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| Aufgabe | | Gegeben sei die Folge [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2} - 5}{n^{2} + 3}. [/mm] Sei [mm] \varepsilon [/mm] eine kleine positive Zahl (z.B. [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] 10^{-12}). [/mm] Für welche Indizes n gilt [mm] |a_{n} [/mm] - 1| < [mm] \varepsilon? [/mm] |
Ich nehme an, dass ich diese Ungleichung lösen muss: [mm] |\bruch{n^{2} - 5}{n^{2} + 3} [/mm] - 1| < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Dann muss ich doch zwei Fälle unterscheiden:
1. [mm] \bruch{n^{2} - 5}{n^{2} + 3} [/mm] - 1 [mm] \ge [/mm] 0 und
2. [mm] \bruch{n^{2} - 5}{n^{2} + 3} [/mm] - 1 < 0.
Für den ersten Fall komme ich dann auf die leere Menge, für den zweiten Fall auf 2 + 3 [mm] \varepsilon [/mm] < - [mm] \varepsilon [/mm] * [mm] n^{2} [/mm] + [mm] 2n^{2}. [/mm] Aber hier hakt es dann. Bin ich auf dem richtigen Weg oder ist alles falsch, was ich hier mache?
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Es lohnt sich erst mal [mm] a_{n} [/mm] umzuschreiben:
[mm] a_{n}=\bruch{n^2-5}{n^2+3}=\bruch{n^2+(+3-3)-5}{n^2+3}
[/mm]
[mm] =\bruch{n^2+3-8}{n^2+3}=1-\bruch{8}{n^2+3}
[/mm]
Jetzt setzen wir dies in die Ungleichung ein:
[mm] |a_{n}-1|=|(1-\bruch{8}{n^2+3})-1|=|-\bruch{8}{n^2+3}|
[/mm]
[mm] =|\bruch{8}{n^2+3})|<\epsilon
[/mm]
Da [mm] \bruch{8}{n^2+3} [/mm] stets größer als null ist können wir die Betragsstriche weglassen. Es folgt
[mm] \bruch{8}{n^2+3})<\epsilon
[/mm]
==> division mit [mm] \epsilon [/mm] und multiplikation mit [mm] (n^2+3) [/mm] ergibt:
[mm] \bruch{8}{\epsilon}
==> (0< [mm] )\bruch{8}{\epsilon}-3
==> [mm] \wurzel{\bruch{8}{\epsilon}-3}
jetzt tippst du dein [mm] \epsilon [/mm] ein und dann rundest du auf und hast dein n ab welchem diese Bedingung gilt.
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