gerade ist, ist [mm] (-1)^j= [/mm] 1
in dem Fall das j ungerade ist, ist [mm] (-1)^j [/mm] = -1
Evtl. kann man das bei der Umformung benutzen.
Ich komme aber trotzdem irgendiwe nicht voran bei der Aufgabe.....
Liebe Grüße Sandra
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Hallo ihr!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt, aber mit einem kürzeren Lösungsweg schonmal in diesem Forum!
da aber bisher keiner geantwortet hat,wollte ich jetzt noichmal meinen Eintrag mit einem besseren Lösungsweg erweitern.
Wir haben in der letzten Vorlesung angefangen mit Folgen und Reihen , aber darüber noch nicht sehr viel erfahren...
Als Übungsaufgabe haben wir jetzt aber schon folgende:
Bestimmen sie für die Folge reeler Zahlen (aj) j [mm] \in \IN, [/mm] und a [mm] \in \IR [/mm] zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] größer 0 eine natürliche Zahl N , so dass aj [mm] \in [/mm] (a- [mm] \varepsilon [/mm] , a + [mm] \varepsilon) [/mm] für alle aj [mm] \in \IN [/mm] mit j [mm] \ge [/mm] N gilt:
aj: = [mm] \bruch{2 * j^3 + (-1)^j *j - 3}{j^3+3*(-1)^j} [/mm] für j [mm] \in \IN [/mm] , a := 2
Jetzt weiß man ja, wegen der Definition zu Konvergenz von Folgen, dass a dann Grenzwert der Folge ist, wenn zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] größer 0 ein N [mm] \in \IN [/mm] existiert, sodass [mm] \left| aj - a \right| [/mm] kleiner ist für alle n [mm] \ge [/mm] N.
Also habe ich angefangen auszurechnen:
[mm] \left| \bruch{2 * j^3 + (-1)^j *j - 3}{j^3+3*(-1)^j} - 2 \right| [/mm] kleiner [mm] \varepsilon [/mm]
Umgeformt folgt daraus [mm] :\left| \bruch{(-1)^j * n - 6 *(-1)^j -3 }{j^3 + 3*(-1)^j}\right| [/mm] kleiner [mm] \varepsilon [/mm]
Nun müsste ich das ja irgendwie nach j auflösen um sagen zu können , ab welchem j die Folge für jedes noch so kleine [mm] \varepsilon [/mm] in dem Bereich aj [mm] \in [/mm] (a- [mm] \varepsilon [/mm] , a + [mm] \varepsilon) [/mm] liegt. (also in der Epsilon-Umgebung)
Wenn man nun zwischen geraden j und ungeraden j unterscheidet, wird der Term in den Betragstrichen etwas übersichtlicher.
1.Fall j gerade : [mm] \left| \bruch{ 1*j -9}{j^3+3}\right| [/mm] kleiner [mm] \varepsilon
[/mm]
2.Fall j ungerade : [mm] \left| \bruch{ -1*j +3}{j^3-3}\right| [/mm] kleiner [mm] \varepsilon
[/mm]
wenn man das weiterumformt, komme ich jetzt auf [mm] \left| \bruch{1}{\varepsilon} kleiner \left| \bruch{j^3+3}{j-9}\right|
und
wenn man das weiterumformt, komme ich jetzt auf \left| \bruch{1}{\varepsilon} \right| kleiner \left| \bruch{j^3-3}{j+3} \right|
erstma bin ich nicht mal sciher ob das richtig ist, zweitens sagt mir das aber irgendwie auch gar nichts...
wie bestimm ich daraus jetzt ein N so dass aj \in (a- \varepsilon , a + \varepsilon) für alle aj \in \IN mit j \ge N gilt:
Könnt ihr mir JETZT weiterhelfen?
Lg Sandra
[/mm]
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Hallo Sandra,
> 1.Fall j gerade : [mm]\left| \bruch{ 1*j -9}{j^3+3}\right|[/mm]
> kleiner [mm]\varepsilon[/mm]
> 2.Fall j ungerade : [mm]\left| \bruch{ -1*j +3}{j^3-3}\right|[/mm]
> kleiner [mm]\varepsilon[/mm]
Fallunterscheidung macht das ganze schonmal übersichtlicher.
Es muß allerdings keine exakt Umformung sein. Abschätzen ist häufig einfacher.
Für j>9 gilt:
[mm]\left| \bruch{ 1*j -9}{j^3+3}\right|<\left| \bruch{j}{j^3}\right|[/mm]
Zähler größer , Nenner kleiner - gesamter Bruch größer
und
[mm] \left| \bruch{j}{j^3}\right|<\left| \bruch{1}{j}\right|
[/mm]
Dann wird es leichter.
viele Grüße
mathemaduenn
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