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| Aufgabe | | Es handelt sich hierbei nicht um eine Aufgabe, sondern um eine "Formelerklärung" aus meinem Arbeitsheft, bei der ich einige Schritte nicht nachvollziehen kann. |
Wir Berechnen den Erwartungswert gleichmäßig verteilter Zufallsgrößen :
E(X) = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n} x_{1}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} (x_{1} [/mm] + (i-1)c)
= [mm] \bruch{1}{n} [/mm] (n [mm] x_{1} [/mm] + c (1+2+...+(n-1)))
= [mm] x_{1} [/mm] + [mm] \bruch{c}{n} \summe_{i=1}^{n} [/mm] i
Der Formeltafel entnehmen wir [mm] \summe_{i=1}^{k} [/mm] i = [mm] \bruch{(k+1)k}{2}
[/mm]
(Dies muss ich ersteinmal so hinnehmen, da nicht angegeben ist mit welcher Formeltafel hier gearbeitet wird.)
,dann folgt
E(X) = [mm] x_{1} [/mm] + [mm] \bruch{c}{n} \bruch{n(n-1)}{2}
[/mm]
(So dies ist nun der erste Schritt, denn ich nicht nachvollziehen kann, wie komme ich von [mm] \bruch{(k+1)k}{2} [/mm] zu [mm] \bruch{n(n-1)}{2} [/mm] ?)
= [mm] x_{1} \bruch{c(n-1)}{2}
[/mm]
= [mm] x_{1} \bruch{1}{2} (x_{n} [/mm] - [mm] x_{1})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} (x_{1} [/mm] + [mm] x_{n})
[/mm]
(Hier liegt mein nächstes Problem; wie komme ich von [mm] x_{1} \bruch{1}{2} (x_{n} [/mm] - [mm] x_{1}) [/mm] auf [mm] \bruch{1}{2} (x_{1} [/mm] + [mm] x_{n}).
[/mm]
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:16 Mo 30.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Es handelt sich hierbei nicht um eine Aufgabe, sondern um
> eine "Formelerklärung" aus meinem Arbeitsheft, bei der ich
> einige Schritte nicht nachvollziehen kann.
> Wir Berechnen den Erwartungswert gleichmäßig verteilter
> Zufallsgrößen :
> E(X) = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n} x_{1}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} (x_{1}[/mm] + (i-1)c)
> = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] (n [mm]x_{1}[/mm] + c (1+2+...+(n-1)))
> = [mm]x_{1}[/mm] + [mm]\bruch{c}{n} \summe_{i=1}^{n}[/mm] i
>
> Der Formeltafel entnehmen wir [mm]\summe_{i=1}^{k}[/mm] i =
> [mm]\bruch{(k+1)k}{2}[/mm]
> (Dies muss ich ersteinmal so hinnehmen, da nicht angegeben
> ist mit welcher Formeltafel hier gearbeitet wird.)
Das ist die Summenformel für die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis k, diese ist bei ![[]](/images/popup.gif) Arndt Brünner gut erklärt.
[mm] $\summe_{i=1}^{k}i=1+2+3+\ldots+(k-1)+k
[/mm]
>
> ,dann folgt
> E(X) = [mm]x_{1}[/mm] + [mm]\bruch{c}{n} \bruch{n(n-1)}{2}[/mm]
>
> (So dies ist nun der erste Schritt, denn ich nicht
> nachvollziehen kann, wie komme ich von [mm]\bruch{(k+1)k}{2}[/mm] zu
> [mm]\bruch{n(n-1)}{2}[/mm] ?)
In deiner Summe wurde bis zur Zahl n summiert, daher das n.
>
> = [mm]x_{1} \bruch{c(n-1)}{2}[/mm]
>
> = [mm]x_{1} \bruch{1}{2} (x_{n}[/mm] - [mm]x_{1})[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2} (x_{1}[/mm] + [mm]x_{n})[/mm]
>
> (Hier liegt mein nächstes Problem; wie komme ich von [mm]x_{1} \bruch{1}{2} (x_{n}[/mm]
> - [mm]x_{1})[/mm] auf [mm]\bruch{1}{2} (x_{1}[/mm] + [mm]x_{n}).[/mm]
Indem du ausmultiplizierst:
[mm] $x_{1}-\bruch{1}{2}\cdot(x_{n}-x_{1})$
[/mm]
[mm] $=x_{1}-\bruch{1}{2}x_{n}-\frac{1}{2}x_{1}$
[/mm]
[mm] $=-\bruch{1}{2}x_{n}+\frac{1}{2}x_{1}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}x_{1}-\bruch{1}{2}x_{n}$
[/mm]
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> Ich bin für jede Hilfe dankbar.
>
>
Marius
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Hallo, ersteinmal danke für deine Hilfe.
Auf den zweiten Schritt hätte ich echt selbst kommen müssen, aber Statistik entmutigt mich wirklich.
Ich glaube meine erstes Problem war wohl schlecht formuliert.
Mir ist schon klar warum ich mit n statt mit k weiterrechnen muss. Was mir nicht klar ist, ist warum ich (k+1) auf (n-1) komme.
[mm] \bruch{(k+1)k}{2}
[/mm]
[mm] \bruch{n(n-1)}{2}
[/mm]
Also das Minus; mit der Umstellung des Multiplikand kann das doch nichts zu zuen haben? Oder sehe ich auch hier den Wald vor läuter Bäumen nicht?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Di 31.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du bis k summierst hast du die summe $ [mm] \bruch{(k+1)k}{2} [/mm] $
jetzt summierst du aber nicht bis n, sondern bis n-1 musst also für k= n-1 einsetzen
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Di 31.01.2012 | | Autor: | Windbeutel |
Danke dir für deinen Hinweis.
Eigendlich ganz logisch.
Grüße
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