Epsilon-Delta-Kriterium < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:40 Fr 21.11.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit dem Epsilon-Delta-Kriterium, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^2}{x^2+2}=1 [/mm] gilt.
Geben Sie insbesondere ein [mm] \delta > 0 [/mm] an, sodass [mm] | \bruch{x^2}{x^2+2}-1 | < \bruch{1}{10^5} [/mm] für [mm] x > \bruch{1}{\delta} [/mm] erfüllt ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich habe leider grosse Probleme mit dem [mm] \varepsilon - \delta[/mm] Kriterium.
Mein Ansatz ist folgender:
[mm] |f(x)-1|=|\bruch{x^2-x^2-2}{x^2+2}|=|\bruch{-2}{x^2+2}|<\bruch{2}{x^2+2} [/mm]
Sei nun [mm] \varepsilon > 0 [/mm], dann wähle ich [mm] \delta=\bruch{2}{\varepsilon+2} [/mm], dann ist [mm] 0 < \delta < 1 [/mm].
Aber eigentlich weiss ich hier schon nicht mehr, warum ich das mache - in meinem Skript bei einer Beispielaufgabe wird hier gegen irgendwas abgeschätzt... ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Und jetzt weiss ich nicht mehr weiter.
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Fr 21.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie mit dem Epsilon-Delta-Kriterium, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x^2}{x^2+2}=1[/mm] gilt.
> Geben Sie insbesondere ein [mm]\delta > 0[/mm] an, sodass [mm]| \bruch{x^2}{x^2+2}-1 | < \bruch{1}{10^5}[/mm]
> für [mm]x > \bruch{1}{\delta}[/mm] erfüllt ist.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> ich habe leider grosse Probleme mit dem [mm]\varepsilon - \delta[/mm]
> Kriterium.
> Mein Ansatz ist folgender:
>
> [mm]|f(x)-1|=|\bruch{x^2-x^2-2}{x^2+2}|=|\bruch{-2}{x^2+2}|<\bruch{2}{x^2+2}[/mm]
Warum machst Du hier nicht weiter ? (oben muß statt "<" ein "=" stehen !!)
[mm]|f(x)-1|=|\bruch{x^2-x^2-2}{x^2+2}|=|\bruch{-2}{x^2+2}|=\bruch{2}{x^2+2}[/mm] < [mm] \bruch{2}{x^2}
[/mm]
Sei nun [mm]\varepsilon > 0 [/mm]. [mm] \bruch{2}{x^2} [/mm] < [mm] \varepsilon \gdw [/mm] x > [mm] \wurzel{2/\varepsilon}
[/mm]
Hilft das ?
FRED
> Sei nun [mm]\varepsilon > 0 [/mm], dann wähle ich
> [mm]\delta=\bruch{2}{\varepsilon+2} [/mm], dann ist [mm]0 < \delta < 1 [/mm].
>
> Aber eigentlich weiss ich hier schon nicht mehr, warum ich
> das mache - in meinem Skript bei einer Beispielaufgabe wird
> hier gegen irgendwas abgeschätzt...
> Und jetzt weiss ich nicht mehr weiter.
>
> Danke, Susanne.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Fr 21.11.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Fred,
VIELEN DANK für Deine Hilfe.
> Warum machst Du hier nicht weiter ? (oben muß statt "<" ein
> "=" stehen !!)
>
> [mm]|f(x)-1|=|\bruch{x^2-x^2-2}{x^2+2}|=|\bruch{-2}{x^2+2}|=\bruch{2}{x^2+2}[/mm]
> < [mm]\bruch{2}{x^2}[/mm]
>
> Sei nun [mm]\varepsilon > 0 [/mm]. [mm]\bruch{2}{x^2}[/mm] < [mm]\varepsilon \gdw[/mm]
> x > [mm]\wurzel{2/\varepsilon}[/mm]
>
> Hilft das ?
Leider noch nicht so richtig.
Jetzt habe ich also einen x-Wert, ab dem der Funktionswert in der Epsilon-Umgebung [mm] \bruch{2}{x^2} [/mm] liegt.
Wie komme ich jetzt auf [mm] \delta [/mm] ?
Wenn ich ein [mm] x_0 > x [/mm] finde, mit [mm] | x_0 - \wurzel{\bruch{2}{\varepsilon}} | = \delta [/mm] ?
Oder ist das falsch - und dann ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Fr 21.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du suchst doch ein [mm] \delta [/mm] so dass fuer alle x die Groesser als [mm] 1/\delta [/mm] sind [mm] |f(x)-1|<\epsilon
[/mm]
du hast schon [mm] |f(x)-1|<\bruch{2}{x^2} [/mm] damit das [mm] <\epsilon [/mm] ist
also willst du [mm] \bruch{2}{x^2}<\epsilon [/mm] daraus folgt [mm] x^2>2/\varepsilon [/mm] also [mm] x>\wurzel{2/\varepsilon }
[/mm]
also setzest du [mm] 1/\delta=\wurzel{2/\varepsilon } [/mm] und die Vorderung ist erfuellt.
wenn also etwa wie in der Aufgabe [mm] \epsilon=10^{-5} [/mm] musst du [mm] 1/\delta\ge\wurzel{2*10^5} [/mm] waehlen also etwa [mm] 1/\delta=450
[/mm]
Zusammengefasst: wenn x>450 dann ist f(x) fast 1, d.h. es unterscheidet sich von 1 hoechstens durch [mm] 1/10^5
[/mm]
(wenn du noch naeher an 1 ran willst, etwa bis auf [mm] 1/10^{12}
[/mm]
must du x> [mm] 1,5*10^6 [/mm] waehlen usw.
Egal was jemand sagt, wie nahe an 1 f(x) sein soll, du kannst jetzt immer sagen wie gross x mindestens sein muss um das zu erfuellen.
Das [mm] \epsilon- \delta [/mm] Kriterium stell ich mir immer als "Streitgespraech" vor: Dein Gegner sagt du kommst nicht so nah an 1 ran wie [mm] 10^{-5} [/mm] dann sagst du : doch nimm nur x>450. dann sagt er: aber nicht so nah wie [mm] 10^{-20} [/mm] dann sagst du doch nimm nur x>...
Wenn er einen noch so kleinen Wert fuer den Unterschied zu 1 angibt, du hast immer ein "passendes" x zur Hand.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Fr 21.11.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo leduart,
vielen vielen Dank für Deine tolle Erklärung !!
(Ich musste leider weg und habe auch noch eine Weile über Deiner Antwort gebrütet, deshalb melde ich mich so spät).
Jetzt - bei dieser Aufgabe - denke ich wieder, ok, ich hab es verstanden. Das zeigt sich dann aber erst bei der nächsten Aufgabe - die vielleicht ein wenig anders geartet ist - mal sehen 
Eine Frage habe ich noch:
Ich dachte, [mm] \delta [/mm] ist ein Bereich auf der x-Achse, aber in diesem Fall wird über [mm] \delta [/mm] der x-Wert bestimmt, ab wann der Funktionswert höchstens um [mm] \varepsilon [/mm] vom Grenzwert abweicht. Stimmt das so ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Fr 21.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bei betrachtungen etwa bei x gegen 0 oder gegen ein endliches a ist ein Streifen der Breite [mm] 2\delta [/mm] um a herum. hier geht aber x gegen unendlich, also hat man einen "streifen" um unendlich der hier eben von [mm] 1/\delta [/mm] bis unendlich reicht,
Lass dich dadurch nicht bei anderen solchen aufgaben irritieren, wo meist f(x) betrachtet wird bei einem Wert x=a und du untersuchst ob fuer x gegen a f(x) gegen f(a) geht.
da hast du mit deinem [mm] \delta [/mm] bereich um x auf der x-Achse recht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Fr 21.11.2008 | | Autor: | SusanneK |
Ah, ok, das habe ich jetzt verstanden.
VIELEN VIELEN DANK !!
LG, Susanne.
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