Ereignis tritt unendlich oft e < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 So 09.01.2011 | | Autor: | balisto |
| Aufgabe | Die Kreislinie eines Kreises wird mit 2 Farben eingefärbt: blau und gelb. Angenommen, 70 % der Kreislinie sind blau und 30% gelb. (Die Farben überlappen sich nicht.) Ein blaues gleichseitiges Dreieck ABC ist ein Dreieck mit gleichlangen Seite, sodass seine Ecken, A, B, C, auf dem blauen Bereich der Kreislinie liegen.
Zeige, dass es unendlich viele solcher Dreiecke gibt, unabhängig davon, wie man die Kreislinie einfärbt. |
Hallo,
Leider komme ich bei dieser Aufgabe überhaupt nicht voran! :-(
Ich muss ja zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass man bei einer beliebig gegebenen Färbung (natürlich im 70-30-Verhältnis), unendlich viele blaue gleichseitige Dreiecke einzeichnen kann, größer Null ist.
Leider habe ich dafür überhaupt keinen Ansatz.
Ich muss ja auch die Gleichseitigkeit der Dreiecke beachten, d.h. wenn ich zufällig einen Eckpunkt auswähle sind doch die anderen beiden automatisch festgelegt, oder?
Ich wäre für Tipps oder ähnliches sehr dankbar!
Mit freundlichen Grüßen,
balisto
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 So 09.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Die Kreislinie eines Kreises wird mit 2 Farben eingefärbt:
> blau und gelb. Angenommen, 70 % der Kreislinie sind blau
> und 30% gelb. (Die Farben überlappen sich nicht.) Ein
> blaues gleichseitiges Dreieck ABC ist ein Dreieck mit
> gleichlangen Seite, sodass seine Ecken, A, B, C, auf dem
> blauen Bereich der Kreislinie liegen.
> Zeige, dass es unendlich viele solcher Dreiecke gibt,
> unabhängig davon, wie man die Kreislinie einfärbt.
> Hallo,
>
> Leider komme ich bei dieser Aufgabe überhaupt nicht voran!
> :-(
>
> Ich muss ja zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass man
> bei einer beliebig gegebenen Färbung (natürlich im
> 70-30-Verhältnis), unendlich viele blaue gleichseitige
> Dreiecke einzeichnen kann, größer Null ist.
>
> Leider habe ich dafür überhaupt keinen Ansatz.
> Ich muss ja auch die Gleichseitigkeit der Dreiecke
> beachten, d.h. wenn ich zufällig einen Eckpunkt auswähle
> sind doch die anderen beiden automatisch festgelegt, oder?
>
> Ich wäre für Tipps oder ähnliches sehr dankbar!
Hallo,
eine Vorbetrachtung: ein gleichseitiges Dreieck, dessen Eckpunkte auf einem Kreis liegen, entsteht genau dann, wenn beim Einzeichnen der drei Strahlen vom Kreismittelpunkt zu den drei Eckpunkten zwischen diesen drei Strahlen jeweils 120°-Winkel entstehen.
Falls es ein "blaues" Dreieck gibt und die drei Eckpunkte nicht isolierte blaue Einzelpunkte in einer gelben Umgebung sind, sondern jeweils innerhalb eines blauen Bogenstücks liegen (das muss nicht groß sein), dann bekommt man mit einer winzigen Drehung der ganzen Anordnung immer noch ein komplett blaues Dreieck. Innerhalb eines solchen (noch so winzigen) Drehbereichs hätte man schon unendlich viele Möglichkeiten für die Lage blauer Dreiecke.
Ich empfehle Folgendes:
1) Weise nach, dass (ausgehend von einer beliebigen Ausgangslage des Dreiecks) es unmöglich ist, während einer 360°-Drehung des Dreiecks immer nur auf Lagen zu stoßen, in denen weniger als zwei Punkte blau sind.
2) Weise nach, dass während dieser Drehung in den Fällen, in denen schon zwei Punkte blau sind, der dritte Punkt nicht immer gelb sein kann.
Gruß Abakus
>
> Mit freundlichen Grüßen,
> balisto
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:31 Fr 14.01.2011 | | Autor: | balisto |
Ich glaube das Problem gelöst zu haben (-:
Vielen Dank für ein paar Denkanstöße.
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