Epsilon-Delta-Kriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Sa 03.12.2011 | | Autor: | JackRed |
| Aufgabe | f: [mm] \IR\to\IR, f(x)=|x^{2}-3|
[/mm]
Zeige mit dem Epsilon-Delta-Kriterium, dass f in jedem [mm] x_{0}\in\IR [/mm] stetig ist. |
Hallo,
Komme mit der Aufgabe nicht klar, obwohl sie wohl nicht so schwer sein sollte.
Ich muss also zeigen, dass es ein [mm] \delta>0 [/mm] gibt mit [mm] |x-x_{0}|<\delta, [/mm] so dass [mm] |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon [/mm] für jedes [mm] \epsilon>0 [/mm] gilt.
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich da rangehe. Hätte es mir so gedacht, dass ich bei mir auf dem Schmierzettel davon ausgehe, dass es so ein [mm] \delta [/mm] gibt und dann forme ich [mm] |f(x)-f(x_{0})| [/mm] so lange um bis ich es in Relation zu [mm] |x-x_{0}|<\delta [/mm] setzen kann und löse dann quasi weiter nach [mm] \delta [/mm] auf bis ich einen Ausdruck für [mm] \delta [/mm] unabhängig von x finde.
Im richtigen Beweis werfe ich das [mm] \delta [/mm] dann in den Raum (zeige vielleicht kurz wie ich drauf gekommen bin) und zeige dann, dass es für ein [mm] \epsilon>0 [/mm] ein eben dieses [mm] \delta [/mm] gibt mit [mm] |x-x_{0}|<\delta, [/mm] so dass [mm] |f(x)-f(x_{0})|<\epsilon [/mm] (Wie mache ich das konkret?).
Kann ich das so machen oder habe ich beim Epsilon-Delta-Kriterium irgendetwas falsch verstanden?
Nur wie geht es konkret bei dieser Aufgabe. Man hat dann ja [mm] ||x^{2}-3|-|x_{0}^{2}-3|| [/mm] und da weiß ich überhaupt nicht wie man das vereinfacht.
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Hallo JackRed,
> f: [mm]\IR\to\IR, f(x)=|x^{2}-3|[/mm]
> Zeige mit dem
> Epsilon-Delta-Kriterium, dass f in jedem [mm]x_{0}\in\IR[/mm] stetig
> ist.
> Hallo,
> Komme mit der Aufgabe nicht klar, obwohl sie wohl nicht so
> schwer sein sollte.
> Ich muss also zeigen, dass es ein [mm]\delta>0[/mm] gibt mit
> [mm]|x-x_{0}|<\delta,[/mm] so dass [mm]|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon[/mm] für
> jedes [mm]\epsilon>0[/mm] gilt.
Naja, da stimmt die Reihenfolge der Quantoren (implizit) nicht!
Du musst zeigen, dass es zu jedem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $\delta>0$ [/mm] gibt, so dass...
>
> Mein Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich da rangehe.
> Hätte es mir so gedacht, dass ich bei mir auf dem
> Schmierzettel davon ausgehe, dass es so ein [mm]\delta[/mm] gibt und
> dann forme ich [mm]|f(x)-f(x_{0})|[/mm] so lange um bis ich es in
> Relation zu [mm]|x-x_{0}|<\delta[/mm] setzen kann und löse dann
> quasi weiter nach [mm]\delta[/mm] auf bis ich einen Ausdruck für
> [mm]\delta[/mm] unabhängig von x finde.
>
> Im richtigen Beweis werfe ich das [mm]\delta[/mm] dann in den Raum
> (zeige vielleicht kurz wie ich drauf gekommen bin) und
> zeige dann, dass es für ein beliebiges !! [mm]\epsilon>0[/mm] ein eben dieses
> [mm]\delta[/mm] gibt mit [mm]|x-x_{0}|<\delta,[/mm] so dass
> [mm]|f(x)-f(x_{0})|<\epsilon[/mm]
So ist es richtig formuliert!
> (Wie mache ich das konkret?).
>
> Kann ich das so machen oder habe ich beim
> Epsilon-Delta-Kriterium irgendetwas falsch verstanden?
Nö, so ist das übliche Vorgehen.
>
> Nur wie geht es konkret bei dieser Aufgabe. Man hat dann ja
> [mm]||x^{2}-3|-|x_{0}^{2}-3||[/mm] und da weiß ich überhaupt nicht
> wie man das vereinfacht.
So wie ich das sehe, hilft die Dreiecksungleichung für die beiden "inneren" Beträge weiter ...
Der Rest ergibt sich dann recht einfach ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Sa 03.12.2011 | | Autor: | JackRed |
Hey danke erstmal für deine Antwort.
> So wie ich das sehe, hilft die Dreiecksungleichung für die
> beiden "inneren" Beträge weiter ...
Mh.. ich versteh grad' nicht wie ich die benutzen soll. Soll ich zuerst Nullen addieren, also z.B [mm] +x_{0}^{2}-x_{0}^{2} [/mm] im ersten [mm] +x^{2}-x^{2} [/mm] im zweiten Betrag und dann Dreiecksungleichung anwenden?
Dann käme ich auf:
[mm] ||x^{2}-3|-|x^{2}_{0}-3||\le||x^{2}-x^{2}_{0}|+|x^{2}-3|-(|x^{2}_{0}-x^{2}|+|x^{2}-3|)|
[/mm]
Nur weiß ich wieder nicht wie ich ab hier weiter machen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 So 04.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch für [mm] x^2-3>0 [/mm] die funktion [mm] f(x)=x^2-3
[/mm]
für [mm] x^2-3<0 [/mm] die Funktion [mm] f(x)=-x^2+3 [/mm] deren stetigkeit zu zeigen musst du nicht, wenn du jemals schon [mm] x^2 [/mm] als stetig gezeigt hast. Also kommt es nur auf die 2 Stellen [mm] x=+\wurzel{3} [/mm] und x [mm] =-\wurzel{3} [/mm] an. der Funktionswert ist 0.
und du musst nur zeigen, dass für [mm] x=\wurzel{3}\\pm \delta |x^2-3|<\epsilon
[/mm]
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:04 So 04.12.2011 | | Autor: | JackRed |
Danke für deine Antwort. Ich werd's mal so versuchen.
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