Epsilon-Kriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:46 Fr 24.10.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (a_n) [/mm] mit [mm] a_n:=\bruch{n}{3n-1} [/mm] für [mm] n \in \IN [/mm] gegen [mm] \bruch{1}{3} [/mm] konvergiert mithilfe des [mm] Epsilon-n_0-Kriteriums. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
so ganz habe ich das Epsilon-Kriterium (und Cauchy-K.) nicht verstanden.
Hier also mein Ansatz und die Frage, ob das richtig ist:
Fast jedes [mm] a_n [/mm] soll in der Epsilon-Umgebung von [mm] \bruch{1}{3} [/mm] liegen, also gilt [mm] | a_n-\bruch{1}{3}| < \varepsilon [/mm]. Das bedeutet [mm] | \bruch{n}{3n-1}-\bruch{1}{3}| < \varepsilon \gdw | \bruch{1}{9n-3}| < \varepsilon [/mm].
Und jetzt weiss ich nicht weiter.
Danke, Susanne.
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> Zeigen Sie, dass die Folge [mm](a_n)[/mm] mit [mm]a_n:=\bruch{n}{3n-1}[/mm]
> für [mm]n \in \IN[/mm] gegen [mm]\bruch{1}{3}[/mm] konvergiert mithilfe des
> [mm]Epsilon-n_0-Kriteriums.[/mm]
> Hallo,
> so ganz habe ich das Epsilon-Kriterium (und Cauchy-K.)
> nicht verstanden.
> Hier also mein Ansatz und die Frage, ob das richtig ist:
> Fast jedes [mm]a_n[/mm] soll in der Epsilon-Umgebung von
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] liegen, also gilt [mm]| a_n-\bruch{1}{3}| < \varepsilon [/mm].
> Das bedeutet [mm]| \bruch{n}{3n-1}-\bruch{1}{3}| < \varepsilon \gdw | \bruch{1}{9n-3}| < \varepsilon [/mm].
Hallo,
Du sagst ja schon fast richtig, was es bedeutet, wenn [mm] (a_n) [/mm] gegen [mm] \bruch{1}{3} [/mm] konvergiert:
für jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] liegen fast alle [mm] a_n [/mm] in der [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] von [mm] \bruch{1}{3}.
[/mm]
"Fast alle" bedeutet: alle bis auf endlich viele. Ab irgendeinem Schwellenindex liegen also alle Folgenglieder in der [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] von [mm] \bruch{1}{3}.
[/mm]
Und solch ein Schwellenwert [mm] N_0 [/mm] ist hier anzugeben.
Zu zeigen ist:
Für jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] findest man ein passendes [mm] N_0 [/mm] so, daß für alle n > [mm] N_0 [/mm] gilt: [mm] |a_n [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} [/mm] | < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Beweis:
Sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] und [mm] N_0:= [/mm] ... (was Du hierhinschreibst, überlegst Du Dir später heimlich auf einem Schmierzettel)
Es ist
> | [mm] \bruch{n}{3n-1}-\bruch{1}{3}| [/mm] = | [mm] \bruch{1}{9n-3}|= \bruch{1}{9n-3} [/mm] ----
[So, und nun nimmst Du Deinen Schmierzettel und rechnest Dir aus, wie Du Dein [mm] N_0 [/mm] wählen kannst, damit [mm] \bruch{1}{9n-3} [/mm] für alle n, die größer sind , kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ist.
Das schreibst Du oben hin und rechnest weiter: ]
[mm] \bruch{1}{9n-3} [/mm] < [mm] \bruch{1}{9N_0-3} \le [/mm] ... ...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:20 Fr 24.10.2008 | | Autor: | SusanneK |
Guten Morgen Angela,
VIELEN DANK für die tolle und schnelle Erklärung !!
> Du sagst ja schon fast richtig, was es bedeutet, wenn [mm](a_n)[/mm]
> gegen [mm]\bruch{1}{3}[/mm] konvergiert:
>
> für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] liegen fast alle [mm]a_n[/mm] in der
> [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] von [mm]\bruch{1}{3}.[/mm]
Hierzu habe ich auch noch eine Frage:
Wenn es sich um eine [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] handelt, müssten dann nicht Werte grösser UND kleiner [mm] \bruch{1}{3} [/mm] vorkommen ?
> Zu zeigen ist:
>
> Für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] findest man ein passendes [mm]N_0[/mm] so,
> daß für alle n > [mm]N_0[/mm] gilt: [mm]|a_n[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}[/mm] | <
> [mm]\varepsilon.[/mm]
>
>
> Beweis:
>
> Sei [mm]\varepsilon>0[/mm] und [mm]N_0:=[/mm] ... (was Du
> hierhinschreibst, überlegst Du Dir später heimlich auf
> einem Schmierzettel)
>
> Es ist
>
> > | [mm]\bruch{n}{3n-1}-\bruch{1}{3}|[/mm] = | [mm]\bruch{1}{9n-3}|= \bruch{1}{9n-3}[/mm]
> ----
>
> [So, und nun nimmst Du Deinen Schmierzettel und rechnest
> Dir aus, wie Du Dein [mm]N_0[/mm] wählen kannst, damit
> [mm]\bruch{1}{9n-3}[/mm] für alle n, die größer sind , kleiner als
> [mm]\varepsilon[/mm] ist.
> Das schreibst Du oben hin und rechnest weiter: ]
>
> [mm]\bruch{1}{9n-3}[/mm] < [mm]\bruch{1}{9N_0-3} \le[/mm] ... ...
Also, mein Versuch:
[mm] \bruch{1}{3(3n_0-1)}=\bruch{1}{3}\cdot\bruch{1}{3n_0-1} [/mm]
Und da [mm] \bruch{1}{3n_0-1} [/mm] immer kleiner wird, kann man es vernachlässigen und [mm] \bruch{1}{3} [/mm] bleibt übrig.
Aber [mm] \bruch{1}{3(3n_0-1)}=\bruch{1}{3}\cdot\bruch{1}{n_0-1} [/mm] ist ein Produkt, geht dann das Ganze nicht gegen 0 ?
Oder ist mein Versuch falsch ?
Danke, Susanne.
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> > Du sagst ja schon fast richtig, was es bedeutet, wenn [mm](a_n)[/mm]
> > gegen [mm]\bruch{1}{3}[/mm] konvergiert:
> >
> > für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] liegen fast alle [mm]a_n[/mm] in der
> > [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] von [mm]\bruch{1}{3}.[/mm]
> Hierzu habe ich auch noch eine Frage:
> Wenn es sich um eine [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] handelt, müssten
> dann nicht Werte grösser UND kleiner [mm]\bruch{1}{3}[/mm] vorkommen
Hallo,
es müssen nicht, aber es dürfen, was in [mm] |a_n-\bruch{1}{3}| \le \varepsilon [/mm] ausgedrückt wird.
Wichtig ist, daß ab einem bestimmten [mm] N_0 [/mm] die Folgenglieder nicht weiter als [mm] \varepsilon [/mm] von [mm] \bruch{1}{3} [/mm] entfernt sind. Auf welcher Seite sie liegen, ist wurscht.
> ?
>
> > Zu zeigen ist:
> >
> > Für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] findest man ein passendes [mm]N_0[/mm] so,
> > daß für alle n > [mm]N_0[/mm] gilt: [mm]|a_n[/mm] - [mm]\bruch{1}{3}[/mm] | <
> > [mm]\varepsilon.[/mm]
> >
> >
> > Beweis:
> >
> > Sei [mm]\varepsilon>0[/mm] und [mm]N_0:=[/mm] ... (was Du
> > hierhinschreibst, überlegst Du Dir später heimlich auf
> > einem Schmierzettel)
> >
> > Es ist
> >
> > > | [mm]\bruch{n}{3n-1}-\bruch{1}{3}|[/mm] = | [mm]\bruch{1}{9n-3}|= \bruch{1}{9n-3}[/mm]
> > ----
> >
> > [So, und nun nimmst Du Deinen Schmierzettel und rechnest
> > Dir aus, wie Du Dein [mm]N_0[/mm] wählen kannst, damit
> > [mm]\bruch{1}{9n-3}[/mm] für alle n, die größer sind , kleiner als
> > [mm]\varepsilon[/mm] ist.
> > Das schreibst Du oben hin und rechnest weiter: ]
> >
> > [mm]\bruch{1}{9n-3}[/mm] < [mm]\bruch{1}{9N_0-3} \le[/mm] ... ...
> Also, mein Versuch:
> [mm]\bruch{1}{3(3n_0-1)}=\bruch{1}{3}\cdot\bruch{1}{3n_0-1}[/mm]
> Und da [mm]\bruch{1}{3n_0-1}[/mm] immer kleiner wird, kann man es
> vernachlässigen und [mm]\bruch{1}{3}[/mm] bleibt übrig.
> Aber
> [mm]\bruch{1}{3(3n_0-1)}=\bruch{1}{3}\cdot\bruch{1}{n_0-1}[/mm] ist
> ein Produkt, geht dann das Ganze nicht gegen 0 ?
> Oder ist mein Versuch falsch ?
Irgendwie schon.
Es geht um folgendes.
Ein beliebiges [mm] \varepsilon [/mm] ist gegeben. Und Du mußt nun ganz konkret ein [mm] N_0 [/mm] sagen, (welches i.d.R. von [mm] \varepsilon [/mm] abhängt,) und dann vorrechnen, daß alle Folgenglieder, die nach dem [mm] N_0-ten [/mm] kommen, in der [mm] \varepsilon- [/mm] Umgebung liegen.
Ich mach Dir das mal bei einem anderen Beipiel vor.
Behauptung: die Folge [mm] (b_n) [/mm] mit [mm] b_n:= 3+\bruch{2}{n+1} [/mm] konvergiert gegen 3
Beweis: Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0 und [mm] N_0\in \IN [/mm] mit _____ (das trage ich später ein in blau) [mm] \blue{N_0> \bruch{2}{\varepsilon}} [/mm]
Für alle [mm] n>N_0 [/mm] gilt
[mm] |b_n-3|=| 3+\bruch{2}{n+1} [/mm] - [mm] 3|=|\bruch{2}{n+1} [/mm] |= [mm] \bruch{2}{n+1} [/mm] < [mm] \bruch{2}{N_0+1} (\*) [/mm] ---
Nun zücke ich meinen Schmierzettel und überlege mir, wie ich [mm] N_o [/mm] wählen kann.
---
Schmierzelltel:
[mm] \bruch{2}{N_0+1} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
<==> [mm] N_0+1> \bruch{2}{\varepsilon}
[/mm]
<==> [mm] N_0 [/mm] > [mm] \bruch{2}{\varepsilon} -1=\bruch{2-\varepsilon}{\varepsilon}
[/mm]
Also konnte ich [mm] N_0 [/mm] z.B. so wählen, daß [mm] \blue{N_0> \bruch{2}{\varepsilon}} [/mm] ist.
---
Jetzt rechne ich [mm] bei(\*) [/mm] weiter:
[mm] <\bruch{2}{\bruch{2}{\varepsilon} +1} =\bruch{2\varepsilon}{2+\varepsilon} <\bruch{2\varepsilon}{2}=\varepsilon. [/mm]
Und damit ist gezeigt, was ich zeigen wollte.
Ich hoffe, daß Du an diesem Beispiel sehen kannst, was in Deinem Beispiel (und auch sonst, wenn der Beweis der Konvergenz mit dem [mm] \varepsilon-Kriterium [/mm] nötig oder gefordert ist) zu tun ist.
Man muß sich bei der Analysis erstmal etwas an das Abschätzen gewöhnen, was am Anfang oft sehr fremd und schwierig erscheint - und manchmal auch sehr schwierig ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Fr 24.10.2008 | | Autor: | SusanneK |
WOW, VIELEN DANK für die tolle Erklärung, Angela !!
So langsam dämmerts ein wenig bei mir.
Also, wenn [mm] \bruch{1}{9n-3}<\bruch{1}{9n_0-3} [/mm] sein muss, dann gilt auch [mm]\bruch{1}{9n-3}<\bruch{1}{3n_0-1}[/mm]
Und dann muss gelten: [mm] \bruch{1}{3n_0-1} < \varepsilon [/mm] [mm] \gdw \bruch{1}{\varepsilon}<3n_0-1 \gdw \bruch{1}{\varepsilon}<3n_0 \gdw \bruch{1}{3\varepsilon}
Oder habe ich jetzt durch Abschätzung zuviel wegfallen lassen ?
Dann gehts weiter:
[mm] \bruch{1}{\bruch{9}{3\varepsilon}-3}<\varepsilon \gdw \bruch{3\varepsilon}{1-9\varepsilon} [/mm]
Und jetzt weiss ich wieder nicht mehr weiter
Danke, Susanne.
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[mm] \bruch{1}{3\varepsilon}
>
> Oder habe ich jetzt durch Abschätzung zuviel wegfallen
> lassen ?
Hallo,
keine Ahnung. ich hab' mir Deine Rechnung gar nicht weiter angeguckt.
Du hast nun ein [mm] n_0 [/mm] gefunden, auf welchem Weg Du dahin gekommen bist, interessiert überhaupt nicht - auch nicht die Korrektoren übrigens.
Würdest Du's raten, wär's genauso gut. Sofern es funktioniert.
Und das überprüfen wir jetzt:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0 und [mm] n_0> \bruch{1}{3\varepsilon}.
[/mm]
> Dann gehts weiter:
> [mm]\bruch{1}{\bruch{9}{3\varepsilon}-3}<\varepsilon \gdw \bruch{3\varepsilon}{1-9\varepsilon}[/mm]
Mach hierfür eine Gleichungskette, Äquivalenzumformungen können einen in des Teufels Küche bringen, wenn Abschätzungen stattfinden.
Für alle [mm] n>n_0 [/mm] gilt
[mm] |\bruch{n}{3n-1} -\bruch{1}{3}| =|\bruch{1}{9n-3}| =\bruch{1}{9n-3 }<\bruch{1}{9n_0-3} <\bruch{1}{(9\bruch{1}{3\varepsilon}-3)} =\bruch{\varepsilon}{3}*\bruch{1}{1-\varepsilon}
[/mm]
Nun ist zu prüfen, ob das kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ist.
Ergebnis: wenn man [mm] \varepsilon [/mm] klein genug wählt (nämlich kleiner als [mm] \bruch{2}{3}) [/mm] stimmt das. Eigentlich ist das keine Einschränkung, da für die Konvergenz ja sehr kleine [mm] \varepsilon [/mm] interessieren. Ich würde aber lieber ein [mm] n_0 [/mm] nehmen, bei dem einem alles in den Schoß fällt.
Form doch mal auf dem Schmierzettel Dein [mm] \bruch{1}{9n_0-3} [/mm] ganz direkt um.
Führe den Beweis dann mit diesem [mm] n_0 [/mm] und freu Dich daran, wie schön alles klappt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Fr 24.10.2008 | | Autor: | SusanneK |
Liebe Angela,
VIELEN VIELEN DANK !!
(Ich musste gerade mal meine Kinder versorgen, deshalb melde ich mich erste jetzt wieder).
Ich habe jetzt ohne Kürzung umgeformt und erhalte für [mm] n_0>\bruch{1}{9\varepsilon}+\bruch{1}{3} [/mm]. Das setze ich dann in diese Gleichungskette ein und erhalte:
[mm] |\bruch{n}{3n-1} -\bruch{1}{3}| =|\bruch{1}{9n-3}| =\bruch{1}{9n-3 }<\bruch{1}{9n_0-3} = \bruch{1}{\bruch{9}{9\varepsilon}+3-3} =\bruch{1}{\bruch{1}{\varepsilon}} =\varepsilon[/mm]
Habe ich das jetzt richtig verstanden, wenn ich für [mm] n_0>\bruch{1}{9\varepsilon}+\bruch{1}{3} [/mm] wähle, dann liegen für alle [mm] n>n_0[/mm] die Folgeglieder in der [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] ?
Und jetzt, um den Kreis zu schliessen - wie habe ich damit jetzt gezeigt, dass die Folge [mm] (a_n) [/mm] gegen [mm] \bruch{1}{3} [/mm] konvergiert ?
Weil, wenn ich [mm] \bruch{1}{3} [/mm] von jeden Folgeglied abziehe, bleibe ich immer in [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] - deshalb ?
Danke, Susanne.
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> (Ich musste gerade mal meine Kinder versorgen, deshalb
> melde ich mich erste jetzt wieder).
Hallo,
hier gibt's ja keine Pflicht zu Reaktionen innerhalb von 32 Minuten...
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> Ich habe jetzt ohne Kürzung umgeformt und erhalte für
> [mm]n_0>\bruch{1}{9\varepsilon}+\bruch{1}{3} [/mm]. Das setze ich
> dann in diese Gleichungskette ein und erhalte:
> [mm]|\bruch{n}{3n-1} -\bruch{1}{3}| =|\bruch{1}{9n-3}| =\bruch{1}{9n-3 }<\bruch{1}{9n_0-3} = \bruch{1}{\bruch{9}{9\varepsilon}+3-3} =\bruch{1}{\bruch{1}{\varepsilon}} =\varepsilon[/mm]
>
> Habe ich das jetzt richtig verstanden, wenn ich für
vorgegebenes [mm] \varepsilon>0
[/mm]
> [mm]n_0>\bruch{1}{9\varepsilon}+\bruch{1}{3}[/mm] wähle, dann liegen
> für alle [mm]n>n_0[/mm] die Folgeglieder in der [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm]
> ?
Ja.
>
> Und jetzt, um den Kreis zu schliessen - wie habe ich damit
> jetzt gezeigt, dass die Folge [mm](a_n)[/mm] gegen [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
> konvergiert ?
Naja, zunächst mal, weil Ihr im Skript Konvergenz so definiert habt oder gezeigt, daß genau das für konvergente Folgen gilt.
> Weil, wenn ich [mm]\bruch{1}{3}[/mm] von jeden Folgeglied abziehe,
> bleibe ich immer in [mm]\varepsilon-Umgebung[/mm] - deshalb ?
Ja. Alle Folgenglieder ab dem [mm] n_0-ten [/mm] haben einen Abstand von [mm] \bruch{1}{3}, [/mm] der kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ist.
Und das gilt für jedes (noch so kleine) [mm] \varepsilon, [/mm] welches Du Dir ausdenken kannst.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:56 Fr 24.10.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
VIELEN VIELEN DANK
für Deine grosse Mühe und deine tollen Erklärungen !!!
LG, Susanne.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Valaina |
Soo, jetzt hätte ich auch noch zwei kleine Frage zu dem Verfahren =)
Und zwar 1. Wie funktioniert denn dieses Auflösen der Betragsstriche genau? Weil hier wurden manchmal plötzlich Betragsstriche in der Gleichung weggelassen, bei entsprechendem n könnte der Term zwischen den Betragsstrichen aber immer noch negativ werden? Darf man das einfach?
Und 2. Ist dieses ganze Verfahren nicht ein wenig willkürlich? Ich meine das ist wie ein Beweis für EINEN bestimmten Fall, das sagt mir doch nichts allgemeines aus? Der angenommene Grenzwert muss ja nicht zwangsläufig der richtige Grenzwert sein sondern könnte auch z.b. ein ganz klein wenig darüber liegen - wenn man epsilon dann nicht klein genug wählt, ist die Rechnung richtig aber nichts bewiesen (höchstens was falsches?). Oder hab ich da einfach nur einen Denkfehler?
lg
Valaina
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Hallo,
zu 1) schau dir einfach mal die Definition des Betrags an. Wenn die Zahl zwischen den Betragsstrichen sowieso schon größer als 0 ist für alle n kann man den Betrag ja weglassen. Der Betrag ist ja nix anderes als der Abstand einer Zahl zur 0. Außerdem gilt für Beträge, dass sie immer größer oder gleich 0 sind, also bei folgendem Beispiel wäre [mm] |\bruch{(-1)^{n}}{n}| [/mm] einfach [mm] =\bruch{1}{n}.
[/mm]
zu 2) Die Definition sagt: [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists N(\varepsilon) \in \IN: |a_{n} [/mm] -a|< [mm] \varepsilon \forall [/mm] n [mm] \ge N(\varepsilon)
[/mm]
Jetzt nehmen wir doch mal als konkretes Beispiel, [mm] a_{n}= \bruch{1}{n}
[/mm]
und behaupten mal falsch, die Folge würde gegen 0,01 konvergieren (und eben nicht, wie es richtig wäre gegen 0).
Bei [mm] |a_{100}- [/mm] 0,01| ist das gleich 0, also schauen wir mal die Folgeglieder an:
Was wäre dann ab [mm] |a_{101}- [/mm] 0,01|< [mm] \varepsilon, [/mm] es muss ja gelten für ALLE [mm] \varepsilon>0 [/mm] , in dem Fall würden unendlich viele Folgenglieder außerhalb der Epsilon-Umgebung liegen, da ich ab dem 101. Folgenglied immer ein [mm] \varepsilon [/mm] >0 finde, für das die Ungleichung nicht gilt, wie wärs zum Beispiel mit wähle [mm] \varepsilon [/mm] =0,00000001. Glaubst du, dass es da ab dem 101. Folgenglied noch ein Folgenglied gäbe, für das gelten würde [mm] |a_{n}- [/mm] 0,01|< 0,00000001. Wohl, kaum, da sich [mm] a_{n} [/mm] immer stärker der 0 annähern wird und somit [mm] |a_{n}- [/mm] 0,01| immer mehr gegen 0,01 gehen würde. Somit kann die Folge nicht gegen 0,01 konvergieren.
Ich hoffe das war einigermaßen verständlich und konnte dir weiterhelfen.
Viele Grüße
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Valaina |
Hmm, so ganz klar ist mir das noch nicht:
zu 1) Ich nehm mal ein Beispiel von weiter oben:
| [mm]\bruch{n}{3n-1}-\bruch{1}{3}|[/mm] = | [mm]\bruch{1}{9n-3}|= \bruch{1}{9n-3}[/mm]
Das dürfte man doch eigentlich nicht tun, denn für n < [mm] \bruch{1}{3} [/mm] wird das Teil doch negativ. Darf mans doch machen, weil n nur positive, ganze Zahlen ohne 0 sind? Dann könnte es aber trotzdem Fälle geben, bei denen man die Striche nicht einfach weglassen kann - muss man da dann die Fälle getrennt betrachten?
und zu 2) Gut, das verstehe ich schon, dass es irgendwann zum Widerspruch kommen wird, weil die Werte irgendwann aus der Epsilonumgebung rausgehen, meine Frage war eher: Mir kommt das ganze so willkürlich vor. Theoretisch könnte doch der geschätzte Grenzwert nur um 0,0000000001 neben dem eigentlich richtigen Grenzwert liegen, aber weil ich die Formel nur für einzelne Epsilon "ausprobieren" kann, probiere ich mit einem zu großen Epsilon und beweise etwas, das nicht stimmt. Ich weiß das ist unwahrscheinlich und wird mir eigentlich auch nicht passieren, aber möglich wärs doch trotzdem, und nur mit Widersprüchen suchen (die man vielleicht einfach nicht findet) und rumprobieren etwas zu beweisen hat für mich immer so einen schalen Beigeschmack... ich dachte eigentlich, dass ein Beweis immer auf eine allgemeine Form hinzuführen ist, die dann gilt, ohne dass man mit Stichproben einsetzen zum Schluss kommt, dass das "schon stimmen wird"...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Valaina,
> Hmm, so ganz klar ist mir das noch nicht:
>
> zu 1) Ich nehm mal ein Beispiel von weiter oben:
> | [mm]\bruch{n}{3n-1}-\bruch{1}{3}|[/mm] = | [mm]\bruch{1}{9n-3}|= \bruch{1}{9n-3}[/mm]
> Das dürfte man doch eigentlich nicht tun, denn für n <
> [mm]\bruch{1}{3}[/mm] wird das Teil doch negativ. Darf mans doch
> machen, weil n nur positive, ganze Zahlen ohne 0 sind?
Genau! Hier kann gar nichts passieren.
> Dann
> könnte es aber trotzdem Fälle geben, bei denen man die
> Striche nicht einfach weglassen kann - muss man da dann die
> Fälle getrennt betrachten?
Wenn die Ausdrücke ab einem bestimmten n positiv sind, nicht. Wenn Du z.B. weißt, dass der Ausdruck für n>100 positiv ist, dann kannst Du für alle n>100 die Betragstriche weglassen. Du suchst dann nur für diese Dein $ [mm] N(\epsilon) [/mm] $ Als [mm] N_0 [/mm] nimmst Du dann das Maximum von 100 und $ [mm] N(\epsilon) [/mm] $
Beide Fälle musst Du dann getrennt untersuchen, wenn Dder Ausdruck für unendlich viele n Positiv und für unendlich viele Glieder negativ ist, z.B. bei einer alternierenden Folge.
>
> und zu 2) Gut, das verstehe ich schon, dass es irgendwann
> zum Widerspruch kommen wird, weil die Werte irgendwann aus
> der Epsilonumgebung rausgehen, meine Frage war eher: Mir
> kommt das ganze so willkürlich vor. Theoretisch könnte doch
> der geschätzte Grenzwert nur um 0,0000000001 neben dem
> eigentlich richtigen Grenzwert liegen, aber weil ich die
> Formel nur für einzelne Epsilon "ausprobieren" kann,
> probiere ich mit einem zu großen Epsilon und beweise etwas,
> das nicht stimmt. Ich weiß das ist unwahrscheinlich und
> wird mir eigentlich auch nicht passieren, aber möglich wärs
> doch trotzdem, und nur mit Widersprüchen suchen (die man
> vielleicht einfach nicht findet) und rumprobieren etwas zu
> beweisen hat für mich immer so einen schalen
> Beigeschmack... ich dachte eigentlich, dass ein Beweis
> immer auf eine allgemeine Form hinzuführen ist, die dann
> gilt, ohne dass man mit Stichproben einsetzen zum Schluss
> kommt, dass das "schon stimmen wird"...
Wenn Du mit speziellen $ [mm] \epsilon [/mm] $-Werten rechnest, kann das passieren. Deshalb musst Du die Rechnung auch allgemein für ein beliebiges [mm] \epsilon [/mm] führen. Diese Rechnung erfasst dann auch die [mm] \epsilon [/mm] < 0,0000000001.
Dein [mm] N_0 [/mm] wird dann in der Regel auch größer.
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Valaina |
Also 1) ist jetzt klar, war ja auch logisch irgendwie ^^ hab da wohl nur falsch gedacht. ;)
Und zu 2) Ja, genau nach so einer allgemeinen Ausdrucksform suche ich, aber in den Beispielen hier wird doch immer irgendein [mm] N_{0} [/mm] angenommen und somit dann einfach mit einem entsprechenden Epsilon gerechnet. Steig ich durch das System nicht durch und es ist doch allgemein? Ich seh hier nämlich immer nur den Beweis für einen Einzelfall ausprobiert. Wie zeigt man sowas allgemein, sodass es auch erkennbar richtig ist? Brauchts dazu vielleicht einen Grenzwert? (also [mm] \limes_{N_{0}\rightarrow\infty}) [/mm] ?
Schon mal danke =)
lg
Valaina
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 17:15 Sa 20.06.2009 | | Autor: | SusanneK |
> Also 1) ist jetzt klar, war ja auch logisch irgendwie ^^
> hab da wohl nur falsch gedacht. ;)
>
> Und zu 2) Ja, genau nach so einer allgemeinen Ausdrucksform
> suche ich, aber in den Beispielen hier wird doch immer
> irgendein [mm]N_{0}[/mm] angenommen und somit dann einfach mit einem
> entsprechenden Epsilon gerechnet. Steig ich durch das
> System nicht durch und es ist doch allgemein? Ich seh hier
> nämlich immer nur den Beweis für einen Einzelfall
> ausprobiert. Wie zeigt man sowas allgemein, sodass es auch
> erkennbar richtig ist? Brauchts dazu vielleicht einen
> Grenzwert? (also [mm]\limes_{N_{0}\rightarrow\infty})[/mm] ?
>
Hallo Valaina,
so ein klares "Kochrezept" gibt es da glaube ich leider nicht (wüsste ich sonst auch gerne  )
Aber schau dir mal die 2. Antwort von Angela nochmal an. Dort findest Du so eine Art Vorgehensweise. Das Finden von Epsilon ist meistens ein Abschätzen. Und wenn dann durch Abschätzen irgendwann da steht:
[mm] \bruch{1}{9n_0-3} < \varepsilon [/mm] dann löse diese Gleichung nach [mm] n_0 [/mm] auf und dann steht da [mm] \bruch{1+3\varepsilon}{9\varepsilon} < n_0 [/mm], dann ist auch [mm] \bruch{3\varepsilon}{9\varepsilon} < n_0 [/mm] und dann bleibt übrig [mm] \bruch{1}{3} < n_0 [/mm] und das nimmst du dann als [mm] \varepsilon.
[/mm]
LG, Susanne.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 14:46 Mo 22.06.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Susanne,
> Hallo Valaina,
> so ein klares "Kochrezept" gibt es da glaube ich leider
> nicht (wüsste ich sonst auch gerne )
> Aber schau dir mal die 2. Antwort von Angela nochmal an.
> Dort findest Du so eine Art Vorgehensweise. Das Finden von
> Epsilon ist meistens ein Abschätzen. Und wenn dann durch
> Abschätzen irgendwann da steht:
> [mm]\bruch{1}{9n_0-3} < \varepsilon[/mm] dann löse diese Gleichung
> nach [mm]n_0[/mm] auf und dann steht da
> [mm]\bruch{1+3\varepsilon}{9\varepsilon} < n_0 [/mm], dann ist auch
> [mm]\bruch{3\varepsilon}{9\varepsilon} < n_0[/mm] und dann bleibt
> übrig [mm]\bruch{1}{3} < n_0[/mm] und das nimmst du dann als
> [mm]\varepsilon.[/mm]
>
So darfst Du es nicht machen.
Es müsste für alle [mm] n_0 [/mm] mit [mm]\bruch{1}{3} < n_0[/mm] auch [mm]\bruch{1+3\varepsilon}{9\varepsilon} < n_0 [/mm] gelten und das ist sicher nicht der Fall. Du musst ja auch das [mm] n_0 [/mm] passend zu [mm] \epsilon [/mm] wählen. [mm] \epsilon [/mm] ist vorgegeben, darf also nicht mehr bestimmt werden.
Bei Deinem Beispiel könnte man z.B.
$ [mm] n_0 [/mm] := [mm] [\bruch{1+3\varepsilon}{9\varepsilon}] [/mm] $ setzen. (Die eckige Klammer bedeutet die Gaußklammer)
Jetzt gilt für alle [mm] n>n_0 [/mm] auch $ [mm] \bruch{1}{9n-3} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $
Das ist auch ein Verfahren zur Bestimmung von [mm] n_0: [/mm] Man löst die Ungleichung nach n auf. Da das häufig sehr kompliziert ist, vereinfacht man die linke Seite der ursprünglichen Ungleichung (hier: $ [mm] \bruch{1}{9n_0-3} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] $ durch Abschätzung nach oben (nicht nach unten). Denn wenn der größere Ausdruck kleiner [mm] \epsilon [/mm] ist, dann auch der kleinere.
Gruß
Sigrid
> LG, Susanne.
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