Ermittlung der Koordinaten < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 So 30.03.2008 | | Autor: | Post-it |
| Aufgabe | 1. Ermittle die Koordinaten der Punkte P und Q, die von A jeweils den Abstand d haben.
a) A(1|2|-2) und d=9
b) A(12|3|4) und d=2
2. Der Punkt P liegt z Einheiten von A in Richtung [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] entfernt. Ermittle die Koordinaten von P.
a) A(2|3), B(0|4), C(4|7) und Z=15
b) A(-1|2|3), B(3|-2|6), C(5|0|7) und z=8 |
Ich habe schon alles versucht um auf die Koordnaten zu kommen, aber ich komme einfach nicht auf eine Lösung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 So 30.03.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo,
> 1. Ermittle die Koordinaten der Punkte P und Q, die von A
> jeweils den Abstand d haben.
> a) A(1|2|-2) und d=9
> b) A(12|3|4) und d=2
Es gibt unendlich viele Punkte, welche von A den Abstand d haben.
Das ist nämlich genau die Kugel mit dem Mittelpunkt A und dem Radius d.
Also wenn das die komplette Aufgabenstellung ist,
ist die Aufgabe nicht eindeutig lösbar und du kannst dir einfach zwei Punkte suchen in dem du zu A einen beliebigen Vektor mit der Länge d addierst und subtrahierst, dadurch kommst du auf zu Punkte, welche von A den Abstand d haben.
> 2. Der Punkt P liegt z Einheiten von A in Richtung
> [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] entfernt. Ermittle die Koordinaten von
> P.
> a) A(2|3), B(0|4), C(4|7) und Z=15
> b) A(-1|2|3), B(3|-2|6), C(5|0|7) und z=8
Ich würde gerne wissen, WAS du versucht hast und wo dein Problem liegt.
Kannst du den Richtungsvektor [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] berechnen?
Kannst du diesen Richtungsvektor normieren. Das bedeutet einen Vektor erzeugen, welcher die selber Richtung hat, aber die Länge 1.
Kannst du zu A das z-fache dieses normierten Richtungsvektors addieren?
So ... die Fragen, darf man durchaus als kleines Rezept verstehen.
Viele Grüße,
Andi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 So 30.03.2008 | | Autor: | Post-it |
[mm] \overrightarrow{BC} [/mm] für a) [mm] \vektor{4 \\ -3}
[/mm]
b) [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm]
ich habe versucht den Einheitsvektor zu berechnen, aber da ich zwei bzw. drei Unbekannte habe, komme ich hier auch nicht weiter.
Könntest Du mir bitte eine Teilaufgabe vorrechnenn, sodass ich die Zweite selber rechnen kann?
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Hallo,
> [mm]\overrightarrow{BC}[/mm] für a) [mm]\vektor{4 \\ -3}[/mm]
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> b) [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> ich habe versucht den Einheitsvektor zu berechnen, aber da
> ich zwei bzw. drei Unbekannte habe, komme ich hier auch
> nicht weiter.
> Könntest Du mir bitte eine Teilaufgabe vorrechnenn, sodass
> ich die Zweite selber rechnen kann?
zu Aufgabe 2a):
Den Richtungsvektor der Gerade bekommst Du aus
$\overrightarrow{BC}=-\vec b + \vec c = -\vektor{0 \\ 4}+\vektor{4 \\ 7}=\vektor{4 \\ 3}$
Dann musst Du ihn noch normieren:
$\vec n = \vektor{\bruch{4}{5} \\ \bruch{3}{5}$
Jetzt kannst Du die Geradengleichung aufstellen:
$g=\vec A + z*\vec n= \vektor{2\\3}+\bruch{z}{5}*\vektor{4 \\ 3}$
Setzt Du nun z = 15 erhältst Du den Punkt
$P= \vektor{2\\3}+\bruch{15}{5}*\vektor{4\\3}=\vektor{14\\12}$
, so ich mich nicht verrechnet habe.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 So 30.03.2008 | | Autor: | Post-it |
> Dann musst Du ihn noch normieren:
>
> [mm]\vec n = \vektor{\bruch{4}{5} \\ \bruch{3}{5}[/mm]
>
Hi,
ich kapiere das normieren nicht. Das Verfahren leuchtet mir nicht ganz ein, ich verstehe nicht wie ihr auf [mm] \overrightarrow{n} [/mm] kommt.
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Hallo Post-it,
> > Dann musst Du ihn noch normieren:
> >
> > [mm]\vec n = \vektor{\bruch{4}{5} \\ \bruch{3}{5}[/mm]
> >
>
> Hi,
>
> ich kapiere das normieren nicht. Das Verfahren leuchtet mir
> nicht ganz ein, ich verstehe nicht wie ihr auf
> [mm]\overrightarrow{n}[/mm] kommt.
Nach dem Normieren hast Du einen Vektor vom Betrag 1:
[mm]\overrightarrow{n}=\bruch{1}{\vmat{\overrightarrow{BC}}} *\overrightarrow{BC}=\bruch{1}{\wurzel{4^{2}+3^{2}}}*\pmat{4 \\ 3}=\bruch{1}{5}*\pmat{4 \\ 3}=\pmat{\bruch{4}{5} \\ \bruch{3}{5}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 So 30.03.2008 | | Autor: | Post-it |
Ok, jetzt habe ich verstanden. Durch normieren bilde ich den Einheitsvektor. Oder?
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Hallo Post-it,
> Ok, jetzt habe ich verstanden. Durch normieren bilde ich
> den Einheitsvektor. Oder?
Durch normieren bildest Du einen Vektor vom Betrag 1.
Ich kann jeden Vektor, dessen Betrag > 0 ist, auf den Betrag 1 normieren.
Und der Einheitsvektor gehört eben dazu.
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 So 30.03.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo,
Martinius hat ja schon eine sehr schöne Antwort geschrieben.
Ich möchte nur noch ein paar Sachen zum "Normieren" beitragen.
Der Vektor [mm] \vektor{4 \\ 3} [/mm] hat die Länge [mm] |x|=\wurzel{x^2+y^2}=\wurzel{4^2+3^2}=5
[/mm]
Er soll aber die Länge 1 haben, deswegen den Vektor durch 5.
Also [mm] \bruch{1}{5}*\vektor{4 \\ 3}=\vektor{\bruch{4}{5} \\ \bruch{3}{5}}. [/mm]
Dieser Vektor hat die Länge 1 (wie du durch nachrechnen bestätigen kannst) aber immer noch die gleiche Richtung.
Viele Grüße,
Andi
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