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| Aufgabe | Zeige, dass
a) f(x)= [mm] x^2
[/mm]
b) [mm] f(x)=\bruch{1}{1+x^2}
[/mm]
c) [mm] f(x)=\wurzel{2x}
[/mm]
stetig ist. Verwende dazu die Epsilon-Delta Abschätzung.
Klassifiziere die Art der Stetigkeit auf [0,1] |
Guten Abend!
ich habe mich einmal bei b) versucht:
ich zeige, dass zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 existiert, so dass:
|x-y|< [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(y)| < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] |f(x)-f(y)|=|\bruch{1}{1+x^2}-\bruch{1}{1+y^2}|=| \bruch{y^2+1-x^2-1}{(x^2+1)(y^2+1)}|= \bruch{|x-y||x+y|}{|x^2y^2+x^2+y^2+1|}\le \bruch{|x+y|}{|x^2y^2+x^2+y^2+1|} [/mm] |x-y|
da [mm] \bruch{|x+y|}{|x^2y^2+x^2+y^2+1|} [/mm] < 1 kann ich [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \delta [/mm] wählen, oder?
diese Funktion wäre L-Stetig mit L<1 und damit [0,1] kontrahierend. (stimmt das so weit)?
a) |x-y|< [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(y)| < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] |f(x)-f(y)|=|x^2-y^2|= [/mm] |x+y||x-y|
dh ich kann kein globales [mm] \delta [/mm] vorgeben, da es immer von |x+y| abhängt? (würde für mich Sinn machen, da [mm] x^2 [/mm] ja über alle schranken wächst für x [mm] \to \infty [/mm] )
auf [0,1] ist die Funktion dann L-Stetig mit L=1
auf [0,1) wäre sie sogar kontrahierend
stimmt das so weit? :)
ich finde es so seltsam, dass man fast immer [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \delta [/mm] angeben kann....
c) (abgekürzt) ...= [mm] |\bruch{2x-2y}{\wurzel{2x}+\wurzel{2y}}|\le \bruch{2}{\wurzel{2x}+\wurzel{2y}}|x-y|
[/mm]
auch hier kein glob delta,
auf [0,1] gilt [mm] |x-y|<\wurzel{2} \delta \le \delta\le \bruch{1}{\wurzel{2}} \varepsilon \le \bruch{2}{2 \wurzel{2}}|x-y|=\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] |x-y| also kontrahierend (=L-stetig mit L kleiner 1).
die Funktion wäre sogar auch [0,2) kontrahierend...
über jede Hilfe wie immer sehr dankbar :)
lg
Chris
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 So 01.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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