Epsilon-Delta Kriterium < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie mit hilfe der [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Definition von Stetigkeit, dass die Summe zweier stetiger Funktinoen wieder eine stetige Funktion ergibt. |
Seien [mm] f:\IR\to \IR [/mm] und [mm] g:\IR\to \IR [/mm] zwei stetige Funktionen.
Zu zeigen ist, dass auf [mm] (f+g):\IR\to \IR [/mm] stetig ist...
Nach der [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Definition gilt:
da f steitg ist:
[mm] \forall \epsilon \in \IR^+ \exists \delta_1 \in \IR^+\forall [/mm] x,y [mm] \in \IR |x-y|<\delta_1 \rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon
[/mm]
da g stetig ist:
[mm] \forall \epsilon \in \IR^+ \exists \delta_2 \in \IR^+\forall [/mm] x,y [mm] \in \IR |x-y|<\delta_2 \rightarrow |g(x)-g(y)|<\epsilon
[/mm]
zu zeigen:
[mm] \forall \epsilon \in \IR^+ \exists \delta \in \IR^+\forall [/mm] x,y [mm] \in \IR |x-y|<\delta \rightarrow |(f+g)(x)-(f+g)(y)|<\epsilon
[/mm]
Hmm die "Ferien" waren wohl ein wenig zu lang, ich würde mich also über jeden Tipp freuen!
Meine Überlegung. ich weiß, dass es ein [mm] x_1 [/mm] und [mm] y_1 [/mm] gibt mit [mm] |x_1-y_1|<\delta \rightarrow |f(x_1)-f(y_1)|<\epsilon_1
[/mm]
und [mm] |g(x_1)-g(y_1)|<\epsilon_2
[/mm]
Sei nun [mm] \epsilon_2>\epsilon_1
[/mm]
dann ist auch [mm] |f(x_1)-f(y_1)|<\epsilon_2
[/mm]
nach Dreiecksungleichung folgt
-> [mm] |(f+g)(x_1)-(f+g)(y_1)|=|(f(x_1)+g(x_1))-(f(y_1)+g(y_2))| \le |g(x_2)-g(y_2)|+|f(x_1)-f(y_1)|<2*\epsilon_2
[/mm]
also [mm] |(f+g)(x_1)-(f+g)(y_1)|<2*\epsilon_2
[/mm]
Ist das alles unsinn?
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Hallo Nadelspitze,
> Beweisen Sie mit hilfe der [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] Definition
> von Stetigkeit, dass die Summe zweier stetiger Funktinoen
> wieder eine stetige Funktion ergibt.
> Seien [mm]f:\IR\to \IR[/mm] und [mm]g:\IR\to \IR[/mm] zwei stetige
> Funktionen.
> Zu zeigen ist, dass auf [mm](f+g):\IR\to \IR[/mm] stetig ist...
>
> Nach der [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] Definition gilt:
>
> da f steitg ist:
> [mm]\forall \epsilon \in \IR^+ \exists \delta_1 \in \IR^+\forall[/mm]
> x,y [mm]\in \IR |x-y|<\delta_1 \rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon[/mm]
Genauer: stetig in [mm] $y\in\IR$, [/mm] wenn [mm] $\forall\varepsilon>0\exists\delta_1\forall x\in\IR: |x-y|<\delta_1\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon$
[/mm]
>
>
>
> da g stetig ist:
> [mm]\forall \epsilon \in \IR^+ \exists \delta_2 \in \IR^+\forall[/mm]
> x,y [mm]\in \IR |x-y|<\delta_2 \rightarrow |g(x)-g(y)|<\epsilon[/mm]
Das ist wieder nicht ganz stimmig in der Definition, schaue die die Def. nochmal genau an!
>
>
> zu zeigen:
> [mm]\forall \epsilon \in \IR^+ \exists \delta \in \IR^+\forall[/mm]
> x,y [mm]\in \IR |x-y|<\delta \rightarrow |(f+g)(x)-(f+g)(y)|<\epsilon[/mm]
Wie oben, zu zeigen ist, dass $f+g$ in bel. gegebenem [mm] $y\in\IR$ [/mm] stetig ist.
Das y hat in dem Allquantor nix verloren.
Ansonsten ahst du recht!
>
>
> Hmm die "Ferien" waren wohl ein wenig zu lang, ich würde
> mich also über jeden Tipp freuen!
> Meine Überlegung. ich weiß, dass es ein [mm]x_1[/mm] und [mm]y_1[/mm] gibt
> mit [mm]|x_1-y_1|<\delta \rightarrow |f(x_1)-f(y_1)|<\epsilon_1[/mm]
>
> und [mm]|g(x_1)-g(y_1)|<\epsilon_2[/mm]
> Sei nun [mm]\epsilon_2>\epsilon_1[/mm]
Was sind denn [mm]\varepsilon_{1,2}[/mm] ?
> dann ist auch [mm]|f(x_1)-f(y_1)|<\epsilon_2[/mm]
>
>
> nach Dreiecksungleichung folgt
> ->
> [mm]|(f+g)(x_1)-(f+g)(y_1)|=|(f(x_1)+g(x_1))-(f(y_1)+g(y_2))| \le |g(x_2)-g(y_2)|+|f(x_1)-f(y_1)|<2*\epsilon_2[/mm]
>
> also [mm]|(f+g)(x_1)-(f+g)(y_1)|<2*\epsilon_2[/mm]
>
>
> Ist das alles unsinn?
Nein, die Idee ist gut! Du brauchst nat. die Dreiecksungleichung und musst das gesuchte [mm]\delta[/mm] aus den [mm]\delta_{1,2}[/mm] aus der Stetigkeitsdef. von f,g verwenden.
Du bekommst ja die Abstände [mm]|f(x)-f(y)|[/mm] und [mm]|g(x)-g(y)|[/mm] ja beliebig klein, also nicht nur kleiner als [mm]\varepsilon[/mm], sondern auch kleiner als [mm]\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
Das mit [mm]x_1,x_2,y_1,y_2[/mm] brauchst du nicht.
Du hast, dass [mm]f,g[/mm] in [mm]y\in\IR[/mm] bel. stetig sind.
Dann ist für [mm]|x-y|<\delta:=??[/mm] auch [mm]|(f+g)(x)-(f+g)(y)|=...\le|f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|\le\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon[/mm] (so nach deiner Machart mit der Dreiecksungleichung oben)
Es fehlt nur das passende [mm]\delta[/mm]?
Wie kannst du das denn sehr naheliegend wählen (abh. von den obgen [mm]\delta_1,\delta_2[/mm]) ?
Gruß
schachuzipus
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> > Seien [mm]f:\IR\to \IR[/mm] und [mm]g:\IR\to \IR[/mm] zwei stetige
> > Funktionen.
> > Zu zeigen ist, dass auf [mm](f+g):\IR\to \IR[/mm] stetig ist...
> >
> > Nach der [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] Definition gilt:
> >
> Genauer: stetig in [mm]y\in\IR[/mm], wenn
> [mm]\forall\varepsilon>0\exists\delta_1\forall x\in\IR: |x-y|<\delta_1\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon[/mm]
>
Also auch hier:
Da g in y [mm] \in\IR [/mm] stetig
[mm]\forall\varepsilon>0\exists\delta_2\forall x\in\IR:
|x-y|<\delta_2\Rightarrow |g(x)-g(y)|<\varepsilon[/mm]
> >
> >
> > zu zeigen:
[mm]\forall\varepsilon>0\exists\delta_3\forall x\in\IR:
|x-y|<\delta_3\Rightarrow |(f+g)(x)-(f+g)(y)|<\varepsilon[/mm]
> > Hmm die "Ferien" waren wohl ein wenig zu lang, ich würde
> > mich also über jeden Tipp freuen!
> > Meine Überlegung. ich weiß, dass es ein [mm]x_1[/mm] und [mm]y_1[/mm]
> gibt
> > mit [mm]|x_1-y_1|<\delta \rightarrow |f(x_1)-f(y_1)|<\epsilon_1[/mm]
>
> >
> > und [mm]|g(x_1)-g(y_1)|<\epsilon_2[/mm]
> > Sei nun [mm]\epsilon_2>\epsilon_1[/mm]
>
>
> Was sind denn [mm]\varepsilon_{1,2}[/mm] ?
Der Grenzwert des Intervalls [x,y]
>
> > dann ist auch [mm]|f(x_1)-f(y_1)|<\epsilon_2[/mm]
> >
> >
> > nach Dreiecksungleichung folgt
> > ->
> > [mm]|(f+g)(x_1)-(f+g)(y_1)|=|(f(x_1)+g(x_1))-(f(y_1)+g(y_2))| \le |g(x_2)-g(y_2)|+|f(x_1)-f(y_1)|<2*\epsilon_2[/mm]
>
> >
> > also [mm]|(f+g)(x_1)-(f+g)(y_1)|<2*\epsilon_2[/mm]
> >
> >
> > Ist das alles unsinn?
>
> Nein, die Idee ist gut! Du brauchst nat. die
> Dreiecksungleichung und musst das gesuchte [mm]\delta[/mm] aus den
> [mm]\delta_{1,2}[/mm] aus der Stetigkeitsdef. von f,g verwenden.
>
> Du bekommst ja die Abstände [mm]|f(x)-f(y)|[/mm] und [mm]|g(x)-g(y)|[/mm] ja
> beliebig klein, also nicht nur kleiner als [mm]\varepsilon[/mm],
> sondern auch kleiner als [mm]\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
>
> Das mit [mm]x_1,x_2,y_1,y_2[/mm] brauchst du nicht.
>
> Du hast, dass [mm]f,g[/mm] in [mm]y\in\IR[/mm] bel. stetig sind.
>
> Dann ist für [mm]|x-y|<\delta:=??[/mm] auch
> [mm]|(f+g)(x)-(f+g)(y)|=...\le|f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|\le\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon[/mm]
> (so nach deiner Machart mit der Dreiecksungleichung oben)
>
> Es fehlt nur das passende [mm]\delta[/mm]?
>
> Wie kannst du das denn sehr naheliegend wählen (abh. von
> den obgen [mm]\delta_1,\delta_2[/mm]) ?
müsste es nicht [mm] \delta_3=\delta_1+\delta_2 [/mm] sein?
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Danke schon jetzt für die Hilfe :)
Kai
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:20 Mi 04.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Seien [mm]f:\IR\to \IR[/mm] und [mm]g:\IR\to \IR[/mm] zwei stetige
> > > Funktionen.
> > > Zu zeigen ist, dass auf [mm](f+g):\IR\to \IR[/mm] stetig
> ist...
> > >
> > > Nach der [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] Definition gilt:
> > >
>
> > Genauer: stetig in [mm]y\in\IR[/mm], wenn
> > [mm]\forall\varepsilon>0\exists\delta_1\forall x\in\IR: |x-y|<\delta_1\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon[/mm]
>
> >
>
> Also auch hier:
> Da g in y [mm]\in\IR[/mm] stetig
> [mm]\forall\varepsilon>0\exists\delta_2\forall x\in\IR:
|x-y|<\delta_2\Rightarrow |g(x)-g(y)|<\varepsilon[/mm]
>
> > >
> > >
> > > zu zeigen:
> [mm]\forall\varepsilon>0\exists\delta_3\forall x\in\IR:
|x-y|<\delta_3\Rightarrow |(f+g)(x)-(f+g)(y)|<\varepsilon[/mm]
>
>
> > > Hmm die "Ferien" waren wohl ein wenig zu lang, ich würde
> > > mich also über jeden Tipp freuen!
> > > Meine Überlegung. ich weiß, dass es ein [mm]x_1[/mm] und
> [mm]y_1[/mm]
> > gibt
> > > mit [mm]|x_1-y_1|<\delta \rightarrow |f(x_1)-f(y_1)|<\epsilon_1[/mm]
>
> >
> > >
> > > und [mm]|g(x_1)-g(y_1)|<\epsilon_2[/mm]
> > > Sei nun [mm]\epsilon_2>\epsilon_1[/mm]
> >
> >
> > Was sind denn [mm]\varepsilon_{1,2}[/mm] ?
> Der Grenzwert des Intervalls [x,y]
Das ist doch Quatsch !!
>
> >
> > > dann ist auch [mm]|f(x_1)-f(y_1)|<\epsilon_2[/mm]
> > >
> > >
> > > nach Dreiecksungleichung folgt
> > > ->
> > >
> [mm]|(f+g)(x_1)-(f+g)(y_1)|=|(f(x_1)+g(x_1))-(f(y_1)+g(y_2))| \le |g(x_2)-g(y_2)|+|f(x_1)-f(y_1)|<2*\epsilon_2[/mm]
>
> >
> > >
> > > also [mm]|(f+g)(x_1)-(f+g)(y_1)|<2*\epsilon_2[/mm]
> > >
> > >
> > > Ist das alles unsinn?
> >
> > Nein, die Idee ist gut! Du brauchst nat. die
> > Dreiecksungleichung und musst das gesuchte [mm]\delta[/mm] aus
> den
> > [mm]\delta_{1,2}[/mm] aus der Stetigkeitsdef. von f,g verwenden.
> >
> > Du bekommst ja die Abstände [mm]|f(x)-f(y)|[/mm] und [mm]|g(x)-g(y)|[/mm]
> ja
> > beliebig klein, also nicht nur kleiner als [mm]\varepsilon[/mm],
> > sondern auch kleiner als [mm]\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
> >
> > Das mit [mm]x_1,x_2,y_1,y_2[/mm] brauchst du nicht.
> >
> > Du hast, dass [mm]f,g[/mm] in [mm]y\in\IR[/mm] bel. stetig sind.
> >
> > Dann ist für [mm]|x-y|<\delta:=??[/mm] auch
> >
> [mm]|(f+g)(x)-(f+g)(y)|=...\le|f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|\le\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon[/mm]
> > (so nach deiner Machart mit der Dreiecksungleichung
> oben)
> >
> > Es fehlt nur das passende [mm]\delta[/mm]?
> >
> > Wie kannst du das denn sehr naheliegend wählen (abh.
> von
> > den obgen [mm]\delta_1,\delta_2[/mm]) ?
> müsste es nicht [mm]\delta_3=\delta_1+\delta_2[/mm] sein?
Nein. Du stocherst im Nebel. Probier mal [mm] \delta= [/mm] min [mm] \{ \delta_1, \delta_2 \}
[/mm]
FRED
> >
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
>
> Danke schon jetzt für die Hilfe :)
> Kai
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da f und g in x stetig sind muss es auch ein y geben für das sowohl gilt
Es existiert ein [mm] \delta_1 [/mm] mit [mm] |x-y|<\delta_1 [/mm] und [mm] |f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2} [/mm]
und
Es existiert ein [mm] \delta_2 [/mm] mit [mm] |x-y|<\delta_2 [/mm] und [mm] |g(x)-g(y)|<\frac{\varepsilon}{2} [/mm]
Da sowohl x als auch y hier ja gleich wären, ist natürlich auch [mm] |x-y|
Da sowohl Epsilon als auch x beliebig gewählt wurden, gilt dies natürlich für alle x und Epsilon. Wir haben also gezeigt, dass es für alle Epsilon>0 ein Delta gibt so dass |(f+g)(x)-(f+g)(y)|<Epsilon wenn |x-y|<Delta ist.
Stimmt das so?
> FRED
Danke!
Kai
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Hallo Kai,
> da f und g in x stetig sind muss es auch ein y geben für
> das sowohl gilt
Es waren doch f und g Funktionen in der Variable x, oder nicht?
Wir hatten doch vorausgesetzt, dass [mm]f,g[/mm] in [mm]y\in\IR[/mm] stetig sind.
>
> Es existiert ein [mm]\delta_1[/mm] mit [mm]|x-y|<\delta_1[/mm] und
> [mm]|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
> und
> Es existiert ein [mm]\delta_2[/mm] mit [mm]|x-y|<\delta_2[/mm] und
> [mm]|g(x)-g(y)|<\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
Jo, das besagt gerade die Stetigkeit von f und g in [mm]y[/mm]
>
> Da sowohl x als auch y hier ja gleich wären,
Nein, wieso das denn? [mm]x[/mm] ist sehr variabel ...
Und y ist zwar bel. [mm]\in\IR[/mm] genommen, aber im weiteren doch fest
Das ist doch unsere Stetigkeitsstelle
> ist
> natürlich auch [mm]|x-y|
> (beziehungsweise [mm]\delta_1[/mm] = [mm]\delta_2[/mm] )
Der Clou ist, dass, wenn [mm]|x-y|<\min\{\delta_i\}[/mm] ist, so ist es doch kleiner als beide [mm] $\delta_1$ [/mm] und [mm] $\delta_2$.
[/mm]
Wenn also zB. [mm]\min\{\delta_i\}=\delta_1[/mm], so ist [mm]|x-y|<\delta_1[/mm] und [mm]|x-y|<\delta_2[/mm]
Genauso im anderen Fall.
Damit hast du für [mm]|x-y|<\delta=\min\{\delta_i\}[/mm] dann
[mm]|(f+g)(x)-(f+g)(y)|\le|f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon[/mm]
>
> Da sowohl Epsilon als auch x beliebig gewählt wurden, gilt
> dies natürlich für alle x und Epsilon.
Die x sind nicht bel., die müssen doch [mm]|x-y|<\delta[/mm] erfüllen!
> Wir haben also
> gezeigt, dass es für alle Epsilon>0 ein Delta gibt so dass
> |(f+g)(x)-(f+g)(y)|<epsilon wenn="" |x-y|<delta="" ist.<br="">>
> Stimmt das so?
>
> > FRED
> Danke!
> Kai
Schaue dir das nun nochmal in Ruhe an, wird die Argumentation nun klar?
Gruß
schachuzipus
</epsilon>
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> Hallo Kai,
>
>
> > da f und g in [mm] y\in\IR [/mm] stetig sind muss es auch ein x geben für
> > das sowohl gilt
>
> Es waren doch f und g Funktionen in der Variable x, oder
> nicht?
>
> Wir hatten doch vorausgesetzt, dass [mm]f,g[/mm] in [mm]y\in\IR[/mm] stetig
> sind.
>
> >
> > Es existiert ein [mm]\delta_1[/mm] mit [mm]|x_1-y|<\delta_1[/mm] und
> > [mm]|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
> > und
> > Es existiert ein [mm]\delta_2[/mm] mit [mm]|x_2-y|<\delta_2[/mm] und
> > [mm]|g(x)-g(y)|<\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
>
> Jo, das besagt gerade die Stetigkeit von f und g in [mm]y[/mm]
>
> >
> > Da sowohl x als auch y hier ja gleich wären,
>
> Nein, wieso das denn? [mm]x[/mm] ist sehr variabel ...
>
****
aber ist das x oben und unten (ich habe sie jetzt [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] genannt nicht das gleiche x?
zumindest sollte es doch (mindestens) ein x geben das beide aussagen erfüllt oder?
****
> Und y ist zwar bel. [mm]\in\IR[/mm] genommen, aber im weiteren doch
> fest
>
> Das ist doch unsere Stetigkeitsstelle
>
Das verstehe ich und meinte auch dies mit "gleich"
also in der ersten und zweiten aussage gehen wir zunächst von dem gleichen beliebig gewählten y aus.
> > ist
> > natürlich auch [mm]|x-y|
> > (beziehungsweise [mm]\delta_1[/mm] = [mm]\delta_2[/mm] )
>
> Der Clou ist, dass, wenn [mm]|x-y|<\min\{\delta_i\}[/mm] ist, so ist
> es doch kleiner als beide [mm]\delta_1[/mm] und [mm]\delta_2[/mm].
>
> Wenn also zB. [mm]\min\{\delta_i\}=\delta_1[/mm], so ist
> [mm]|x-y|<\delta_1[/mm] und [mm]|x-y|<\delta_2[/mm]
>
> Genauso im anderen Fall.
>
Ich glaube ich hatte bisher immer die falsche Idee von delta... ich dachte delta sei so etwas wie das "kleinste größere Element" von |x-y|
Aber natürlich kann delta jedes größere Element sein.
> Damit hast du für [mm]|x-y|<\delta=\min\{\delta_i\}[/mm] dann
>
> [mm]|(f+g)(x)-(f+g)(y)|\le|f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon[/mm]
>
dieser schritt ist mir klar
> >
> > Da sowohl Epsilon als auch x beliebig gewählt wurden, gilt
> > dies natürlich für alle x und Epsilon.
>
> Die x sind nicht bel., die müssen doch [mm]|x-y|<\delta[/mm]
> erfüllen!
Hier liegt der Dreher von oben vor. Das y ist also beliebig gewählt, das x in Abhängigkeit von y und Delta
>
> > Wir haben also
> > gezeigt, dass es für alle Epsilon>0 ein Delta gibt so dass
> > |(f+g)(x)-(f+g)(y)|<epsilon wenn="" |x-y|<delta=""
> ist.<br="">>
> > Stimmt das so?
> >
> > > FRED
> > Danke!
> > Kai
>
> Schaue dir das nun nochmal in Ruhe an, wird die
> Argumentation nun klar?
Ich denke schon, aber bei den "****" bin ich mir noch nicht ganz sicher...
>
> Gruß
>
> schachuzipus
> </epsilon>
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Hallo nochmal,
> > Hallo Kai,
> >
> >
> > > da f und g in [mm]y\in\IR[/mm] stetig sind muss es auch ein x geben
> für
> > > das sowohl gilt
> >
> > Es waren doch f und g Funktionen in der Variable x, oder
> > nicht?
> >
> > Wir hatten doch vorausgesetzt, dass [mm]f,g[/mm] in [mm]y\in\IR[/mm] stetig
> > sind.
> >
> > >
> > > Es existiert ein [mm]\delta_1[/mm] mit [mm]|x_1-y|<\delta_1[/mm] und
> > > [mm]|f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
> > > und
> > > Es existiert ein [mm]\delta_2[/mm] mit [mm]|x_2-y|<\delta_2[/mm] und
> > > [mm]|g(x)-g(y)|<\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
> >
> > Jo, das besagt gerade die Stetigkeit von f und g in [mm]y[/mm]
> >
> > >
> > > Da sowohl x als auch y hier ja gleich wären,
> >
> > Nein, wieso das denn? [mm]x[/mm] ist sehr variabel ...
> >
>
> ****
> aber ist das x oben und unten (ich habe sie jetzt [mm]x_1[/mm] und
> [mm]x_2[/mm] genannt nicht das gleiche x?
> zumindest sollte es doch (mindestens) ein x geben das
> beide aussagen erfüllt oder?
> ****
Wir haben uns ein bel., aber dann festes y hergenommen als Stetigkeitsstelle und wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von f und g können wir sagen, dass es [mm]\delta_1,\delta_2[/mm] gibt, so dass für [mm]|x-y|<\delta_1[/mm] dann [mm]|f(x)-f(y)|<\varepsilon/2[/mm] ist für bel. vorgelegte [mm]\varepsilon>0[/mm]
Analog für [mm]|x-y|<\delta_2[/mm] dann [mm]|g(x)-g(y)|<\varepsilon/2[/mm]
[mm]|x-y|<\delta[/mm] erfüllen eine ganze Menge x'e. Geometrisch beschreibt [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] die Menge aller $x$, die an y näher dranliegen als [mm] $\delta$, [/mm] also von y einen Abstand kleiner als [mm] $\delta$ [/mm] haben.
Damit erfasst du alle [mm]x\in (y-\delta,y+\delta)[/mm], das ist ein offenes Intervall.
Das ist sozusagen ein [mm]\delta[/mm]-Schlauch um y, in dem sich die x'e tummeln, zu jeder Seite [mm]\delta/2[/mm] breit ...
Mal dir das mal auf!
Und die x'e aus der Stetigkeit von f und g sind teilweise dieselben, im schmaleren der beiden [mm]\delta_1,\delta_2[/mm]-Schläuche liegen dieselben x für beide Funktionen.
Nehmen wir einfach mal an, dass [mm]\delta_2>\delta_1[/mm] sei.
Dann liegen im [mm]\delta_2[/mm]-Schlauch um y natürlich auch mehr x'e (für g)
Mit der späteren Wahl des [mm]\delta[/mm] als [mm]\delta:=\min\{\delta_i\}[/mm] stutzen wir das auf einen "gemeinsamen" Schlauch ein, so dass für beide Funktionen f und g die Stetigkeitsdefinition erfüllt ist.
> > Und y ist zwar bel. [mm]\in\IR[/mm] genommen, aber im weiteren
> doch
> > fest
> >
> > Das ist doch unsere Stetigkeitsstelle
> >
> Das verstehe ich und meinte auch dies mit "gleich"
> also in der ersten und zweiten aussage gehen wir zunächst
> von dem gleichen beliebig gewählten y aus.
>
>
> > > ist
> > > natürlich auch [mm]|x-y|
> > > (beziehungsweise [mm]\delta_1[/mm] = [mm]\delta_2[/mm] )
> >
> > Der Clou ist, dass, wenn [mm]|x-y|<\min\{\delta_i\}[/mm] ist, so ist
> > es doch kleiner als beide [mm]\delta_1[/mm] und [mm]\delta_2[/mm].
> >
> > Wenn also zB. [mm]\min\{\delta_i\}=\delta_1[/mm], so ist
> > [mm]|x-y|<\delta_1[/mm] und [mm]|x-y|<\delta_2[/mm]
> >
> > Genauso im anderen Fall.
> >
>
> Ich glaube ich hatte bisher immer die falsche Idee von
> delta... ich dachte delta sei so etwas wie das "kleinste
> größere Element" von |x-y|
> Aber natürlich kann delta jedes größere Element sein.
Nein, [mm]\delta[/mm] ist die Dicke des Schlauches um y, in dem sich potentielle x-Werte tummeln dürfen.
Du kannst aber kein größeres [mm]\delta[/mm] als [mm]\delta=\min\{\delta_i\}[/mm] nehmen.
Wie willst du denn sicherstellen, dass du dann noch für die beiden Funktionen f und g eine passenden Schlauch hast?
Was du machen kannst, ist natürlich jedes kleinere [mm]\delta'[/mm] zu nehmen.
Dünner machen darfst du den Schlauch.
Du kannst also statt [mm]\delta=\min}\{\delta_i\}[/mm] dann von mir aus auch [mm]\delta'=\delta/2[/mm] oder [mm]\delta/1000000000[/mm] nehmen 
Das [mm]\delta=\min\{\delta_i\}[/mm] ist das größtmögliche, das du aus der Stetigkeit der beiden Funktionen f und g gewinnen kannst.
>
>
> > Damit hast du für [mm]|x-y|<\delta=\min\{\delta_i\}[/mm] dann
> >
> >
> [mm]|(f+g)(x)-(f+g)(y)|\le|f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon[/mm]
> >
> dieser schritt ist mir klar
> > >
> > > Da sowohl Epsilon als auch x beliebig gewählt wurden, gilt
> > > dies natürlich für alle x und Epsilon.
> >
> > Die x sind nicht bel., die müssen doch [mm]|x-y|<\delta[/mm]
> > erfüllen!
>
> Hier liegt der Dreher von oben vor. Das y ist also beliebig
> gewählt, das x in Abhängigkeit von y und Delta
>
> >
> > > Wir haben also
> > > gezeigt, dass es für alle Epsilon>0 ein Delta gibt so dass
> > > |(f+g)(x)-(f+g)(y)|<epsilon wenn="" |x-y|<delta="" <br="">> > ist.<br="">>
> > > Stimmt das so?
> > >
> > > > FRED
> > > Danke!
> > > Kai
> >
> > Schaue dir das nun nochmal in Ruhe an, wird die
> > Argumentation nun klar?
>
> Ich denke schon, aber bei den "****" bin ich mir noch nicht
> ganz sicher...
LG
schachuzipus
</br=""></epsilon>
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Hallo schachuzipus
Ich glaub ich habs jetzt soweit... Danke für die gute Verbildlichung mit dem "Schlauch" und den weitreichende Erklärung!
bis zum nächsten mal :)
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