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Forum "HochschulPhysik" - Erhaltungsgrößen 3d Oszillator
Erhaltungsgrößen 3d Oszillator < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Erhaltungsgrößen 3d Oszillator: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:32 So 13.12.2009
Autor: Leipziger

Aufgabe
Die Lagrange-Funktion des dreidimensionalen harmonischen Oszillators ist
L = [mm] \bruch{m}{2}*(x'_{1}^2 [/mm] + [mm] x'_{2}^2 [/mm] + [mm] x'_{3}^2) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*(k_{1}*x_{1}^2 [/mm] + [mm] k_{2}*x_{2}^2 [/mm] + [mm] k_{3}*x_{3}^2). [/mm]

a)
Analysieren Sie mit Hilfe des Noether-Theorems, welche der Drehimpulskomponenten [mm] L_{i}, [/mm]
i = 1, 2, 3, in Abhängigkeit von der Wahl der Parameter [mm] k_{1}, k_{2}, k_{3} [/mm] Erhaltungsgrößen sind.

b)
Zeigen Sie, daß die Größen
[mm] A_{i}_{j} [/mm] = [mm] \bruch{m}{2}x'_{i}x'_{j} [/mm] + [mm] \bruch{k}{2}x_{i}x_{j}, [/mm] i,j = 1, 2, 3,
im Fall [mm] k_{1} [/mm] = [mm] k_{2} [/mm] = [mm] k_{3} [/mm] = k Erhaltungsgrößen sind und beweisen Sie die Relationen
[mm] A_{i}_{j}^2 [/mm] = [mm] A_{i}_{i}A_{j}_{j} [/mm] - [mm] \bruch{k}{4m}L_{l}^2 [/mm] i, j, l paarweise verschieden.

Hallo,
da ich als angehender Mathematiker theoretische Mechanik nicht unbedingt zu meinen Stärken zählen würde, brauch ich eure Hilfe.

Ich hab absolut keine Ahnung, wie ich an diese Aufgabe herangehen muss.

Ich weiß nur:
I(q,q') = [mm] \summe_{i=1}^{f}\bruch{\partial L}{\partial q'_{i}}\bruch{d}{ds} h^s(q_{i}) [/mm]
an der Stelle s=0 eine Erhaltungsgröße ist.

        
Bezug
Erhaltungsgrößen 3d Oszillator: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:41 So 13.12.2009
Autor: Leipziger

Keiner eine Idee?

Bezug
                
Bezug
Erhaltungsgrößen 3d Oszillator: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:35 Mo 14.12.2009
Autor: Leipziger

Mittlerweile habe ich Teil a) fertig, bin aber bei Teil b nachwievor ratlos.

Bezug
        
Bezug
Erhaltungsgrößen 3d Oszillator: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Di 15.12.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Erhaltungsgrößen 3d Oszillator: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:35 Mi 16.12.2009
Autor: Doing

Hallo!
Sollte die Frage noch aktuell sein, möchte ich zunächst mal anmerken, dass diese Formulierung des Noether Theorems hier nicht unbedingt am geeignetsten ist, da in der Form zunächst einmal nur eine Aussage bezüglich Transformationen der verallgemeinerten Koordinaten getroffen wird (beim Aufgabenteil b) wird aber mehr benötigt).
Zum Lösen der Aufgabe kann man dann so vorgehen, dass man A zunächst einmal in das Noether Theorem (d.h. in die Gleichung für dei Erhaltungsgöße) einsetzt, und dann ermittelt welches die entsprechenden Transformationen sind, und schließlich überprüft dass die Wirkung unter diesen invariant ist.

Grüße,
Doing

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