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| Aufgabe | [mm] \limes_{x\rightarrow 1} f(x)=\bruch{x^2-1}{x-1}=2
[/mm]
Der Limes geht gegen 1 (wird nicht angezeigt) |
Hallo Leute,
ich habe das Epsilon-Delta Kriterium von der Idee her schon verstanden. Nur fällt es mir schwer dies auf Aufgaben anzuwenden. Würde mir jemand bei der obigen Beispielaufgabe helfen? Wie zeige ich nun, dass der Grenzwert 2 ist.
Also laut der Definition muss ich nun schreiben:
[mm] |\bruch{x^2-1}{x-1} [/mm] - 2| [mm] <\varepsilon [/mm] = [mm] |\bruch{x^2-1-2x+3}{x-1}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] |\bruch{x^2-2x+2}{x-1}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
... (weiter weiß ich hier nicht)
für das Delta kann ich schreiben: |1-x| < [mm] \delta(\varepsilon)
[/mm]
Nun muss ich nach Definition zeigen, dass für jedes Epsilon, bei dem gilt dass |1-x| < [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] auch die Ungleichung mit Epsilon gilt...
Wie stelle ich das am besten an ?
Schonmal Danke für Hilfe.
Gruß Thorsten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Sashman |
Moin Thorsten!
ich denke du meinst:
[mm] $\lim_{x\to\red{1}}\frac{x^2-1}{x-1}$
[/mm]
Was dich hier an der direkten Grenzwertbetrachtung durch einsetzen stört ist $f$ für $x=1$ nicht definiert ist. Wenn du dein $f$ mal ganz scharf anschaust, kannst du sehen, das es ein Binom ist (3.binomische Formel) dann sollte sich dein Nenner rauskürzen und du kannst $x=1$ einfach einsetzen und alles ist gezeigt.
mFg Sashman
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Hallo Sashman,
danke für die Hilfe, das ist ein guter Trick mit dem Binom.
Ich habe jetzt also |x+1-3|< [mm] \varepsilon [/mm] = |x-2|< [mm] \varepsilon
[/mm]
Durch die Betragsstriche kann ich nicht einfach nach [mm] \varepsilon [/mm] auflösen. Und wenn, wie erhalte ich das [mm] \delta [/mm] durch das [mm] \varepsilon [/mm] ?
Ich muss doch zeigen, dass diese Ungleichung für alle [mm] |x-2|<\varepsilon [/mm] gilt, bei denen [mm] |x-1|<\delta [/mm] ist.
Gruß Thorsten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Sashman |
Naja ganz so hatte ich das eigentlich nicht gemeint. Auf dem von mir benannten Weg kannst du dir das [mm] $\varepsilon-\delta$ [/mm] Kriterium ganz sparen, da
[mm] $\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)}=\lim_{x\to1}(x+1)=2$ [/mm]
ist.
Du kannst das natürlich auch mit dem Kriterium anwenden:
Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] dann ist
[mm] $\left|\frac{x^2-1}{x-1}-2\right|=|(x+1)-2|=|x-1|<\varepsilon$
[/mm]
also wählen wir das [mm] $\delta(\varepsilon)$ [/mm] wie??
mFg Sashman
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Ich habe nun also Die Differenz für den Funktionswert, welche immer kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] sein soll, also |x-1|< [mm] \varepsilon. \delta [/mm] ergibt sich aus [mm] \varepsilon, [/mm] es ist abhängig von [mm] \varepsilon. [/mm]
Genau das weiß ich nicht, wie wähle ich nun das [mm] \delta [/mm] ?
Gruß Thorsten
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Hallo Thorsten,
wie wär's mit [mm] $\delta=\varepsilon$ [/mm] ?
Damit gilt doch die ganze Abschätzung für [mm] $|x-1|<\delta$
[/mm]
LG
schachuzipus
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Jo, danke für eure Bemühungen. Ganz verstanden hab ich noch nicht wie man genau auf das [mm] \delta [/mm] kommt, nur liegts bestimmt an mir. es ist schon spät Ich werd mir das morgen nochmal ansehen.
LG
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