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| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{n+5}{16n} [/mm] mit der [mm] \epsilon [/mm] Umgebung! |
Zunächst der Hinweis: Dies ist eine von mir ausgedachte Aufgabe um mich selbst zu testen. Ich bitte um Korrekturen, Hinweise und alles was einem verzweifeltem Student helfen kann dieses Thema endlich zu begreifen.
Hier kommt mein Lösungsansatz:
Der Grenzwert der Folge ist [mm] \frac{1}{16}, [/mm] da: [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{n+5}{16n} [/mm] erweitert mit [mm] \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}, [/mm] ergibt: [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{1+\frac{5}{n}}{16} [/mm] mit n [mm] \to \infty [/mm] = [mm] \frac{1}{16}.
[/mm]
Nun soll gelten, dass [mm] |a_n [/mm] - g| < [mm] \epsilon \forall [/mm] n [mm] \geq N(\epsilon):
[/mm]
[mm] |\frac{n+5}{16n} [/mm] - [mm] \frac{1}{16}| [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
[mm] |\frac{n+5}{16n}| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] + [mm] \frac{1}{16} [/mm] Erweitert mit [mm] \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}
[/mm]
[mm] |\frac{1+\frac{5}{n}}{16}| [/mm] < [mm] (\epsilon [/mm] + [mm] \frac{1}{16}) [/mm] | * 16
[mm] |1+\frac{5}{n}| [/mm] < [mm] 16\epsilon
[/mm]
|n| > [mm] \frac{16\epsilon - 1}{5} \qed
[/mm]
Ich würde hier abschliessen.
So, nun die Frage, ist alles falsch oder wenigstens Ansätze richtig, was sind meine Fehler?
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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> Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge [mm]a_n[/mm] = [mm]\frac{n+5}{16n}[/mm]
> mit der [mm]\epsilon[/mm] Umgebung!
Hallo,
mit der [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung kannst Du den Grenzwert nicht bestimmen. Du kannst aber beweisen, daß der vermutete Grenzwert wirklich der Grenzwert ist.
Du möchtest jetzt also zeigen, daß [mm] (a_n) [/mm] gegen 1/16 konvergiert.
Was ist dazu zu tun?
zu beliebigem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ist ein passendes [mm] N(\varepsilon) [/mm] anzugeben so, daß
für alle N, die größer als die Schwelle [mm] N(\varepsilon) [/mm] sind gilt: [mm] |a_n [/mm] - [mm] \bruch{1}{16}| <\varepsilon.
[/mm]
Soweit ist Dir das klar.
Nun muß man zweierlei unterscheiden: den Beweis für obiges und den Prozeß des Findens von [mm] N(\varepsilon).
[/mm]
Letzterer geht normalerweise geheim auf einem Schmierpapier vonstatten.
Im eigentlichen Beweis tut man dann so, als fiele dieses [mm] N(\varepsilon) [/mm] einfach vom Himmel - Du kennst das von Deinem Professor...
Deine Rechnung unten (auf die ich noch eingehen werde) ist das, was man als "Vorarbeit" erledigt, das Bemühen ums [mm] N(\varepsilon).
[/mm]
Am Ende hast Du ein [mm] N(\varepsilon) [/mm] errechnet.
Jetzt käme der Beweis:
Sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] und sein [mm] N(\varepsilon):= [/mm] (das Ausgerechnete)
Es ist für [mm] n>N(\varepsilon) |a_n [/mm] - [mm] \bruch{1}{16}| [/mm] = ...< .... < ...=... =...< [mm] ....=\varepsilon.
[/mm]
Damit wär's dann bewiesen.
In Deiner Rechnung rechnest Du sehr unbekümmert mit den Beträgen und den Ungleichungen.
Ich schreib's jetzt einmal richtig auf.
Du möchtest haben:
[mm] \varepsilon> [/mm] $ [mm] |\frac{n+5}{16n} [/mm] $ - $ [mm] \frac{1}{16}| [/mm] $ = [mm] |\frac{n+5}{16n} [/mm] $ - $ [mm] \frac{n}{16n}| [/mm] = [mm] |\frac{5}{16n}| =\frac{5}{16n}
[/mm]
<==> [mm] n>\frac{5}{16\varepsilon}.
[/mm]
Nun mach den zugehörigen Beweis!
Gruß v. Angela
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Müsste dann ja lauten:
Für jedes n > [mm] \frac{5}{16 \epsilon} [/mm] gilt dies und damit ist gezeigt, dass für jedes noch so große n ein [mm] \epsilon [/mm] existiert, so dass der vermutete Grenzwert [mm] \frac{1}{16} [/mm] immer in einer noch so kleinen [mm] \epsilon-Umgebung [/mm] liegt.
Aber richtig Beweisen ... kann ich das nicht...
[edit]...
n [mm] \geq N(\varepsilon)
[/mm]
[mm] N(\varepsilon) [/mm] := [mm] \frac{5}{16 \epsilon}
[/mm]
n > [mm] \frac{5}{16 \epsilon} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \frac{1}{16} [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \frac{1}{16} [/mm] + [mm] \frac{5}{16n} [/mm] < [mm] \frac{1}{16}+\varepsilon
[/mm]
- [mm] \varepsilon [/mm] < [mm] \frac{5}{16n} [/mm] < [mm] \varepsilon[/mm]
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> Müsste dann ja lauten:
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> Für jedes n > [mm]\frac{5}{16 \epsilon}[/mm] gilt dies und damit ist
> gezeigt, dass für jedes noch so große n ein [mm]\epsilon[/mm]
> existiert, so dass der vermutete Grenzwert [mm]\frac{1}{16}[/mm]
> immer in einer noch so kleinen [mm]\epsilon-Umgebung[/mm] liegt.
Hallo,
nein, nein, das ist verkehrt herum!
Mach Dir mal anschaulich klar, was Konvergenz bedeutet: die Folgenglieder rücken beliebig dicht an den Grenzwert heran.
Dh. ich kann mir einen beliebig kleinen Abstand ( [mm] \varepsilon [/mm] ) vorgeben, und ab irgendeinem Folgenglied [mm] (N(\varepsilon)) [/mm] liegen alle Folgenglieder mindestens so dicht an dem Wert, den ich als Grenzwert zeigen möchte, dran.
Also für jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] finde ich ein [mm] N(\varepsilon) [/mm] so, daß für alle [mm] n\geN(\varepsilon) [/mm] gilt [mm] |a_n [/mm] - Grenzwert| [mm] <\varepsilon [/mm] gilt.
>
> Aber richtig Beweisen ... kann ich das nicht...
In der Tat...
Ich mach' Dir das jetzt mal vor.
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0, sei [mm] N(\varepsilon)> \frac{5}{16 \epsilon}.
[/mm]
Für alle [mm] n\ge N(\varepsilon) [/mm] gilt
[mm] |a_n- \frac{1}{16}| [/mm] = [mm] |\frac{n+5}{16n}-\frac{1}{16}| [/mm] = [mm] |\frac{n+5-n}{16n}| [/mm] = [mm] |\frac{n+5-n}{16n}|=\frac{5}{16n} \le \frac{5}{16*N(\varepsilon) } [/mm] < [mm] \frac{5}{16* \frac{5}{16 \epsilon} } =\varepsilon.
[/mm]
Das war's.
Zum Üben: nimm Dir die Vorlesungsmitschrift, Buch, oder was weiß ich, und schau Dir dort an, wie einfache [mm] \varepsilon-Beweise [/mm] durchgeführt werden. (Nimm' keine sehr komplizierten und langen) Liese Dir das durch, denk mit. Versuche es, schreibend und die Lücken füllend nachzuvollziehen. Dann versuch es allein. Wenn Du das mit genügend vielen Konvergenznachweisen machst, kannst Du es.
Gruß v. Angela
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> [edit]...
>
> n [mm]\geq N(\varepsilon)[/mm]
> [mm]N(\varepsilon)[/mm] := [mm]\frac{5}{16 \epsilon}[/mm]
>
> n > [mm]\frac{5}{16 \epsilon}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\frac{1}{16}[/mm] - [mm]\varepsilon[/mm] < [mm]\frac{1}{16}[/mm] + [mm]\frac{5}{16n}[/mm] <
> [mm]\frac{1}{16}+\varepsilon[/mm]
>
> - [mm]\varepsilon[/mm] < [mm]\frac{5}{16n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
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Vielen Dank, ich glaube so langsam dämmert es mir. Ein weiteres Beispiel:
[mm] \frac{1}{n} [/mm] hat offensichtlich den Grenzwert 0. Also ist:
[mm] \left|\frac{1}{n} - 0\right| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
da n [mm] \in [/mm] N wird der Bruch nie < 0, daher kann man die Betragsstriche weglassen und erhält:
[mm] \frac{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
was wiederum für n > [mm] \frac{1}{\varepsilon} [/mm] ergibt.
Weiter jetzt mit dem Beweis:
[mm] \frac{1}{n} \leq \left|\frac{1}{N(\varepsilon)}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}}\right| [/mm] = [mm] \varepsilon \hfill $\square$ [/mm]
Fertig?
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> Vielen Dank, ich glaube so langsam dämmert es mir. Ein
> weiteres Beispiel:
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> [mm]\frac{1}{n}[/mm] hat offensichtlich den Grenzwert 0. Also ist:
>
> [mm]\left|\frac{1}{n} - 0\right|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> da n [mm]\in[/mm] N wird der Bruch nie < 0, daher kann man die
> Betragsstriche weglassen und erhält:
>
> [mm]\frac{1}{n}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> was wiederum für n > [mm]\frac{1}{\varepsilon}[/mm] ergibt.
>
> Weiter jetzt mit dem Beweis:
>
> [mm]\frac{1}{n} \leq \left|\frac{1}{N(\varepsilon)}\right|[/mm] =
> [mm]\left|\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}}\right|[/mm] = [mm]\varepsilon \hfill[/mm]
> [mm]\square[/mm]
>
> Fertig?
Hallo,
ich glaube, jetzt hast Du wirklich etwas kapiert!
Beim Rechnen im Beweis würde ich wirklich ganz vorne beginnen - da hast Du dann auch die Betragsstriche. Später brauchst Du keine!
[mm] |\bruch{1}{n}-0|=\bruch{1}{n} \le \frac{1}{N(\varepsilon)} <\frac{1}{\frac{1}{\varepsilon}}=\varepsilon [/mm]
Gruß v. Angela
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