Erwartete Anzahl d. Ereignisse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Mi 26.03.2008 | | Autor: | kallisti |
| Aufgabe | | Es gibt X Knöpfe, wobei Y dieser Knöpfe rot gefärbt sind. Weiters gibt es Z Personen. In jeder Zeiteinheit drückt jede Person einen zufälligen Knopf. Wieviele Personen haben nach der Zeiteinheit T zumindest einen roten Knopf gedrückt. |
Das Problem das ich bei diesem Beispiel habe ist wie ich die einzelnen Wahrscheinlichkeiten mit der erwarteten Anzahl an Personen verknüpfe.
Ich habe bisher zwei unterschiedliche Ansätze verfolgt:
1.) P für eine einzelne Person in einer einzelnen Zeiteinheit ist [mm] \bruch{Y}{X}. [/mm] P in T Zeiteinheiten sollte daher 1 - (1 - [mm] \bruch{Y}{X})^T [/mm] sein. Aber wie kann man eine Verbindung zwischen den Wahrscheinlichkeiten und der erwarteten Anzahl der gedrückten roten Knöpfe herstellen?
2.) Nach einer Zeiteinheit hat eine Person durchschnittlich [mm] \bruch{Y}{X} [/mm] rote Knöpfe gedrückt. Nach T Zeiteinheiten hat die Person daher T * [mm] \bruch{Y}{X} [/mm] Knöpfe gedrückt. Z Personen haben nach T Einheiten Z * T * [mm] \bruch{Y}{X} [/mm] Knöpfe gedrückt.
Ich bin mir derzeit sowohl unsicher welcher der beiden Ansätze der bessere ist als auch wie ich dann von dem Ansatz auf die eigentliche Lösung komme. Hat ev. jemand Hints wie ich da am besten weitermache bzw. wie man das Beispiel lösen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> 1.) P(einzelner Knopfdruck ist rot)= [mm] \bruch{Y}{X}.
[/mm]
> P(bei T Knöpfen ist min. einer rot)= [mm] 1-(1-\bruch{Y}{X})^T
[/mm]
Ja.
Sei A die Zufullsvar. mit A=0 für kein roter K. und A=1 für min. ein roter K.
P(A=1)=P(bei T Knöpfen ist min. einer rot)
P(A=0)=1-...
Dann sei B die Zufallsvar. mit B=Anzahl Personen mit roten K. nach T versuchen.
Also B=... [mm] \Rightarrow [/mm] E(B)=...
> 2) Nach einer Zeiteinheit hat eine Person durchschnittlich [mm] \bruch{Y}{X} [/mm] rote Knöpfe gedrückt.
> ...
Dazu mal ein Beispiel: X=2, Y=1, T=2, Z=2
E(rote bei einer [mm] Person)=2*\bruch{1}{2}=1
[/mm]
Wenn du daraus nun E(rote bei Beiden)=2 folgerst, so ist der Schluss E(Personen mit roten Knöpfen)=2, also P(beide treffen)=100% natürlich Unsinn.
Der zweite Ansatz bringt dich so nicht ans Ziel, da du nicht weist, wie die erwarteten roten K. über die Personen verteilt sind.
Ciao.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Fr 28.03.2008 | | Autor: | kallisti |
Danke einmal für die Erklärung. Gehe ich richtig in der Annahme, dass es sich hier um eine Binomialverteilung handelt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Blech |
> Danke einmal für die Erklärung. Gehe ich richtig in der
> Annahme, dass es sich hier um eine Binomialverteilung
> handelt?
Ja. =)
Die erwartete Anzahl von Personen, die mind. 1 Knopf gedrückt haben werden, ist also die Anzahl der Personen mal der Wahrscheinlichkeit für jede einzelne Person, daß sie einen Knopf drücken wird.
Was für mich aus der Aufgabenstellung aber nicht ganz klar ist, ist ob die Personen alle jedes mal die Auswahl aus allen Knöpfen haben, aber jeder Knopf von maximal einer Person gedrückt werden kann. (d.h. Ziehen mit Zurücklegen, oder ohne Zurücklegen)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Fr 28.03.2008 | | Autor: | kallisti |
Es ist ziehen mit Zurücklegen. In jeder Runde kann ein Knopf auch öfters gedrückt werden.
Mein letztes Problem ist jetzt wie ich auf die _mindestens_ X gedrückte Knöpfe komme. Die Binomialverteilung liefert mir ja die Wahrscheinlichkeit dass genau eine bestimmte Anzahl an Knöpfen gedrückt wird. Die einfache Herleitung wäre jetzt natürlich davor einfach eine Summe zu setzen und von X bis zur Gesamtanzahl der Knöpfe alle Wahrscheinlichkeiten aufzuaddieren. Gibt es dafür auch irgendeine "elegantere" Lösung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:16 Fr 28.03.2008 | | Autor: | kallisti |
Mit der Frage wahr ich wohl etwas vorschnell. Laut Wikipedia: "The cumulative distribution function can be expressed in terms of the regularized incomplete beta function".
Gehe ich richtig in der Annahme, dass das die Funktion ist die ich suche? Ich müsste dann aber offenbar nicht die Wahrscheinlichkeit dass ein roter Knopf gedrückt wird ausrechnen, sondern dass dieser nicht gedrückt wird. Also die Gesamtanzahl und die Anzahl der nicht roten Knöpfe in der Incomplete Beta Funktion einsetzen und dann das Ergebnis von 100% subtrahieren.
|
|
|
| |
|
> Mein letztes Problem ist jetzt wie ich auf die _mindestens_
> X gedrückte Knöpfe komme.
Ist denn das überhaupt die Frage? Ich denke, es geht darum, wie viele Personen mindestens einen roten Knopf gedrückt haben. (Sobald eine bestimmte Person einen roten Knopf gedrückt hat, scheidet sie aus (bzw. ist es völlig wurscht, wie viele rote Knöpfe sie noch anschließend drückt)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:04 Sa 29.03.2008 | | Autor: | kallisti |
Falls ich den englischen Wikipedia Artikel zur Binomial Verteilung richtig verstehe, ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung folgende Formel: F(k;n,p) = [mm] \Pr(X \ge [/mm] k) = [mm] I_{p}(k+1, [/mm] n-k) wobei [mm] I_{p} [/mm] die "regularized incomplete beta function" ist. D.h. wenn ich hier die Werte einsetze, ist das Ergebnis die Wahrscheinlichkeit, dass eine einzelne Person zumindest k rote Knöpfe gedrückt hat.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:48 Sa 29.03.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Ich denke, du gehtst hier irgendwie zu kompliziert vor.
Wieso benutzt du eine englische Wikipedia-Seite?
Darin kommen dann Begriffe vor, die hier eventuell vielen Leuten unverständlich sind.
Auch die Formeln sind irgendwie unverständlich - selbst wenn sie korrekt sind, dann weiß höchstens ein entsprechender Computer, was er da konkret rechnen muss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 So 30.03.2008 | | Autor: | Blech |
> Falls ich den englischen Wikipedia Artikel zur Binomial
> Verteilung richtig verstehe, ist die
> Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung folgende
> Formel: F(k;n,p) = [mm]\Pr(X \ge[/mm] k) = [mm]I_{p}(k+1,[/mm] n-k) wobei
> [mm]I_{p}[/mm] die "regularized incomplete beta function" ist. D.h.
> wenn ich hier die Werte einsetze, ist das Ergebnis die
> Wahrscheinlichkeit, dass eine einzelne Person zumindest k
> rote Knöpfe gedrückt hat.
Nein. Was sind denn Deine Bernoulli-Experimente?
Das i-te Bernoulli-Experiment bei Dir ist "Person i hat mindestens einen roten Knopf gedrückt". Wenn Du jetzt über die Z Personen summierst, erhältst Du doch nicht die Wkeit, daß eine Person mehr als einen Knopf gedrückt hat.
Du hast eine Folge von Z Zufallsvariablen [mm] $S_i$, $i\in\{1,2,\ldots,Z\}$, [/mm] wobei [mm] $S_i$ [/mm] gleich 1 ist, falls Person i mindestens einen Knopf gedrückt hat und 0 sonst. Damit gilt [mm] $P(S_i=1)=1-(1-\frac{Y}{X})^T=1-P(S_i=0)$.
[/mm]
Und die Summe über [mm] $S_1$ [/mm] bis [mm] $S_Z$ [/mm] ist dann binomialverteilt und die Zufallsvariable, an der Du Interesse hast.
Und die Wkeiten der Binomialverteilung sind einfach
[mm] $P(\sum_{i=1}^{Z}S_i [/mm] = [mm] k)={Z\choose k}\left(1-(1-\frac{Y}{X})^T\right)^k \left((1-\frac{Y}{X})^T\right)^{Z-k}$.
[/mm]
Das hast Du so sicher auch mal gelernt.
Fang nicht mit so Sachen wie der incomplete beta function an, die Dir nicht weiterhelfen, weil man sie nur numerisch bestimmen kann. =)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 So 30.03.2008 | | Autor: | kallisti |
Danke. Mein aktueller Ansatz ist irgendwie so ähnlich (aber etwas anders):
Ich gehe von {P}(k) = [mm] {n\choose k}p^{k}(1-p)^{n-k} [/mm] als Formel der Versuche für eine einzelne Person aus. Ich bin ja dran interessiert wieviel Personen einen oder mehr Knöpfe gedrückt haben, also rechne ich zuerst einmal die Wahrscheinlichkeit aus, dass eine Person keinen Knopf gedrückt hat (also k = 0) und ziehe das dann von 1 ab.
Die Formel für die 0 gedrückten Knöpfe wäre damit: [mm] (1-p)^n. [/mm] Die Formel für einen oder mehr gedrückte Knöpfe also: 1 - [mm] (1-p)^n.
[/mm]
Zwei Binomialverteilungen kann man mittels X+Y [mm] \sim [/mm] B(n+m, p) addieren. Wobei eben der erste Parameter für die Anzahl an Versuchen und der zweite Parameter für die Erfolgswahrscheinlichkeit eines Versuches steht. Sollte es damit nicht möglich sein, die Wahrscheinlichkeit dass p Personen einen oder mehr Knöpfe gedrückt haben als: 1 - [mm] (1-p)^{n * p} [/mm] zu berechnen? Und nachdem der Erwartungswert der Binomialverteilung n*p ist sollte dann ja die Anzahl der Personen als n*m*p zu berechnen sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 So 30.03.2008 | | Autor: | kallisti |
Ähm. "p" für Personen war natürlich etwas blöd gewählt. :)
Wenn man das auf z umändert wäre das für die Wahrscheinlichkeit: 1 - [mm] (1-p)^{n * z} [/mm] und für den Erwartungswert: n*p*z.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:49 So 30.03.2008 | | Autor: | kallisti |
Hmm... hab nochmal drüber nachgedacht. Der Ansatz von mir funktioniert so doch nicht. Werde also doch deinen einmal genauer anschauen.
Wenn ich die Binomialverteilungen so verknpfe, ist dass ja die Wahrscheinlichkeit dass alle Personen zusammen zumindest einen Knopf gedrückt haben. Bzw. wäre der Erwartungswert die Anzahl der insgesamt gedrückten Knöpfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Mo 31.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> Mein aktueller Ansatz ist irgendwie so ähnlich (aber etwas anders).
Du hattest es doch schon so gut wie.
Du müsstest dir das etwas übersichtlicher aufschreiben.
Zuerst definiere dir Zufallsvariablen [mm] A_i [/mm] , [mm] i\in\{1,..,Z\} [/mm] mit
[mm] A_i=\begin{cases} 0, & \mbox{für Person i trifft keinen roten Knopf} \\ 1, & \mbox{für Person i trifft einen roten Knopf} \end{cases}
[/mm]
Dann ist [mm] P(A=0)=(1-\frac{Y}{X})^T
[/mm]
und [mm] P(A=1)=1-(1-\frac{Y}{X})^T
[/mm]
Danach folgt eine weitere Zufallsvariable B mit
[mm] B=\summe_{i=1}^ZA_i
[/mm]
Dann ist B die Anzahl der Personen die eine roten Knopf gedückt haben, binomialverteilt mit p= P(A=1).
Somit gilt E(B)=erwartete Anzahl Personen die einen roten Knopf drücken.
Ciao.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Mo 31.03.2008 | | Autor: | kallisti |
Danke. Irgendwie hab ich die ganze Zeit an der Lösung vorbeigearbeitet, aber jetzt versteh ichs endlich.
|
|
|
| |
|
Dein Ansatz 2) beantwortet wohl eher die Frage, wie viele rote Knöpfe insgesamt gedrückt werden.
Allerdings ist auch die Frage "Wieviele Personen haben nach der Zeiteinheit T zumindest einen roten Knopf gedrückt?" irreführend. Ich nehme an, dass gemeint ist, wie viele Personen aller Voraussicht nach mindestens einen roten nach T Zeiteinheiten gedrückt haben werden.
Das drückt jedenfalls dein Ansatz 1) aus.
> Aber wie kann man eine Verbindung zwischen den Wahrscheinlichkeiten und der erwarteten Anzahl der gedrückten roten Knöpfe herstellen?
Das ist so ähnlich wie: Du kennst die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine "Sechs" zu werfen. Wenn du nun 60 Würfel gleichzeitig wirfst, wie viele "Sechsen" würdest du dann voraussichtlich haben?
|
|
|
|
