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| Aufgabe | Es sei M eine nicht reguläre n x n-Matrix. Zu M existiert eine äquivalente Matrix [mm]\tilde M[/mm] der Form
[mm]\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 \ 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \dots & \vdots & 0 \cdots & 1 \\
0 &\cdots & 0 \cdots & 0
\end{bmatrix}[/mm]
i) Existiert ein [mm]s\in\IN[/mm],so dass [mm]\tilde M^s[/mm] die Nullmatrix ist?
ii) Existiert ein [mm]s\in\IN[/mm],so dass [mm]M^s[/mm] die Nullmatrix ist?
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Hallo,
ich sitze gerade an dieser Aufgabe und komme irgendwie gar nicht weiter.
Den einzigen Tipp, der zu der Aufgabe gegeben wurde ist, die Frage, "wie oft man die obige Matrix mit sich selbst multiplizieren muss, bis man die Nullmatrix rausbekommt"
Damit habe ich zwar einen Ansatz, aber leider keinen Plan, wie ich an die Aufgabe rangehen soll?!
Wäre nett, wenn mir jemand bei meinem kleinen Matheproblem helfen könnte.
Lg
zimtschnecke
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> Es sei M eine nicht reguläre n x n-Matrix. Zu M existiert
> eine äquivalente Matrix [mm]\tilde M[/mm] der Form
> [mm]\begin{bmatrix}
0 & \cdots & 0 \ 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \dots & \vdots & 0 \cdots & 1 \\
0 &\cdots & 0 \cdots & 0
\end{bmatrix}[/mm]
>
> i) Existiert ein [mm]s\in\IN[/mm],so dass [mm]\tilde M^s[/mm] die Nullmatrix
> ist?
>
> ii) Existiert ein [mm]s\in\IN[/mm],so dass [mm]M^s[/mm] die Nullmatrix ist?
>
>
> Hallo,
>
> ich sitze gerade an dieser Aufgabe und komme irgendwie gar
> nicht weiter.
> Den einzigen Tipp, der zu der Aufgabe gegeben wurde ist,
> die Frage, "wie oft man die obige Matrix mit sich selbst
> multiplizieren muss, bis man die Nullmatrix rausbekommt"
> Damit habe ich zwar einen Ansatz, aber leider keinen Plan,
> wie ich an die Aufgabe rangehen soll?!
> Wäre nett, wenn mir jemand bei meinem kleinen
> Matheproblem helfen könnte.
>
Hallo,
wenn ich keinen Plan habe, dann mache ich immer erstmal Experimente.
Ich würde jetzt mal einen Schwung verschiedener Matrizen [mm] \tilde [/mm] M nehmen, und einfach mal probieren, was passiert, wenn ich solche Matrizen mit sich selbst multipliziere.
Aus den Erkenntnissen könnte man dann schonmal eine Behauptung entwickeln.
Gruß v. Angela
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also ich hab das mal ausprobiert mit den Matrizen und komme auf keine Nullmatrix, aber wie zeige ich das jetzt
oder reicht hierbei einfach nur ein gegenbeispiel?
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Hallo
Ich weiß auch nicht wie man das genau zeigt, aber es handelt sich um
nilpotente endomorphismen , die sich stets bzgl einer basis als eine solche matrix darstellen lässt , wie du sie hast. es gibt übrigens eine nat, zahl n , sodass [mm] M^n [/mm] die Nullmatrix ist. Vllcht hilft dir das ja .
Gruß
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Ja, das mit dem nilpotent war mir schon fast klar, aber ich hätte jetzt nur den Beweis für eine echte obere dreiecksmatrix, aber die hab ich ja nicht. Könnte ich das dann trotzdem darüber zeigen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:15 Mo 18.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> Ich weiß auch nicht wie man das genau zeigt, aber es
> handelt sich um
> nilpotente endomorphismen ,
Bingo ! Wie sieht also jeweils das charakteristische Polynom aus ? Was sagt der Satz von Cayley-Hamiltom dazu ?
FRED
> die sich stets bzgl einer basis
> als eine solche matrix darstellen lässt , wie du sie hast.
> es gibt übrigens eine nat, zahl n , sodass [mm]M^n[/mm] die
> Nullmatrix ist. Vllcht hilft dir das ja .
>
> Gruß
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> also ich hab das mal ausprobiert mit den Matrizen und komme
> auf keine Nullmatrix, aber wie zeige ich das jetzt
> oder reicht hierbei einfach nur ein gegenbeispiel?
Hallo,
mich würde mal interessieren, mi welchen Matrizen Du probiert hast.
Gruß v. Angela
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naja erstam nur mit der matrix von aufgabe i) und da bekomme ich keine Nullmatrix raus
für aufgabe ii) würde es schon gehn, denke ich, außer ich habe mich sehr verrechnet
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> naja erstam nur mit der matrix von aufgabe i) und da
> bekomme ich keine Nullmatrix raus
> für aufgabe ii) würde es schon gehn, denke ich, außer
> ich habe mich sehr verrechnet
Hm. Vielleicht verstehe ich diese Matrizen nicht...
Das ist doch eine nxn-Matrix? Und rechts oben eine kleine Einheitsmatrix? Wie groß soll die sein?
Gruß v. Angela
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das wurde nicht vorgegeben wie groß die sein soll
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> das wurde nicht vorgegeben wie groß die sein soll
Hast Du mit verschiedenen Größen gespielt?
Mich wundert, daß Du nie die Nullmatrix bekommst.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 So 17.01.2010 | | Autor: | Lyrn |
Man muss doch einfach nur [mm] M^{n} [/mm] rechnen, wobei n=Rg(M)+1 ist.
Dadurch verschiebt sich der Einheitsvektor um n Stellen nach rechts bis keine 1 mehr vorhanden sind und wir die Nullmatrix haben.
Oder nicht?
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> Man muss doch einfach nur [mm]M^{n}[/mm] rechnen, wobei n=Rg(M)+1
> ist.
> Dadurch verschiebt sich der Einheitsvektor um n Stellen
> nach rechts bis keine 1 mehr vorhanden sind und wir die
> Nullmatrix haben.
>
> Oder nicht?
Hallo,
ja eben, außer wenn man vollen Rang hat, also die Einheitsmatrix.
Deshalb bin ich ja so verwundert.
Gruß v. Angela
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oh, hoppla
ihr habt recht, hab mich leider ein klein wenig verrechnet bei meinen Matrizen. tut mir furchtbar leid *sry*
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 So 17.01.2010 | | Autor: | Lyrn |
Die Frage ist jetzt nur: Wie beweise ich das?
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Kann man vielleicht das ganze wie folgt beweisen?
Sei A = [mm] $a_{ij}\in\M$(n [/mm] x n;K) mit [mm] $a_{ij}$=0 [/mm] für [mm] i$\ge$j. [/mm]
Hilsbehauptung:
Für [mm] $A^m$ =:$B_m$= ($b_{ij}^m$) [/mm] gilt [mm] $b_{ij}^m$ [/mm] = 0 für [mm] i$\ge$j+1-m [/mm] für alle [mm] $m\in\IN$ [/mm] außer{0} .
Der Beweis wird über Induktion über m durchgeführt.
Für m=1 ergibt sich die Voraussetzung in neuer Form.
Angenommen die Voraussetzung sei für m bereits gezeigt. Dann gilt:
[mm] $B_{m+1}= A^{m+1}= A^m [/mm] * A = [mm] B_m [/mm] * A$
daraus folgt:
[mm] $b_{ij}^m$ [/mm] = 0 für i>j-m [mm] $\gdw$ i$\ge$j+1-m
[/mm]
Nachdem der Hilfssatz nun bewiesen wurde, gilt für den Spezialfall
m=n+1 gerade (j+1)-(n+1)= [mm] j-n$\le$0, [/mm] damit ist [mm] i$\ge$j+1-m [/mm] stets gegeben,
[mm] $B_{n+1}$ [/mm] ist somit die Nullmatrix.
Ich weiß nicht, ob ich die ii) von meiner Aufgabe damit beweisen kann. Wäre toll, wenn jemand von euch mir da helfen könnte
Gruß
zimtschnecke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Di 19.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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