Errechnen d Innenwinkel u Höhe < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Sa 10.09.2005 | | Autor: | Vicky89 |
Hallo!
Ich habe in einem Koordinatensystem ein Dreieck gegeben. Nun soll ich die Innenwinkel und die Höhe ausrechnen.
Kann mir jemand helfen und erklären wie ich vorgehen muss? Ich weiß nicht die ich das machen soll, wenn ich nur die Eckpunkte des Dreiecks gegeben habe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Sa 10.09.2005 | | Autor: | mana |
hallo, du hast doch die Eckpunkte durch Koordinaten gegeben oder? also kannst du doch leicht die Längen ausrechnen. nämlich durch Pythagoras. dann hast du alle Seiten a,b und c und mit dem Sinussatz kannst du dann die Innenwinkeln berechnen.
schau mal, ob du weiterkommst.
gruß Mana
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Sa 10.09.2005 | | Autor: | Vicky89 |
Hallo, erstmal danke für die Antwort ;)
Ja so über den Pythagoras hätte ich das auch gemach. Aber jemand aus meiner Klasse meinte, um die Innenwinkel auszurechnen müsste ich erstmal den winkel ausrechnen in dem die graphen das KO-System schneiden?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Sa 10.09.2005 | | Autor: | Athena |
Wenn du alle 3 Punkte (und damit die Strecken) hast kannst du doch einfach über den Cosinussatz direkt einen Winkel berechnen.
[mm] c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab*cos(\gamma)
[/mm]
Hast du erst mal einen Winkel sollten die anderen beiden nicht mehr das Problem sein. :)
Hoffe ich hab ein wenig geholfen
Gruß
Jessi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Sa 10.09.2005 | | Autor: | Vicky89 |
Danke, habs die Innenwinkel jetzt aber anders rausbekommen, indem ich wirklich die Steigungswinkel errechnet habe.
Denk die Höhe werd ich jetzt über den Pythagoras oder so ausrechnen.
Jetzt habe ich aber noch eine Frage.
Weiß jemand, wie ich die Funtkionsgleichungen von den Höhen rauskriege, wenn ich die Funktionsgleichungen der einzelnen Seiten des Dreiecks habe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Sa 10.09.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Vicky89,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Danke, habs die Innenwinkel jetzt aber anders rausbekommen,
> indem ich wirklich die Steigungswinkel errechnet habe.
Hier wäre es hilfreich gewesen, du hättest Euer aktuelles Unterrichtsthema genannt. Ich schätze, dass es sich um die in vielen Büchern bezeichnete "Koordinatengeometrie" handelt, die häufig in der 11. Klassen durchgenommen wird.
Hier werden (bereits bekannte) Zusammenhänge mit Hilfe von linearen Funktionen nach modelliert -- dadurch wird alles etwas umständlicher, denn die einfache Lösung ist tatsächlich die mit dem Kosinussatz, aber man wiederholt das Thema lineare Funktionen, das kurz darauf sehr wichtig werden wird (Differentialrechnung).
Bei deiner Aufgabe bildet man die Dreiecksseiten als lineare Funktionen nach; die Schnittpunkte der drei linearen Funktionen sind dann gerade die Eckpunkte des Dreiecks und die Schnittwinkel der Geraden sind die Innen- oder Außenwinkel des Dreiecks.
Den Schnittwinkel [mm] $\alpha$ [/mm] zweier linearer Funktionen kann man mit Hilfe der beiden Steigungswinkel [mm] $\alpha_1$, $\alpha_2$ [/mm] ausdrücken, und zwar gilt ja für die Steigungswinkel
[mm] $\tan \alpha_1=m_1$ [/mm] und [mm] $\tan \alpha_2=m_2$
[/mm]
[mm] ($m_1$ [/mm] und [mm] $m_2$ [/mm] sollen die Steigungen der beiden Funktionen sein.)
Es gilt dann: [mm] $\alpha=|\alpha_1-\alpha_2|$
[/mm]
Da zwei Winkel bei sich schneidenden Geraden entstehen (Nebenwinkel), nimmt man als Schnittwinkel immer denjenigen, der kleiner oder gleich $90°$:
Falls [mm] $\alpha>90°$ [/mm] ist der Schnittwinkel [mm] $180°-\alpha$.
[/mm]
So --nehme ich an-- hast du die Innenwinkel jetzt berechnet.
> Denk die Höhe werd ich jetzt über den Pythagoras oder so
> ausrechnen.
Das geht so ohne weiteres nicht.
> Jetzt habe ich aber noch eine Frage.
> Weiß jemand, wie ich die Funtkionsgleichungen von den
> Höhen rauskriege, wenn ich die Funktionsgleichungen der
> einzelnen Seiten des Dreiecks habe?
Nun, eine Höhe steht immer senkrecht auf der Dreiecksseite. Also mußt du die Gleichung einer Geraden aufstellen, die senkrecht zur Dreiecksseite liegt und durch den gegenüberliegenden Eckpunkt verläuft. Dies ist also ein einfaches Punkt-Steigungs-Problem.
Die Steigung der senkrechten Geraden erhältst du übrigens über diesen Zusammenhang:
Zwei Geraden mit den Steigungen [mm] $m_1$ [/mm] und [mm] $m_2$ ($m_1\not=0$, $m_2\not=0$) [/mm] stehen senkrecht genau dann, wenn [mm] $m_1*m_2=-1$ [/mm] gilt.
Hat z.B. die Gerade für die Dreiecksseite $c$ die Steigung [mm] $m_1$, [/mm] dann hat eine dazu senkrechte Gerade die Steigung [mm] $m_2=-\bruch{1}{m_1}$.
[/mm]
Kommst du nun weiter?
Viel Erfolg,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:07 So 11.09.2005 | | Autor: | Vicky89 |
Danke! =)
Ich habe den Schnittpunkt der Höhen jetzt ausgerechnet (ich hoffe es ist die richtige lösung).
Was unser Thema ist kann ich dir selber gar nicht so sagen, hatten jetzt erst das zweite mal mathe auf einer neuen schule. eigentlich hieß es wir würden erstmal nur wiederholen, aber keiner aus meiner Klasse hat das schonmal gerechnet. Allerdings denke ich auch mal, dass es was mit linearen Funktionen zu tun haben soll, weil wir das in der ersten stunde mal besprochen haben.
Aber wieso meinst du, dass ich die Länge der Seiten nicht über den Pythagoras ausrechnen kann??
und wo wir grade dabei sind... (hätte es eigentlich acuh in den ersten beitrag posten können, aber ich wollt erstmal den anfang verstehen..) wie komm ich nun auf den schnittpunkt der winkel- und seitenhalbierenden?
bei den winkelhalbierenden weiß ich ja nur, dass sie durch die eckpunkte des dreiecksverlaufen, aber sonst? und bei den seitenhalbierenden kenn ich doch eigentlich gar keinen weiteren punkt?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:14 So 11.09.2005 | | Autor: | Vicky89 |
oh, kann ich irgendwie editieren?? weiß natürlich, dass ich von den seitenhalbierenden doch einen punkt kenne... hab eben nicht dran gedacht dass die durch den gegenüberliegenden eckpunkt verlaufen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 So 11.09.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Vicky
Bei den Winkelhalbierenden kenst du doch den Winkel zu xAchse also die Steigung=tan(), so wie du sie ausgerechnet hast. Und den Eckpunkt auc. Also Punkt-Steigungsform.
Bei den Seitenhalbiernden kennst du 2Punkte, z.Bsp die Ecke C und den Mittelpunkt von AB. vielleicht ist der deine Schwierigkeit. Die Mitte zw, a und b auf der x-Achse ist [mm] \bruch{a+b}{2} [/mm] die Mitte einer schrägen Strecke, die x Koordinate des Mittelpunkts errechnest du als die Mitte dar x-Koord der Pkte, die y-KOO genauso!
hilft das?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 So 11.09.2005 | | Autor: | Vicky89 |
ah, danke, ich wusste nicht wie ich auf den mittelpunkt der seiten komme. konnte den schnittpunkt jetzt auch recht schnell ausrechnen.
aber bei den winkelhalbierenden komme ich absolut nicht weiter. ich bin schon die ganze zeit am überlegen, aber ich weiß nicht wie ich darauf kommen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 So 11.09.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Vicky89,
> ah, danke, ich wusste nicht wie ich auf den mittelpunkt
> der seiten komme. konnte den schnittpunkt jetzt auch recht
> schnell ausrechnen.
> aber bei den winkelhalbierenden komme ich absolut nicht
> weiter. ich bin schon die ganze zeit am überlegen, aber ich
> weiß nicht wie ich darauf kommen soll.
das erscheint mir auch schwieriger.
Ich habe mir dazu bisher folgendes überlegt:
[mm] $m_1$ [/mm] : Steigung der 1. (Dreiecksseiten-) Gerade
[mm] $m_2$ [/mm] : Steigung der 2. (Dreiecksseiten-) Gerade
Ich behandele mal nur den Fall, dass [mm] $m_1>0$, $m_2>0$ [/mm] und [mm] $m_2>m_1$ [/mm] (die restlichen müßtest du dir selbst überlegen).
Für die Steigungswinkel gilt [mm] $m_1=\tan\alpha_1$ [/mm] und [mm] $m_2=\tan\alpha_2$.
[/mm]
Für den Schnittwinkel [mm] $\alpha$:
[/mm]
[mm] $\alpha=\alpha_2-\alpha_1$
[/mm]
Nun schließt die Winkelhalbierende ja den Winkel [mm] $\bruch{\alpha}{2}$ [/mm] mit der 1. Gerade ein.
Man muß sich nun überlegen (ist ja nicht schwer), dass der Steigungswinkel der Winkelhalbierende dann [mm] $\alpha_1+\bruch{\alpha}{2}=\alpha_1+\bruch{\alpha_2-\alpha_1}{2}=\bruch{\alpha_1+\alpha_2}{2}$ [/mm] beträgt.
Damit kannst du dann die Steigung der Winkelhalbierenden berechnen, und da die Winkelhalbierende auch noch durch einen Eckpunkt des Dreiecks verläuft, ist die Geradengleichungen auch nicht schwierig zu finden. 
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mo 12.09.2005 | | Autor: | Vicky89 |
Hallo Marc!
ich bin auch schon darauf gekommen die steigung für die winkelhalbierende auszurechnen. hab ich auch schon für alpha gemacht. aber danach häng ich mal wieder, weil ich nicht auf die anderen steigungen komme...
MfG
Vicky
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:17 So 11.09.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Vicky89,
> Aber wieso meinst du, dass ich die Länge der Seiten nicht
> über den Pythagoras ausrechnen kann??
Die Längen der Dreiecksseiten kannst du natürlich mit dem Pythagoras berechnen, mein Einwand (der nicht wichtig war) bezog sich auf die Höhe des Dreiecks, die du nicht ohne weiteres mit dem Pythagoras berechnen kannst. In einem rechtwinkligen oder gleichschenkligem Dreieck könntest du die Höhe mit dem Pythagoras berechnen.
> und wo wir grade dabei sind... (hätte es eigentlich acuh in
> den ersten beitrag posten können, aber ich wollt erstmal
> den anfang verstehen..) wie komm ich nun auf den
> schnittpunkt der winkel- und seitenhalbierenden?
> bei den winkelhalbierenden weiß ich ja nur, dass sie durch
> die eckpunkte des dreiecksverlaufen, aber sonst? und bei
> den seitenhalbierenden kenn ich doch eigentlich gar keinen
> weiteren punkt?!
Das hat leduart nun beantwortet.
Viele Grüße,
Marc
P.S. Zu deiner anderen Frage: Ja, du kannst deine Beiträge editieren, siehe die Buttons unten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Sa 10.09.2005 | | Autor: | mana |
hallo Vicky also ich meinte eben den Cosinussatz nicht den Sinunssatz sorry, aber darauf wärst du auch gekommen, wenn du erstmal die Strecken ausgerechnet hättest.
also was dein Klassenkamarade meint würde auch gehen, aber ich habe es jetzt nicht durchgerechnet.
du müßtest allerdings erstmal 2 Geradengleichungen aufstellen. also
y=mx+b und dann den Innenwinkel ausrechnen. aber du brauchst nicht den Punkt, wo die Geraden das KO System schneiden, sondern
nehmen wir mal an, der Innenwinkel zwischen deinen beiden Geraden heißt [mm] \alpha [/mm] dann gilt:
tan [mm] \alpha= \bruch{m_2-m_1}{1+m_1m_2} [/mm] mit [mm] m_1m_2\not=-1 [/mm] (Formelsammlung)
wenn du den einen Winkel hast, werden die anderen ja nicht mehr schwierig sein.
und welche Methode machst du jetzt???
tan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:00 So 11.09.2005 | | Autor: | Vicky89 |
Habe die Innenewinkel jetzt über die Steigungswinkel mit tan [mm] \alpha [/mm] ausgerechnet. war dann gar nicht so schwer, wenn ich einen moment drüber nachgedfacht habe. aber so kurz nach den ferien muss ich jetzt erstmal wieder in mathe "reinkommen".
danke für deine antwort!
MfG
Vicky
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