Erhaltungsgrößen Theorie < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Mi 18.01.2012 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | Ein Teilchen bewegt sich in einem Potenzial:
[mm]V\left( x,y,z \right) = V_0\,\sin\left(\bruch{x^2 + z^2}{a^2}\right) [/mm]
a) Bestimmen Sie alle (drei) Erhaltungsgrößen und begründen Sie Ihre Antworten! |
Guten Abend,
ich hab' da nochmal 'ne Frage bezüglich der o. g. Aufgabe:
Kann es sein, dass die Erhaltungsgrößen hier Energie, linearer Impuls und Drehimpuls sein müssen?
Also spezieller:
Das Potenzialfeld oben besitzt ein Kraftfeld mit [mm] $\vec{\nabla} \times \vec [/mm] F = 0 $! Es ist also konservativ.
Also:
- Energieerhaltung, da in konservativen Kraftfeldern Energiekonstanz gilt!
Weiter,
nach Lagrange ist,
[mm] L := T - V [/mm]
meine Vorstellung des Teilchens im Modell (mit positiv gewählten Koordinaten) mit der Form:
[mm] L := \bruch{1}{2}\,m\,\left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2 \right) - m\,g\,z [/mm]
Hieraus kann ich entnehmen, dass für
[mm] \bruch{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\,\bruch{\partial L}{\partial \dot x} = m\,\ddot{x} ; \quad \bruch{\partial L}{\partial x} = 0 \quad \Rightarrow \bruch{\partial L}{\partial \dot x} = const. = p_x[/mm]
[mm] [red]$p_x$[/red] [/mm] -als Komponente des linearen Impulses- eine Erhaltungsgröße ist!
Weiter geht's mit:
[mm] \bruch{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\,\bruch{\partial L}{\partial \dot y} = m\,\ddot{y} ; \quad \bruch{\partial L}{\partial y} = 0 \quad \Rightarrow \bruch{\partial L}{\partial \dot y} = const. = p_y[/mm]
Jedoch kommt die Koordinate $y$ gar nicht im Potenzial und auch nicht im Kraftfeld vor!
Kann ich denn hier eine Aussage treffen?
Weiter geht's mit:
[mm] \bruch{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\,\bruch{\partial L}{\partial \dot z} = m\,\ddot{z} ; \quad \bruch{\partial L}{\partial z} = -m\,g \quad \Rightarrow \bruch{\partial L}{\partial z} \not= const.[/mm]
Als Bewegungsgleichung:
[mm] \bruch{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\,\bruch{\partial L}{\partial \dot z} - \bruch{\partial L}{\partial z} = 0 = m\,\ddot{z} + m\,g[/mm]
Daraus folgt:
$z$ ist nicht zyklisch! $x$, $y$(?) sind zyklische Koordinaten!
Ich hoffe meine Deutung ist nun richtig:
Wenn also die partiellen Ableitungen von [mm] $\dot [/mm] x$ und [mm] $\dot [/mm] y$ Konstanten (Erhaltungsgrößen) sind, sind dann zwangsläufig auch die entsprechenden Drehimpulskomponenten Erhaltungsgrößen?
Wenn also
[mm]\ddot{x} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bruch{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} p_x = 0 \quad \Rightarrow \quad F_x = 0
[/mm]
Dasselbe dann auch für [mm] $p_y$, [/mm] oder?
===========Koordinatentransformation wegen [mm] $\vec [/mm] L$=============
Vermutlich gibt es einen Weg, mit dem man ziemlich schnell nachweisen kann, welche Komponenten des Drehimpulses erhalten sind und welche eben nicht.
Ich transformiere die kinetische und potentielle Energie in Kugelkoordinaten:
[mm] L = \bruch{1}{2}\,m\,\left( \dot{r}^2 + {r}^2\,\dot{\phi}\,^2 + r^2\,\dot{\phi}^2\,\sin^2\theta \right) - m\,g\,r\,\cos\theta [/mm]
[mm] \bruch{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\,\bruch{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = m\,\ddot{\phi}; \quad \bruch{\partial L}{\partial \phi} = 0 \quad \Rightarrow \bruch{\partial L}{\partial \dot{\phi}} = const.[/mm]
Das bedeutet wiederum, dass [mm] $\phi$ [/mm] per Definition der Winkel in der $xy$-Ebene ist. Das heißt wiederum, dass die Drehimpulskomponente [mm] $L_z$ [/mm] erhalten sein muss!
-------------------------------------------------
Um [mm] $\theta$ [/mm] nicht zu vergessen, nun
[mm] \bruch{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\,\bruch{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = m\,\ddot{\theta}; \quad \bruch{\partial L}{\partial \theta} = -m\,g\,r\,\sin\theta \quad \Rightarrow \bruch{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \not= const.[/mm]
mit der Bewegungsgleichung:
[mm] \bruch{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\,\bruch{\partial L}{\partial \dot {\theta}} - \bruch{\partial L}{\partial \theta} = 0 = m\,\ddot{\theta} + m\,g\,r\,\sin\theta[/mm]
Kann ich Erhaltungsgrößen, wie erläutert, so erklären?
Oder geht das auch weniger zeitintensiv? Das war nämlich eine Klausurfrage.
Wie immer freue ich mich auf Rückkopplung und bedanke mich schon einmal im Voraus für eure Tipps und Hilfestellungen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Mi 18.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwas läuft hier ganz schief:
du schreibst
$ L := [mm] \bruch{1}{2}\,m\,\left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2 \right) [/mm] - [mm] m\,g\,z [/mm] $
aber das Potential ist doch gegeben und NICHT mgz.
Erdanziehung is hier nich!
Rest hab ich dann nicht mehr angesehen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Mi 18.01.2012 | | Autor: | murmel |
Oh ja, danke leduart, ich sollt mal'ne Pause machen!
LOL
Also stattdessen eben das gegebene Potential einsetzen...ok, ich schau mir das mal an.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Mi 18.01.2012 | | Autor: | murmel |
Ok, neuer Versuch!
Erste Erhaltungsgröße: Die Energe ist erhalten!
[mm]L = \bruch{1}{2}\,m\,\left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2 \right) - V_0\,\sin\left(\bruch{x^2 + z^2}{a^2}\right) [/mm]
Hieraus kann ich entnehmen, dass für
[mm]\bruch{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\,\bruch{\partial L}{\partial \dot x} = m\,\ddot{x} ; \quad \bruch{\partial L}{\partial x} = 2V_0\,x\,a^{-2}\,\cos\left( \bruch{x^2+z^2}{a^2}\right) \quad \Rightarrow \bruch{\partial L}{\partial \dot x} \not= const.[/mm]
[mm]\bruch{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\,\bruch{\partial L}{\partial \dot z} = m\,\ddot{z} ; \quad \bruch{\partial L}{\partial z} = 2V_0\,z\,a^{-2}\,\cos\left( \bruch{x^2+z^2}{a^2}\right) \quad \Rightarrow \bruch{\partial L}{\partial \dot z} \not= const.[/mm]
Zweite evtl. Erhaltungsgröße: [mm] $p_y$
[/mm]
Ist [mm] $p_y$ [/mm] eine Erhaltungsgröße?
[mm]p_y[/mm] -als Komponente des linearen Impulses- eine
Erhaltungsgröße ist!
[mm]\bruch{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\,\bruch{\partial L}{\partial \dot y} = m\,\ddot{y} ; \quad \bruch{\partial L}{\partial y} = 0 \quad \Rightarrow \bruch{\partial L}{\partial \dot y} = const. = p_y[/mm]
Jedoch kommt die Koordinate [mm]y[/mm] gar nicht im Potenzial und auch nicht im Kraftfeld vor!
Kann ich denn hier eine Aussage treffen?
Daraus folgt:
$z$, $x$ sind nicht zyklisch! $y$(?) ist eine zyklische Koordinate! Oder?
Ich hoffe meine Deutung ist nun richtig:
Wenn also die partielle Ableitung von [mm]\dot y[/mm] eine Konstante (Erhaltungsgrößen) ergibt, ist dann
zwangsläufig auch die entsprechende Drehimpulskomponente
eine Erhaltungsgröße?
Wenn also
[mm]\ddot{y} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bruch{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} p_y = 0 \quad \Rightarrow \quad F_y = 0
[/mm]
===========Koordinatentransformation wegen [mm]\vec L[/mm]=============
Vermutlich gibt es einen Weg, mit dem man ziemlich schnell
nachweisen kann, welche Komponenten des Drehimpulses erhalten sind und welche eben nicht.
Ich transformiere die kinetische und potentielle Energie in Kugelkoordinaten:
[mm]L = \bruch{1}{2}\,m\,\left( \dot{r}^2 + {r}^2\,\dot{\theta}\,^2 + r^2\,\dot{\phi}^2\,\sin^2\theta \right) - V_0\,\sin\left( \bruch{\left( r\,\sin\theta\,\cos\phi \right)^2 + \left( r\,\cos\theta \right)^2}{a^2} \right)[/mm]
Allein aus dieser "Monstergleichung" schließe ich, dass
weder [mm] $\phi$ [/mm] noch $r$ noch [mm] $\theta$ [/mm] zyklische Koordinaten sind!
[mm]\bruch{\partial L}{\partial \theta} = \bruch{\partial L}{\partial \phi} = \bruch{\partial L}{\partial r} \not= const. \Rightarrow [/mm]
Ergibt die Frage nach einem Drehimpuls überhaupt einen Sinn, wenn man hier von Massepunkten spricht?
Kann ich eigentlich davon ausgehen, dass [mm] $L_y$ [/mm] eine Erhaltungsgröße ist? Jedoch wie kann ich das für mich verständlich nachvollziehen, wenn das der Fall ist?
Ich habe gerade keine Peilung mehr.
Die Frage nun, welche dritte Erhaltungsgröße meint der Dozierende?
Der Drehimpuls (oder höchstens zwei seiner Komponenten) sind erhalten oder nicht, wie kann ich das schnell überprüfen ohne in der Klausur viel Zeit zu verlieren?
Diese Aufgabe ist eine Teilaufgabe aus einer früheren Klausur.
Wie immer freue ich mich auf Rückkopplung und bedanke mich
schon einmal im Voraus für eure Tipps und Hilfestellungen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:04 Do 19.01.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ok, neuer Versuch!
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> Erste Erhaltungsgröße: Die Energe ist erhalten!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> [mm]L = \bruch{1}{2}\,m\,\left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2 \right) - V_0\,\sin\left(\bruch{x^2 + z^2}{a^2}\right)[/mm]
>
> Hieraus kann ich entnehmen, dass für
>
> [mm]\bruch{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\,\bruch{\partial L}{\partial \dot x} = m\,\ddot{x} ; \quad \bruch{\partial L}{\partial x} = 2V_0\,x\,a^{-2}\,\cos\left( \bruch{x^2+z^2}{a^2}\right) \quad \Rightarrow \bruch{\partial L}{\partial \dot x} \not= const.[/mm]
>
>
>
> [mm]\bruch{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\,\bruch{\partial L}{\partial \dot z} = m\,\ddot{z} ; \quad \bruch{\partial L}{\partial z} = 2V_0\,z\,a^{-2}\,\cos\left( \bruch{x^2+z^2}{a^2}\right) \quad \Rightarrow \bruch{\partial L}{\partial \dot z} \not= const.[/mm]
>
> Zweite evtl. Erhaltungsgröße: [mm]p_y[/mm]
>
> Ist [mm]p_y[/mm] eine Erhaltungsgröße?
>
> [mm]p_y[/mm] -als Komponente des linearen Impulses- eine
> Erhaltungsgröße ist!
>
> [mm]\bruch{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\,\bruch{\partial L}{\partial \dot y} = m\,\ddot{y} ; \quad \bruch{\partial L}{\partial y} = 0 \quad \Rightarrow \bruch{\partial L}{\partial \dot y} = const. = p_y[/mm]
>
>
>
> Jedoch kommt die Koordinate [mm]y[/mm] gar nicht im Potenzial und
> auch nicht im Kraftfeld vor!
> Kann ich denn hier eine Aussage treffen?
Das ist die Definition einer zyklischen Koordinate: Die Lagrangefunktion hängt nicht von dieser generalisierten Koordinate ab. Du hast eben gerade abgeleitet, dass [mm] $p_y$ [/mm] konstant, also eine Erhaltungsgröße ist.
>
>
> Daraus folgt:
>
> [mm]z[/mm], [mm]x[/mm] sind nicht zyklisch! [mm]y[/mm](?) ist eine zyklische
> Koordinate! Oder?
>
> Ich hoffe meine Deutung ist nun richtig:
>
> Wenn also die partielle Ableitung von [mm]\dot y[/mm] eine
> Konstante (Erhaltungsgrößen) ergibt, ist dann
> zwangsläufig auch die entsprechende Drehimpulskomponente
> eine Erhaltungsgröße?
Das hast du falsch verstanden: da y zyklisch ist, ist der zugehörige Impuls erhalten, also [mm] $p_y$. [/mm]
> Wenn also
>
> [mm]\ddot{y} = 0 \quad \Rightarrow \quad \bruch{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} p_y = 0 \quad \Rightarrow \quad F_y = 0
[/mm]
Das ist richtig, hat aber nichts mit dem Drehimpuls zu tun.
>
> ===========Koordinatentransformation wegen [mm]\vec L[/mm]=============
>
> Vermutlich gibt es einen Weg, mit dem man ziemlich schnell
> nachweisen kann, welche Komponenten des Drehimpulses
> erhalten sind und welche eben nicht.
>
> Ich transformiere die kinetische und potentielle Energie in
> Kugelkoordinaten:
>
>
> [mm]L = \bruch{1}{2}\,m\,\left( \dot{r}^2 + {r}^2\,\dot{\theta}\,^2 + r^2\,\dot{\phi}^2\,\sin^2\theta \right) - V_0\,\sin\left( \bruch{\left( r\,\sin\theta\,\cos\phi \right)^2 + \left( r\,\cos\theta \right)^2}{a^2} \right)[/mm]
>
>
> Allein aus dieser "Monstergleichung" schließe ich, dass
> weder [mm]\phi[/mm] noch [mm]r[/mm] noch [mm]\theta[/mm] zyklische Koordinaten sind!
>
> [mm]\bruch{\partial L}{\partial \theta} = \bruch{\partial L}{\partial \phi} = \bruch{\partial L}{\partial r} \not= const. \Rightarrow[/mm]
Korrekt.
> Ergibt die Frage nach einem Drehimpuls überhaupt einen
> Sinn, wenn man hier von Massepunkten spricht?
Durchaus. Ich glaube, du hast den Drehimpuls eines starren Körpers (also eines ausgedehnten Objekts) im Sinn. Selbst wenn ein solcher starrer Körper ruht, kann er sich um sich selbst drehen und damit einen von Null verschiedenen Drehimpuls besitzen.
Ein ruhender Massenpunkt hast Drehimpuls Null. Aber ein bewegter Massenpunkt kann einen Drehimpuls besitzen, z.B. ein Massenpunkt auf einer Kreisbahn in einem Zentralpotential.
>
> Kann ich eigentlich davon ausgehen, dass [mm]L_y[/mm] eine
> Erhaltungsgröße ist? Jedoch wie kann ich das für mich
> verständlich nachvollziehen, wenn das der Fall ist?
Mit dem Satz von Emmi Noether folgt diese Aussage unmittelbar daraus, dass das Potential und damit auf die Lagrangefunktopn rotationssymmetrisch um die y-Achse ist.
Ohne diesen Satz (bzw. wenn du den noch nicht kennst) musst du selbst überprüfen, dass [mm] $L_y$ [/mm] eine Erhaltungsgröße ist. Die Transformation in Polarkoordinaten bringt dir nichts, weil [mm] $L_y$ [/mm] keiner der generalisierten Impulse [mm] $p_r$, $p_\phi$, $p_\theta$ [/mm] ist.
Entweder du rechnest es explizit nach:
[mm]L_y = m(z\dot x-x \dot z) \implies \dot L_y = m (z\ddot x -x \ddot z) = \dots [/mm] .
Oder du wählst geeignete Koordinaten: da das Potential rotationssymmetrisch um die y-Achse ist, sollte der Winkel der die Drehung um die y-Achse beschreibt, eine zyklische Koordinate sein. Also Zylinderkoordinaten [mm] $x=r\cos\phi$, $z=r\cos\phi$, [/mm] $y$.
Viele Grüße
Rainer
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