Erstellen einer Funktion < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 So 20.01.2008 | | Autor: | Jules90 |
| Aufgabe | | Vom Graphen einer ganzrationales Funktion vierten Grades sind der Punkt P(0;2) und der lokale Minimumpunkt T(1;1) bekannt. Außerdem weiß man, das der achsensymmetrische zur y-Achse liegt. |
Bei uns im Matheunterricht geht es zur Zeit darum aus solchen oder ähnlichen Aufgaben ganzrationale Funktionen zu erstellen. Dazu braucht man (in diesem Falle) 5 verschiedene Eigenschaften zum erstellen der Funktion. Leider fehlt mir das Verständnis um alle diese Eigenschaften zu erkennen. Einige habe ich jedoch, so glaube ich zumindest  , herausgefunden:
P(0;2)
T(1;1)
F(-1;1) (da Achsensymmetrisch)
Damit kann man nun Folgende Gleichungen erstellen:
P(0;2) I 2=e
T(1;1) II 1=a+b+c+d+e
F(-1;1) III 1=a-b+c-d+e
So nun fehlen mir zum lösen der Aufgabe noch zwei Punkte, die ich nicht herausfinde.
Wie ich die Gleichungen dann zu einer Funktion umforme, indem ich nach bestimmten Varialben umstelle, weiß ich auch. Dies kann ich auch mit meinem Grafikfähigen Taschenrechner lösen.
Es wäre lieb, wenn mit jemand helfen kann, da ich echt nicht weiter weiß! Vielen Dank schonmal, Jule
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi Jule,
erst einmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") *smile* !!!
> Vom Graphen einer ganzrationales Funktion vierten Grades
> sind der Punkt P(0;2) und der lokale Minimumpunkt T(1;1)
> bekannt. Außerdem weiß man, das der achsensymmetrische zur
> y-Achse liegt.
Deine Herangehensweise ist völlig korrekt, aber ich würde das ganze etwas "üblicher" aufschreiben. Also, es gilt allgemeingültig ja die gesuchte ganzrationale Funktion vierten Grades, welche sich folgendermaßen darstellt:
f(x) = [mm] ax^{4} [/mm] + [mm] bx^{2} [/mm] +c
-> Dies ist so, weil in der Aufgabe die Bedingung gegeben ist, das die gesuchte Funktion achsensymmetrisch zur Y-Achse verläuft... soll heißen, es existieren nur "gerade" Exponenten in der allgemeinen Funktionsform. Somit benötigst du auch eben nicht die fünf Bedingungen, sondern nur die drei die du bereits hast !
Nun müssen wir, wie du schon richtigerweise angefangen hast, die Bedingungen aus der Aufgabe aufstellen, um das Gleichungssystem zu erstellen, finden:
P(0;2) -> f(0) = 2
T(1;1) -> f'(1) = 1
F(-1;1) -> f'(-1) = 1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") richtig: f(1)=1 [edit: informix]
Jetzt wie gehabt Gleichungssystem aufstellen, auflösen und fertig ist die gesuchte Funktion.
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
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Hi Jule,
> 1. Du machst, genau wie meine Lehrerin, bei manchen
> Eigenschaften diesen Ableitungsstrich da hin:
>
> T(1;1) -> f'(1) = 1
> F(-1;1) -> f'(-1) = 1
>
> Ich glaube, das hat keinen Einfluss auf die Lösung, aber
> wann macht man das denn???
Natürlich hat das Einfluss *g*! Also, wie du sicher weisst bedeutet f'(x), das es sich um die erste Ableitung der Funktion f(x) handelt. Also wenn ich dir die Bedningung f'(1) = 1 gebe, dann musst du natürlich dies berücksichtigen. Soll heißen, du musst die allgemeine Form (von mir bereits angegeben) auch einmal ableiten, und dann die Bedingung f'(1) = 1 umsetzen. Dann erst das Gleichungssystem erstellen, dann wird da auch ein Schuh draus *smile*...!
Liebe Grüße
Analytiker
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:18 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Jules90 |
Okay, ich glaub das hab ich verstanden. Davon hab ich zwar noch nie was gehört, aber das macht natürlich Sinn!
Also die Ableitung der allgemeinen Form ist als:
[mm] 4ax^{3}+2bx
[/mm]
So...jetz wieder einsetzen:
f(0)=2 I 2=c
f'(1)=1 II 1=4a+2b
f'(-1)=1 III 1=-4a-2b
So müsste das doch eigentlich aussehen??? Habe auch gerade Aufgaben gefunden bei denen die Werte in die jeweilige Ableitungsfunktion eingesetzt wurden...jetz weiß ich, wie ich mir die hohen Werte erklären kann ^^ das ist schon mal viel Wert, danke ^^
Aber zurück zur Aufgabe. Wenn ich diese Gleichungen in den Rechner eingebe erhalte ich keine Lösung...habe ich einen Denkfehler???
Und noch eine Frage habe ich...Woher weißt du, dass du die beiden Werte in die Ableitungsfunktion einsetzen muss?? Ich weiß nicht genau, woran man erkennt, das man die Ableitung anwenden muss!?
Es wäre lieb, wenn du mir noch einmal helfen könntest!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Jules90 |
Hey Infomix!
Okay...also war, so wie ich das jetzt verstanden habe, die letzte Gleichung falsch, bzw deren Eigenschaft überflüssig. Was jetz aber die dritte Eigenschaft sein soll weiß ich nicht so richtig, f'(1)=0 kann es doch nichz sein, weil das wieder die selbe Gleichung wie die andere wäre, nur mit anderem Ergebnis und das wäre ja Quatsch oder?????
Und wann und warum man die Ableitungsfunktion andwendet weiß ich leider auch noch nicht...hab eine Woche gefehlt und wohl ziemlich viel Hintergrundwissen verpasst wie es scheint...bin ein ganz klein wenig durcheinander...könnte mir bitte noch mal einer von euch helfen....das wäre nett =)
Viele Grüße
Sorry, habe die Antwort in der falschen Reihenfolge, aber irgendwie gings nicht anders...
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Hallo Jules90,
> Hey Infomix!
> Okay...also war, so wie ich das jetzt verstanden habe, die
> letzte Gleichung falsch, bzw deren Eigenschaft überflüssig.
> Was jetz aber die dritte Eigenschaft sein soll weiß ich
> nicht so richtig, f'(1)=0 kann es doch nichz sein, weil das
> wieder die selbe Gleichung wie die andere wäre, nur mit
> anderem Ergebnis und das wäre ja Quatsch oder?????
natürlich nicht: schließlich ist [mm] $f(x)\ne [/mm] f'(x)$ !!!
> Und wann und warum man die Ableitungsfunktion andwendet
> weiß ich leider auch noch nicht...hab eine Woche gefehlt
> und wohl ziemlich viel Hintergrundwissen verpasst wie es
> scheint...bin ein ganz klein wenig durcheinander...könnte
> mir bitte noch mal einer von euch helfen....das wäre nett
> =)
wir hatten bislang:
I: P(0;2) -> f(0) = 2
II: T(1;1) -> f(1) = 1
III: Tiefpunkt T(1;1) -> f'(1) = 0 weil die Steigung am Tiefpunkt stets 0 ist!
Ansatz: [mm] f(x)=ax^4+bx^2+c [/mm] also drei Unbekannte
[mm] f'(x)=4ax^3+2bx
[/mm]
damit:
I: P(0;2) -> f(0) = 2 = c
II: T(1;1) -> f(1) = 1 = a+b+c
III: Tiefpunkt T(1;1) -> f'(1) = 0 =4a+2b
den Rest solltest du jetzt aber schaffen...
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]")  Steckbriefaufgaben
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Jules90 |
Okay, jetz hab ich verstanden...wusste nicht ganz welches die dritte Gleichung ist. Habe also als Lösung [mm] f(x)=x^{4}-2x^{2}+2. [/mm] Sollte stimmen...schwere Geburt
also nochmals vielen Dank, Gruß Jule
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 17:12 Mo 21.01.2008 | | Autor: | informix |
Hallo Analytiker,
ich habe mich verklickt: deine Lösungshinweise sind teilweise falsch!
> Hi Jule,
>
> erst einmal herzlich *smile* !!!
>
> > Vom Graphen einer ganzrationales Funktion vierten Grades
> > sind der Punkt P(0;2) und der lokale Minimumpunkt T(1;1)
> > bekannt. Außerdem weiß man, das der achsensymmetrische zur
> > y-Achse liegt.
>
> Deine Herangehensweise ist völlig korrekt, aber ich würde
> das ganze etwas "üblicher" aufschreiben. Also, es gilt
> allgemeingültig ja die gesuchte ganzrationale Funktion
> vierten Grades, welche sich folgendermaßen darstellt:
>
> [mm] f(x)=ax^{4}+bx^{2}+c
[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") weil achsensymmetrische ganzrationale Funktion
>
> -> Dies ist so, weil in der Aufgabe die Bedingung gegeben
> ist, das die gesuchte Funktion achsensymmetrisch zur
> Y-Achse verläuft... soll heißen, es existieren nur "gerade"
> Exponenten in der allgemeinen Funktionsform. Somit
> benötigst du auch eben nicht die fünf Bedingungen, sondern
> nur die drei die du bereits hast !
>
> Nun müssen wir, wie du schon richtigerweise angefangen
> hast, die Bedingungen aus der Aufgabe aufstellen, um das
> Gleichungssystem zu erstellen, finden:
>
> P(0;2) -> f(0) = 2 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> T(1;1) -> f'(1) = 1
> F(-1;1) -> f'(-1) = 1
richtig:
T(1;1) -> f(1) = 1
F(-1;1) -> f(-1) = 1 ist aber überflüssig, weil nur gerade Exponenten in f sind.
Tiefpunkt T(1;1) -> f'(1) = 0 weil die Steigung am Tiefpunkt stets 0 ist!
Schau dir mal den Unterschied zwischen dem Funktionsterm f(x) und der Ableitung f'(x) genauer an!
Damit hast du die gesuchten 3 Gleichungen für die drei Koeffizienten...
Gruß informix
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