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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:45 So 23.01.2005 | | Autor: | moebak |
Hallo,
ich habe vor kurzem eine Testklausur geschrieben, in der als eine von vielen Fragen stand:
Warum ist [mm] 0,\overline{9} [/mm] = 1 .
Ich habe da sowiso meine Schwierigkeiten das zu Verstehen (denn für mich ist 1/3 = 0, [mm] \overline{3}, [/mm] und 3*0, [mm] \overline{3} [/mm] ist immerhin 0, [mm] \overline{9}, [/mm] und nur 3/3 ist für mich exakt 1). Ich weiss, dass ich die Zahl als Folge ihrer Partialsummen........,
Aber ich hätte gerne gewusst, wie ich hier die Epsilonumgebung ins Spiel bringen kann. Kann mir jemand helfen.
Ich danke im Voraus
moebak
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:29 So 23.01.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo moebak!
> Hallo,
>
> ich habe vor kurzem eine Testklausur geschrieben, in der
> als eine von vielen Fragen stand:
> Warum ist [mm]0,\overline{9}[/mm] = 1 .
> Ich habe da sowiso meine Schwierigkeiten das zu Verstehen
> (denn für mich ist 1/3 = 0, [mm]\overline{3},[/mm] und 3*0,
> [mm]\overline{3}[/mm] ist immerhin 0, [mm]\overline{9},[/mm] und nur 3/3 ist
> für mich exakt 1). Ich weiss, dass ich die Zahl als Folge
> ihrer Partialsummen........,
> Aber ich hätte gerne gewusst, wie ich hier die
> Epsilonumgebung ins Spiel bringen kann. Kann mir jemand
> helfen.
>
Also der Beweis geht dann meiner Meinung so, dass du die (kühne) Behauptung aufstellst, dass
in jeder offnen Epsilon-Umgebung von 1 die Zahl [mm] $0,\overline{9}$ [/mm] liegt.
Nehmen wir also den Widerspruch an:
Es existiere ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, sodass $ [mm] 0,\overline{9} \not\in U_{\varepsilon} [/mm] (1) $.
Dann gilt: $| 1- [mm] 0,\overline{9} [/mm] | [mm] \ge \varepsilon$ [/mm] (1)
Nun könnte man argumentieren, dass die linke Seite 0 ist, was ein Widerspruch zur Voraussetzung wäre... Aber ich glaube genau das willst du ja zeigen. Dafür muss man sich die Definition von [mm] $0,\overline{9}$ [/mm] ansehen, sofern man die hat:
[mm] $0,\overline{9} [/mm] = [mm] \limes_{k \to \infty} {\sum_{i=1}^{k} {\frac{9}{10^i}}}$
[/mm]
Es ist also ein Grenzwert. Das heißt:
[mm] \forall_{\eta > 0} \exists_{K_0 \in \IN} \forall_{k \ge K_0} : | \limes_{k \to \infty} {\sum_{i=1}^{k} {\frac{9}{10^i}}} - 0,\overline{9}| < \eta [/mm] (2)
Nun zurück zu unserem Ausgangsproblem:
[mm]\exists_{\varepsilon > 0} :| 1- 0,\overline{9} | \ge \varepsilon \gdw | 1- \limes_{k \to \infty} {\sum_{i=1}^{k} {\frac{9}{10^i}}} | \ge \varepsilon [/mm]
Im Prinzip läuft der Beweis von nun an genau wie der Beweis für die Reihendarstellung...
Du könntest aber auch anders Fragen:
Angenommen [mm] $0,\overline{9} \not= [/mm] 1$. dann vermuten wir eine Zahl a zwischen [mm] $0,\overline{9}$ [/mm] und 1. Sei nun [mm] \varepsilon : = 1-a > 0[/mm].
Dann ist oben geforderte Bedingung erfüllt: [mm] $0,\overline{9} \not\in U_{\varepsilon} [/mm] (1)$
Andererseits wäre a im Dezimalsystem nicht darstellbar! Die Länge der Dezimaldarstellung von [mm] $0,\overline{9} [/mm] $ ist unendlich. Sie bricht also nicht ab. Der Beweis wäre mir aber zu schwamming, und ich weiss auch nicht, ob der 100% wasserdicht is. Bei unendlichen Sachen gibt's ja die verrücktesten Geschichten.  Vielleicht muss man doch die Konvergenz von dieser Reihe wieder hinzuziehen...
Gute Nacht erstmal,
Gruß Micha
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:22 So 23.01.2005 | | Autor: | moebak |
Hallo nochmal,
also irgenwie verwirrt mich das ganze hier. Der Beweis den du mir da aufgeschrieben hast interpretiere ich "vereinfacht" wie folgendermassen: Es gibt eine Zahl grösser null, wo gilt dass die Folge [mm] a_{n} [/mm] minus dem Grenzwert der Folge kleiner ist als [mm] \varepsilon. [/mm] Was hier aber bewiesen wird ist nur, dass der Grenzwert der Folge mit 1 übereinstimmt. Nicht die Folge selbst. Vielleicht denke ich auch einfach nur zu hoch, oder kann mir jemand dass noch mal in einem klaren mathematischen Beweis aufnotieren.
Vielen Dank
moebak
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 So 23.01.2005 | | Autor: | volta |
Ich bin der Überzeugung, daß man das Problem auch viel einfacher mit der geometrischen Reihe lösen kann:
0,99... = [mm] \summe_{i=1}^{\infty}9*10^{-i} [/mm] = 9 * [mm] \summe_{i=1}^{\infty}10^{-i} [/mm] = 9 * [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{1}{10})^{i} [/mm] = 9 * [mm] (\bruch{1}{1 - \bruch{1}{10}} [/mm] - 1) = 9 * [mm] (\bruch{10}{9} [/mm] - 1) = 10 - 9 = 1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 So 23.01.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo volta!
Soweit ich moebak richtig verstanden habe, wollte er einen Alternativbeweis zu diesem Reihenbeweis haben.
Gruß Micha
PS: Vielleicht kann moebak mir noch erklären, warum er den Status der Antwort auf "fehlerhaft" gemacht hat?
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