Ermittlung der Intervallsgrenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Sa 01.02.2014 | | Autor: | nero08 |
Sei c [mm] \in \IR_{>0} [/mm] und die Fixpunktiteration x = Fc(x) mit
Fc : [mm] \IR_{>0} \to \IR; [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{1}{x^3} [/mm] + x + [mm] \bruch{1}{c}
[/mm]
zur Berechnung der Quadratwurzel [mm] \sqrt{c} [/mm] gegeben. Geben Sie ein Intervall [a; b] [mm] \subset \IR [/mm] a<v an auf dem die Iterationsfunktion Fc kontrahierend ist und berechnen Sie die Lipschitz Konstante [mm] L_{a;b} [/mm] in Abhängigkeit von den Intervallgrenzen.
Ich habe mithilfe der Lipschitzstigkeit und des MWS mal das Intervall gefunden auf welchem Fc kontrahierend ist. Es lautet: (1,oo).
Nun muss ich noch a und b ermitteln. Allerdings habe ich für c ja keinen Wert gegeben. Also kann es jede bel. Zahl annehmen. Ich hätte jetzt mal a=1,1 und b=oo. Kann mir aber nicht vorstellen, dass das stimmt. Wie finde ich die richtigen Werte?
danke und lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Sa 01.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Sei c [mm]\in \IR_{>0}[/mm] und die Fixpunktiteration x = Fc(x) mit
> Fc : [mm]\IR_{>0} \to \IR;[/mm] x [mm]\mapsto \bruch{1}{x^3}[/mm] + x +
> [mm]\bruch{1}{c}[/mm]
> zur Berechnung der Quadratwurzel [mm]\sqrt{c}[/mm] gegeben. Geben
> Sie ein Intervall [a; b] [mm]\subset \IR[/mm] a<v an auf dem die
Du meinst sicher $a<c$.
> Iterationsfunktion Fc kontrahierend ist und berechnen Sie
> die Lipschitz Konstante [mm]L_{a;b}[/mm] in Abhängigkeit von den
> Intervallgrenzen.
>
> Ich habe mithilfe der Lipschitzstigkeit und des MWS mal das
> Intervall gefunden auf welchem Fc kontrahierend ist. Es
> lautet: (1,oo).
Es ist offensichtlich, dass das Intervall [mm] I:=[a,b]\subset\IR_{>0} [/mm] sein muss,
denn nur dafür ist die Fixpunktiteration bzw. die Wurzelfunktion definiert.
Das Problem an der Aufgabestellung ist,
dass durchaus folgendes gelten könnte:
$a<b<c$
Schön wäre natürlich, wenn wir wüssten, dass folgendes gilt:
$a<c<b$
> Nun muss ich noch a und b ermitteln. Allerdings habe ich
> für c ja keinen Wert gegeben. Also kann es jede bel. Zahl
> annehmen. Ich hätte jetzt mal a=1,1 und b=oo. Kann mir
> aber nicht vorstellen, dass das stimmt. Wie finde ich die
> richtigen Werte?
Insgesamt verstehe ich nicht was du dort gemacht hast.
Du musst ein Intervall [mm] I_0 [/mm] angeben,
sodass das Verfahren gegen [mm] \sqrt{c} [/mm] konvergiert.
Beachte, dass es sich hier nicht direkt um ein Nullstellenproblem handelt!
Du kannst wie folgt vorgehen:
1. Gebe ein Intervall [mm] I_0 [/mm] vor.
2. Überprüfe die Vorraussetzung des Banachschen Fixpunktsatzes.
Tipp: Wähle [mm] $a,b\in\IR_{>0}$ [/mm] mit $f(a)<0$ bzw. f(b)>0.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Sa 01.02.2014 | | Autor: | nero08 |
> Hallo,
>
>
DA HAT SICH AUCH EIN TIPPFEHLRE EINGESCHLICHEN:
> > Sei c [mm]\in \IR_{>0}[/mm] und die Fixpunktiteration x = Fc(x) mit
> > Fc : [mm]\IR_{>0} \to \IR;[/mm] x [mm]\mapsto \bruch{1}{x^3}[/mm] + x +
> > [mm]\bruch{1}{c}[/mm]
> > zur Berechnung der Quadratwurzel [mm]\sqrt{c}[/mm] gegeben.
Fc : [mm]\IR_{>0} \to \IR;[/mm] x [mm]\mapsto \bruch{1}{x^2}[/mm] + x +
> > [mm]\bruch{1}{c}[/mm]
müsste es heißen!
> Geben
> > Sie ein Intervall [a; b] [mm]\subset \IR[/mm] a<v an auf dem die
>
> Du meinst sicher [mm]a
Mist vertippt [mm]a
>
> > Iterationsfunktion Fc kontrahierend ist und berechnen Sie
> > die Lipschitz Konstante [mm]L_{a;b}[/mm] in Abhängigkeit von den
> > Intervallgrenzen.
> >
> > Ich habe mithilfe der Lipschitzstigkeit und des MWS mal das
> > Intervall gefunden auf welchem Fc kontrahierend ist. Es
> > lautet: (1,oo).
>
> Es ist offensichtlich, dass das Intervall
> [mm]I:=[a,b]\subset\IR_{>0}[/mm] sein muss,
> denn nur dafür ist die Fixpunktiteration bzw. die
> Wurzelfunktion definiert.
>
> Das Problem an der Aufgabestellung ist,
> dass durchaus folgendes gelten könnte:
>
> [mm]a
>
> Schön wäre natürlich, wenn wir wüssten, dass folgendes
> gilt:
>
> [mm]a
>
> > Nun muss ich noch a und b ermitteln. Allerdings habe ich
> > für c ja keinen Wert gegeben. Also kann es jede bel. Zahl
> > annehmen. Ich hätte jetzt mal a=1,1 und b=oo. Kann mir
> > aber nicht vorstellen, dass das stimmt. Wie finde ich die
> > richtigen Werte?
>
> Insgesamt verstehe ich nicht was du dort gemacht hast.
>
> Du musst ein Intervall [mm]I_0[/mm] angeben,
> sodass das Verfahren gegen [mm]\sqrt{c}[/mm] konvergiert.
okay, das hab ich gemacht:
| Fc(x) - Fc(y)| = |Fc'(s)||x-y| für s [mm] \in [/mm] (x,y)
|Fx'(s)| = |-2s^-3 + 1| < 1 (da kontrahierend)
F1: -2s^-3 + 1 > 0
-3s^-3 + 1 < 1
s^-3 > 0
[mm] 1/s^4 [/mm] > 0
F2: -2s^-3 + 1 < 0
2s^-3 - 1 < 1
1 < [mm] s^3
[/mm]
1 < s
=> Fc auf (1, oo) kontrahierend
>
> Beachte, dass es sich hier nicht direkt um ein
> Nullstellenproblem handelt!
>
> Du kannst wie folgt vorgehen:
>
> 1. Gebe ein Intervall [mm]I_0[/mm] vor.
okay wähle a=1,1 (also f(a) <0) und b=2 (also f(b) >0)
> 2. Überprüfe die Vorraussetzung des Banachschen
> Fixpunktsatzes.
Vorrausetzung ? hmm, könnte mich nicht erinnern, dass wir das mal gemacht haben in der Übung. auch bei der Vo find eich nichts. Was wäre denn diese?
wir haben meist nun das [mm] L_{a,b} [/mm] berechnet:
[mm] L_{a,b} [/mm] = max {|F'(1,1)|, | F'(2)|} = max{0,5026; 0,75} = 0,75
>
> Tipp: Wähle [mm]a,b\in\IR_{>0}[/mm] mit [mm]f(a)<0[/mm] bzw. f(b)>0.
>
>
> Gruß
> DieAcht
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 So 02.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Hier ist ziemlich viel durcheinander gegangen,
deshalb will ich das nochmal verdeutlichen.
Vielleicht habe ich die Aufgabe auch nicht verstanden,
aber deine Annahmen sind meiner Ansicht nach falsch.
Es geht um folgende Funktion:
[mm] F_c:\IR_{>0}\to\IR [/mm] mit [mm] F_c(x)=\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{c} [/mm] und [mm] c\in\IR_{>0}
[/mm]
Du sollst ein geeignet Startintervall [mm] $I_0:=[a,b]\subset\IR$ [/mm] mit $a<b$ angeben,
sodass das Verfahren gegen [mm] $\sqrt{c}$ [/mm] konvergiert.
Im Grunde geht es um folgende Fixpunktiteration:
[mm] x_{n+1}:=F_c(x_n)-\sqrt{c}=\frac{1}{x^2_n}+x_n+\frac{1}{c}-\sqrt{c} [/mm] mit [mm] n\in\IN_0 [/mm] und [mm] c\in\IR_{>0}
[/mm]
Wegen [mm] D_{F_c} [/mm] gilt für [mm] $I_0$:
[/mm]
[mm] I_0=[a,b]\subset\IR_{>0}
[/mm]
Die Fixpunktiteration [mm] x_{n+1} [/mm] besteht aus zwei Komponenten:
[mm] f(x_n):=\frac{1}{x^2_n}+x_n [/mm] bzw. [mm] g(c):=\frac{1}{c}-\sqrt{c}
[/mm]
Das Ziel ist eine Nullstelle von [mm] x_{n+1} [/mm] zu erreichen.
Offensichtlich gilt:
[mm] $f(x_n)>0$ [/mm] für alle [mm] $x_n\in I_0$
[/mm]
Demnach muss für unser Ziel folgendes gelten:
[mm] $g(c)<0\Rightarrow [/mm] c>1$
Wir mussen uns nun ein geeignetes [mm] $I_0$ [/mm] überlegen,
sodass die Vorraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes gelten!
Zur Wiederholung:
Banachscher Fixpunktsatz in [mm] \IR^1:
[/mm]
[mm] f:D\to\IR, D\subseteq\IR
[/mm]
[mm] \alpha) [/mm] $D$ abgeschlossen.
[mm] \beta) $f(D)\subset [/mm] D$ (Selbstabbildung).
[mm] \gamma) [/mm] $f$ auf $D$ kontrahierend.
Im folgenden suchen wir ein geeignetes [mm] $I_0$.
[/mm]
Wir tasten uns dem Intervall an, indem wir ein
Vorzeichenwechseln der stetigen Funktion $f$ suchen.
Schnell wird klar, dass wir nicht für alle [mm] c\in\IR_{>1} [/mm] fündig werden.
Es gilt zum Beispiel für $c=4>1$:
[mm] F_4(x)=\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{4}-\sqrt{4}=\frac{1}{x^2}+x-\frac{7}{4}
[/mm]
Es existiert aber kein einziges [mm] x\in\IR_{>0} [/mm] mit
[mm] F_4(x)<\frac{7}{4}
[/mm]
Wenn wir allerdings ein hinreichend großes [mm] $c\in\IR_{>0}$ [/mm] wählen,
zum Beispiel $c=9>1$, dann gilt:
[mm] F_9(x)=\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{9}-\sqrt{9}=\frac{1}{x^2}+x-\frac{26}{9}
[/mm]
[mm] F_9(2)<0
[/mm]
[mm] F_9(3)>0
[/mm]
Ich habe in diesem Fall mit Absicht $c=9$ gewählt,
damit man damit besser rechnen kann!
Eigentlich müsste man zeigen, dass es ein [mm] $c_0\in\IR_{>1} [/mm] gibt,
sodass für alle [mm] $c\ge c_0$ [/mm] ein Intervall [mm] I_{0_{c}} [/mm] gibt,
sodass das Verfahren konvergiert.
Das Problem ist aber, dass [mm] $I_0$ [/mm] selbst hier nicht auf [mm] $I_0$ [/mm] abbildet.
Vielleicht hatte ich auch nur Pech, aber ich glaube,
dass hier etwas nicht stimmt.
Fakt ist:
Du musst als erstes ein [mm] I_0 [/mm] angeben und darauf
die Vorrausetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes überprüfen
und nicht andersrum!
Vielleicht übersehe ich auch etwas,
aber die Aufgabenstellung scheint so noch immer nicht zu stimmen.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 So 02.02.2014 | | Autor: | nero08 |
So hier nochmal. Ich glaub es hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen. sorry habe eine andere angabe umgeschrieben.
Sei c $ [mm] \in \IR_{>0} [/mm] $ und die Fixpunktiteration x = Fc(x) mit
Fc : $ [mm] \IR_{>0} \to \IR; [/mm] $ x $ [mm] \mapsto \bruch{1}{x^2} [/mm] $ + x - $ [mm] \bruch{1}{c} [/mm] $
zur Berechnung der Quadratwurzel $ [mm] \sqrt{c} [/mm] $ gegeben. Geben Sie ein Intervall [a; b] $ [mm] \subset \IR [/mm] $ a<b an auf dem die Iterationsfunktion Fc kontrahierend ist und berechnen Sie die Lipschitz Konstante $ [mm] L_{a;b} [/mm] $ in Abhängigkeit von den Intervallgrenzen.
Was mich halt verwirrt. Wir haben nie etwas mit selbabbildend oder so gezeigt. Nur die Schritte welche ich oben gezeigt habe.
Bei der Angabe in der Übung haten wir halt die 3.Wurzel aus c und folgende Funktion:
c $ [mm] \in \IR_{>0} [/mm] $ und die Fixpunktiteration x = Fc(x) mit
Fc : $ [mm] \IR_{>0} \to \IR; [/mm] $ x $ [mm] \mapsto \bruch{1}{x^3} [/mm] $ + x - $ [mm] \bruch{1}{c} [/mm] $
Nachdem das Intervall auf welchem Fc kontrahierend ist, gefunden wurde,dieses war:
( [mm] \wurzel[4]{\bruch{3}{2}}, \infty).
[/mm]
Kam als nächster Schritt wähle I=[1,5;2]
Und mir ist eben nicht klar, wie mann auf diese Intervallsgrenzen kommt, deshalb versuche ich es anhand des obigen besipiels zu verstehen :)
EDIT: Es steht bei der Aufgabe zwar noch im weiteren verlauf: geben sie damit eine a-priori und eine a-postori Fehlerabschätzung für die Berechnung der Kubikwurzel [mm] \wurzel[3]{7} [/mm] an mit dem Startwert x(0) = 2.
Aber dies verwende ich doch oben noch nicht, beim anderen bsp. gehlen mir ja auch die Infos...
lg
nero
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 So 02.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Das ist nun dein dritter Versuch deine Aufgabe hier
kontrolliert und ordentlich hinzuschreiben.
Wenn du die Theorie hinter dieser Aufgabe und der
Beispielaufgabe in deiner Übung nicht verstanden hast,
dann kann ich wirklich nicht nachvollziehen,
wieso du überhaupt versuchst die andere Aufgabe zu lösen.
Vom Schwierigkeitsgrad sollte es sehr analog sein.
Versuch also zunächst die Beispielaufgabe aus der Übung zu
verstehen und probiere dann erst deine Aufgabe zu lösen.
Ich empfehle dir deine Beispielaufgabe aus deiner Übung
hier komplett reinschreiben und deine Fragen klar und deutlich zu kennzeichnen,
dann können wir dir auch genauer helfen.
Zu deiner Frage am Ende kurz:
Auf die Intervallgrenzen kommt man in der Regel durch den Zwischenwertsatz.
Lies dir noch mal genau meinen Beitrag weiter oben durch.
Auch wenn deine Aufgabe falsch formuliert war und ich damit
keine direkten Intervalle angeben konnte,
sollte die Idee zum Auffinden eines Intervalls zu erkennen sein.
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 So 02.02.2014 | | Autor: | nero08 |
hey!
ja ZWS, jetzt hats klick gemacht, obwohl ich mich echt nicht erinnern könnte, dass, wir den angewendet hätten.
Also für das Ausgangsbeispiel:
a = 1,5
b= 2
es gilt zum einen:
[mm] 1/1,5^3 [/mm] + 1,5 - [mm] \wurzel[3]{7} [/mm] - 1/7 < 0
[mm] 1/2^3 [/mm] + 2- [mm] \wurzel[3]{7} [/mm] - 1/7 > 0
Des weiter ist a,b [mm] \in (\wurzel[4]{3/2}, \infty) [/mm] also ist das gewählte Intervall auch kontrahierend, weil es ja eine Teilmenge des gefundenen kontrahierenden Intervalles ist.
Weiters haben wir beim übungsbeispiel auch stehen:
[mm] \wurzel[3]{7} \in [/mm] [a,b]
ist dies auch wichtig?
nun für das neue beispiel: mit c=4
F(x) = 1/x² + x -1/4 - [mm] \sqrt(4)
[/mm]
F(1,1) <0
F(2,1)> 0
a=1,1
b=2,1
a,b [mm] \in [/mm] (1, [mm] \infty) [/mm]
sqrt(4) [mm] \in [/mm] [a,b]
also I = [1,1;2,1]
ja dann setzte ich diese werte noch in F' ein und habe mein L.
okay so? ist es eigentlich "egal" wie gut diese Schranken gewählt werden?
danke und lg :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 So 02.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> hey!
>
> ja ZWS, jetzt hats klick gemacht, obwohl ich mich echt
> nicht erinnern könnte, dass, wir den angewendet hätten.
Auch wenn das nun ein wenig überhoben klingen mag,
kann ich mir gut vorstellen, dass du kein Mathematikstudent bist
und euch nur ein "Algorithmus" zur Berechnung solcher Aufgaben,
ohne tiefere Erklärung, gegeben wird.
> Also für das Ausgangsbeispiel:
Hier musste ich leider (wieder) die Aufgabenstellung nachgucken,
denn diese hast du (mal wieder) nicht hingeschrieben.
Die Abbildung
[mm] F:\IR_{>0}\to\IR, F_c(x):=\frac{1}{x^3}+x-\frac{1}{c} [/mm] mit [mm] c\in\IR_{>0}
[/mm]
soll gegen [mm] \sqrt[3]{c} [/mm] konvergieren.
Dazu betrachtest du
[mm] x_{n+1}:=\frac{1}{x_n^3}+x_n-\frac{1}{c}-\sqrt[3]{c} [/mm] mit [mm] c\in\IR_{>0} [/mm] und [mm] n\in\IN_0
[/mm]
> a = 1,5
> b= 2
Das ist die Behauptung des Startintervalls.
Ihr setzt [mm] I:=[a,b]=[\frac{3}{2},2]\subset\IR_{>0} [/mm] und wollt nun
die Voraussetzung des Banachschen Fixpunktsatzes überprüfen.
$I$ ist damit schon abgeschlossen!
Mich würde interessieren, weshalb ihr $c:=7$ setzt.
Vielleicht steht aber in der Aufgabenstellung,
dass ihr die Behauptung für ein festes $c$ zeigen sollt?
> es gilt zum einen:
> [mm]1/1,5^3[/mm] + 1,5 - [mm]\wurzel[3]{7}[/mm] - 1/7 < 0
> [mm]1/2^3[/mm] + 2- [mm]\wurzel[3]{7}[/mm] - 1/7 > 0
Ich kürze im folgenden folgendes ab:
[mm] F_7(x):=f(x)
[/mm]
Im Grunde steht dort:
$f(a)<0$ bzw. $f(b)>0$
Damit folgt nach dem Zwischenwertsatz, dass es ein [mm] \xi\in(a,b) [/mm] gibt mit [mm] f(\xi)=0.
[/mm]
Das Problem ist aber, dass auch folgendes gilt:
[mm] $f(a),f(b)\notin [/mm] I$
Damit bilden wir nicht mehr von $I$ nach $I$ ab!
> Des weiter ist a,b [mm]\in (\wurzel[4]{3/2}, \infty)[/mm] also ist
> das gewählte Intervall auch kontrahierend, weil es ja eine
> Teilmenge des gefundenen kontrahierenden Intervalles ist.
Das macht keinen Sinn.
Es gilt:
[mm] $f'(x)=-\frac{3}{x^4}+1=0\gdw x\pm\sqrt[4]{3}\notin [/mm] I$
[mm] \Rightarrow f'(x)\not=0 [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] I$
> Weiters haben wir beim übungsbeispiel auch stehen:
> [mm]\wurzel[3]{7} \in[/mm] [a,b]
Das ist vielleicht richtig, aber bringt hier nichts.
> ist dies auch wichtig?
Ich denke nicht, dass das fertig ist.
Es gilt übrigens:
[mm] $f'(x)\le -\frac{3}{2^4}+1=\frac{13}{16}=:L<1
[/mm]
Woher kommen die Zahlen oben?
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 So 02.02.2014 | | Autor: | nero08 |
Hallo!
> Hallo,
>
>
> > hey!
> >
> > ja ZWS, jetzt hats klick gemacht, obwohl ich mich echt
> > nicht erinnern könnte, dass, wir den angewendet hätten.
>
> Auch wenn das nun ein wenig überhoben klingen mag,
> kann ich mir gut vorstellen, dass du kein
> Mathematikstudent bist
> und euch nur ein "Algorithmus" zur Berechnung solcher
> Aufgaben,
> ohne tiefere Erklärung, gegeben wird.
Lehramt...
>
> > Also für das Ausgangsbeispiel:
>
> Hier musste ich leider (wieder) die Aufgabenstellung
> nachgucken,
> denn diese hast du (mal wieder) nicht hingeschrieben.
>
> Die Abbildung
>
> [mm]F:\IR_{>0}\to\IR, F_c(x):=\frac{1}{x^3}+x-\frac{1}{c}[/mm] mit
> [mm]c\in\IR_{>0}[/mm]
>
> soll gegen [mm]\sqrt[3]{c}[/mm] konvergieren.
>
> Dazu betrachtest du
>
> [mm]x_{n+1}:=\frac{1}{x_n^3}+x_n-\frac{1}{c}-\sqrt[3]{c}[/mm] mit
> [mm]c\in\IR_{>0}[/mm] und [mm]n\in\IN_0[/mm]
>
> > a = 1,5
> > b= 2
>
> Das ist die Behauptung des Startintervalls.
> Ihr setzt [mm]I:=[a,b]=[\frac{3}{2},2]\subset\IR_{>0}[/mm] und
> wollt nun
> die Voraussetzung des Banachschen Fixpunktsatzes
> überprüfen.
> [mm]I[/mm] ist damit schon abgeschlossen!
> Mich würde interessieren, weshalb ihr [mm]c:=7[/mm] setzt.
> Vielleicht steht aber in der Aufgabenstellung,
> dass ihr die Behauptung für ein festes [mm]c[/mm] zeigen sollt?
>
> > es gilt zum einen:
> > [mm]1/1,5^3[/mm] + 1,5 - [mm]\wurzel[3]{7}[/mm] - 1/7 < 0
> > [mm]1/2^3[/mm] + 2- [mm]\wurzel[3]{7}[/mm] - 1/7 > 0
>
> Ich kürze im folgenden folgendes ab:
>
> [mm]F_7(x):=f(x)[/mm]
>
> Ich habe das nicht kontrolliert, aber im Grunde steht
> dort:
>
> [mm]f(a)<0[/mm] bzw. [mm]f(b)>0[/mm]
>
> Damit folgt nach dem Zwischenwertsatz, dass es ein
> [mm]\xi\in(a,b)[/mm] gibt mit [mm]f(\xi)=0.[/mm]
>
> Das Problem ist aber, dass auch folgendes gilt:
>
> [mm]f(a),f(b)\notin I[/mm]
>
> Damit bilden wir nicht mehr von [mm]I[/mm] nach [mm]I[/mm] ab!
>
> > Des weiter ist a,b [mm]\in (\wurzel[4]{3/2}, \infty)[/mm] also ist
> > das gewählte Intervall auch kontrahierend, weil es ja eine
> > Teilmenge des gefundenen kontrahierenden Intervalles ist.
>
> Das macht keinen Sinn.
Das versteh ich nicht, wir haben ja ermittelt, dass a,b auf [mm] (\wurzel[4]{3/2}, \infty)[/mm] kontrahierend ist, wieso sollte dies dann auf einem teilintervall nicht der fall sein?
>
> Es gilt:
>
> [mm]f'(x)=-\frac{3}{x^4}+1=0\gdw x\pm\sqrt[4]{3}\notin I[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f'(x)\not=0[/mm] für alle [mm]x\in I[/mm]
>
> > Weiters haben wir beim übungsbeispiel auch stehen:
> > [mm]\wurzel[3]{7} \in[/mm] [a,b]
>
> Das ist vielleicht richtig, aber bringt hier nichts.
>
> > ist dies auch wichtig?
>
> Ich denke nicht, dass das fertig ist.
Dann hätten wir das beispiel in der Übung falsch gelöst, weil es folgt nur noch die Ermittlung von L bzw. die Fehlerabschätzung. 'I' wird nicht weitergeprüft..
Ich weiß auch nicht wie ich $ [mm] f(a),f(b)\in [/mm] I $ erfüllen könnte. Da ja f(a) negativ ist. aber das von uns gefundenes Kontrahierendes Inntervall für Fc [mm] (\wurzel[4]{3/2}, \infty)[/mm] ist.
In der Angabe heißts ja:
Geben Sie ein Intervall [a; b] $ [mm] \subset \IR [/mm] $ a<b auf dem die Iterationsfunktion Fc kontrahierend ist und berechnen Sie
die Lipschitz Konstante $ [mm] L_{a;b} [/mm] $ in Abhängigkeit von den
Intervallgrenzen.
>
> Es gilt übrigens:
>
> [mm]$f'(x)\le -\frac{3}{2^4}+1=\frac{13}{16}=:L<1[/mm]
>
> Woher kommen die Zahlen oben?
Steht im beitrag weiter oben:
Geben sie damit eine a-priori und eine a-postori Fehlerabschätzung für die Berechnung der Kubikwurzel $ [mm] \wurzel[3]{7} [/mm] $ an mit dem Startwert x(0) = 2.
>
>
> Gruß
> DieAcht
lg und danke für die mühe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 So 02.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo nochmal,
Ich habe die Aufgabe nicht richtig gelesen.
Es geht nicht um die Konvergenz des ganzen Intervalls $I$.
Es geht hier wirklich nur um $L$.
Es gilt:
[mm] |f'(x)|=|-\frac{3}{x^4}+1|\le |-\frac{3}{2^4}+1|=\frac{13}{16}=:L [/mm] für alle $I$.
Damit sind wir fertig.
Tut mir leid für die Umstände!
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 So 02.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> nun für das neue beispiel: mit c=4
> F(x) = 1/x² + x -1/4 - [mm]\sqrt(4)[/mm]
> F(1,1) <0
> F(2,1)> 0
Auch hier gilt:
[mm] $F(1,1),F(2,1)\notin [/mm] F$
> a=1,1
> b=2,1
>
> a,b [mm]\in[/mm] (1, [mm]\infty)[/mm]
> sqrt(4) [mm]\in[/mm] [a,b]
Das ist wieder unklar!
> also I = [1,1;2,1]
Das geht ja nicht, denn analog zum ersten Beispiel gilt:
[mm] $F(I)\subset [/mm] I$
> ja dann setzte ich diese werte noch in F' ein und habe mein
> L.
>
>
> okay so? ist es eigentlich "egal" wie gut diese Schranken
> gewählt werden?
>
> danke und lg :)
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 So 02.02.2014 | | Autor: | nero08 |
hi
> Hallo,
>
>
> > nun für das neue beispiel: mit c=4
> > F(x) = 1/x² + x -1/4 - [mm]\sqrt(4)[/mm]
> > F(1,1) <0
> > F(2,1)> 0
>
> Auch hier gilt:
>
> [mm]F(1,1),F(2,1)\notin F[/mm]
>
> > a=1,1
> > b=2,1
> >
> > a,b [mm]\in[/mm] (1, [mm]\infty)[/mm]
> > sqrt(4) [mm]\in[/mm] [a,b]
>
> Das ist wieder unklar!
>
meinst du wie ich auf (1, [mm] \infty) [/mm] komme?
hab ich oben schon mal geschrieben:
| Fc(x) - Fc(y)| = |Fc'(s)||x-y| für s $ [mm] \in [/mm] $ (x,y)
|Fx'(s)| = |-2s^-3 + 1| < 1 (da kontrahierend)
F1: -2s^-3 + 1 > 0
-3s^-3 + 1 < 1
s^-3 > 0
$ [mm] 1/s^4 [/mm] $ > 0
F2: -2s^-3 + 1 < 0
2s^-3 - 1 < 1
1 < $ [mm] s^3 [/mm] $
1 < s
=> Fc auf (1, oo) kontrahierend
> > also I = [1,1;2,1]
>
> Das geht ja nicht, denn analog zum ersten Beispiel gilt:
>
> [mm]F(I)\subset I[/mm]
>
> > ja dann setzte ich diese werte noch in F' ein und habe mein
> > L.
> >
> >
> > okay so? ist es eigentlich "egal" wie gut diese Schranken
> > gewählt werden?
> >
> > danke und lg :)
>
>
> Gruß
> DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 So 02.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Hier hast du auch Recht.
Hier reicht übrigens auch folgende Aussage:
[mm] |f'(x)|=|1-\frac{2}{x^3}|<|1-\frac{2}{(2.1)^3}|<\frac{4}{5}=:L<1
[/mm]
Gruß
DieAcht
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 So 02.02.2014 | | Autor: | nero08 |
hi!
ach gott sei dank^^
Nur nochmal zur Sicherheit:
*) a,b ermittle ich mithilfe des ZWS?.
*) a,b müssen schon im gefundenen kontrahierenden Invtervall liegen?
*) wie "gut" a,b gewählt ist, ist nicht soooo relevant?
dankeschön :)
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 Mo 03.02.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> hi!
>
>
> ach gott sei dank^^
>
>
> Nur nochmal zur Sicherheit:
>
> *) a,b ermittle ich mithilfe des ZWS?.
Der Zwischenwertsatz hilft dir nur ein passendes Intervall $I$ zu wählen,
sodass du auf jeden Fall mindestens Nullstelle findest.
Wie du genau das Intervall wählst hängt von der Aufgabe ab.
Wenn es um Konvergenz geht ist es etwas schwieriger.
Davon bin ich leider die ganze Zeit ausgegangen.
> *) a,b müssen schon im gefundenen kontrahierenden
> Invtervall liegen?
Ja, auf jeden Fall.
> *) wie "gut" a,b gewählt ist, ist nicht soooo relevant?
Hauptsache es passt 
> dankeschön :)
>
> lg
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:10 Mo 03.02.2014 | | Autor: | nero08 |
Sehr gut! Danke nochmal für deine Mühe!
Wünsche dir eine gute Nacht :)
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