Ermittlung Tangentengleichung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:17 So 08.01.2006 | | Autor: | trollhorn |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Funktion f mit f(x) = [mm] 1/6x^3 [/mm] - [mm] 1/2x^2 [/mm] - 3/2x + 9/2
Der Graph von f berührt die x-Achse in N(3/0).
Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente t an den Graphen von f durch die 1.Nullstelle der Funktion f. |
Erstmal einen guten Morgen =)...
Hab' gestern schon das Problem gepostet, komm' aber einfach net voran...
hier mal ein Ansatz von mir:
t(x)=mx+b
t(3) = 0
m*3+b=0
Denke, das könnte soweit schon mal stimmen *hoff*... nun meine
Frage:
Existiert an N ein Wendepunkt?
Besitzt die Tangente an der Nullstelle N dieselbe Steigung wie f?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 So 08.01.2006 | | Autor: | Disap |
> Gegeben ist eine Funktion f mit f(x) = [mm]1/6x^3[/mm] - [mm]1/2x^2[/mm] -
> 3/2x + 9/2
>
> Der Graph von f berührt die x-Achse in N(3/0).
>
> Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente t an den Graphen
> von f durch die 1.Nullstelle der Funktion f.
> Erstmal einen guten Morgen =)...
Guten Morgen.
Zunächst einmal eine Vorab-Information an alle - Es handelt sich ursprünglich um diesen Thread.
> Hab' gestern schon das Problem gepostet, komm' aber einfach
> net voran...
> hier mal ein Ansatz von mir:
>
> t(x)=mx+b
> t(3) = 0
> m*3+b=0
Ja, das wurde ja bereits von Loddar angesprochen. Und zwar heißt es in der Aufgabenstellung: "von f durch die 1.Nullstelle der Funktion f." Nun bin ich mir ebenfalls nicht so sicher, ob die 1. Nullstelle auch die bei [mm] x_{n}=3 [/mm] ist. Ich würde auch eher in die andere Richtung tendieren, nämlich zu der Nullstelle, die du noch nicht ermittelt hast.
> Denke, das könnte soweit schon mal stimmen *hoff*... nun
Angenommen, du sollst wirklich an der Stelle x=3 eine Tangente anlegen, dann bringt dir der Schritt:
m*3+b=0
eigentlich recht wenig (Oups, siehe unten). Denn die Steigung der Tangente ist die selbe wie die Steigung am Graphen f(x). Also lautet die Tangentengleichung (für [mm] x_{n}=3 [/mm] - wenn es die sein sollte)
y=f'(3)x+b
Und nun hast du nur noch eine Unbekannte, das b. Aber das kannst du lösen, indem du den Punkt hast [mm] N_{1} [/mm] (3|0).
> meine
> Frage:
>
> Existiert an N ein Wendepunkt?
An N? Meinst du damit die Nullstelle x=3? In der ersten Aufgabenstellung (siehe Ursprungsthread) steht doch schon, dass sich dort ein Extremum befindet.
> Besitzt die Tangente an der Nullstelle N dieselbe Steigung
> wie f?
>
Die Frage habe ich ja schon geklärt, ist aber richtig!
Zum Oups:
m*3+b=0
Dann wäre die Bedingung mit diesem Wissen
f'(3)*3+b=0
und das würde natürlich wieder weiterhelfen.
Viele Grüße
Disap
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 10:44 So 08.01.2006 | | Autor: | trollhorn |
Na, dann probier' ich's doch gleich mal aus:
Angenommen, N = 1.Nullstelle...
y = mx + b
m = f'(3) = -1/2*9 -3 -3/2 = -9/2 - 3 - 3/2 = -6 - 3= -9
=> y = -9x + b
Nullstelle einsetzen
-9*3 + b = 0 => b = 27 => y = -9x + 27
Korrekt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 So 08.01.2006 | | Autor: | trollhorn |
Okay, soweit einleuchtend... eine letzte Frage noch: Was ist denn jetzt die 1.Nullstelle? Bedeutet die 'erste Nullstelle' die mit dem kleinsten x Wert, oder die, die ich bei der Berechnung der Nullstellen als erstes herausbekomme?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 So 08.01.2006 | | Autor: | Disap |
> Okay, soweit einleuchtend... eine letzte Frage noch: Was
> ist denn jetzt die 1.Nullstelle? Bedeutet die 'erste
> Nullstelle' die mit dem kleinsten x Wert, oder die, die ich
> bei der Berechnung der Nullstellen als erstes
> herausbekomme?
Also ich würde mal vom Gefühl her ausschließen, dass die erste Nullstelle die ist, die man zu erst berechnet.
Was wäre dann die erste Nullstelle von [mm] x^2 [/mm] - 1?...Also tendiere ich für den kleinsten X-Wert, wobei das jetzt problematisch ist, denn die Funktion geht ja für x-> [mm] \infty [/mm] ins + Unendliche. Was wäre denn, wenn sie für [mm] -\infty [/mm] ins +Unendliche gehen würde und die Funktion quasi bei x=-3 das Extrema hätte? Wäre das dann noch die erste Nullstelle? Glaube ich nicht. (Ich rede lediglich von "glaube", nicht wissen  ).
Warum man allerdings in diesem Fall ausschließen kann, dass die Nullstelle bei x=3 gemeint ist, ist weil dort eine doppelte Nullstelle liegt!
Was wierdum bedeutet, dass du [mm] (x-3)^2 [/mm] bei der Funktion f(x) ausklammern kannst, was hier der Fall ist, es ergibt sich für f(x)
f(x) = [mm] \bruch{1}{6}(x+3)(x-3)^2
[/mm]
Disap
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