Erwartungstreu, Uniform < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 So 23.06.2013 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Seien [mm] X_1,.., X_n [/mm] unabhängige Zufallsvariablen, uniform verteilt auf dem Intervall [0,a]. Der Parameter a sei unbekannt.
drei Schätzer:
[mm] Y_n [/mm] := 2/n [mm] \sum_{i=1}^n X_i
[/mm]
[mm] M_n [/mm] := [mm] max_{1 \le i \le n } X_i
[/mm]
[mm] M_n' [/mm] := [mm] \frac{n+1}{n} max_{1 \le i \le n } X_i
[/mm]
Bestimme die Bias. Welche Schätzer sind erwartungstreu? |
[mm] (\mu_{\theta})_{\theta \in \Theta} [/mm] Klasse von Verteilungen
[mm] \Theta =\IR [/mm] , [mm] \theta=\frac{a}{2}
[/mm]
[mm] Y_n: \IR^n [/mm] -> [mm] \Theta
[/mm]
[mm] M_n :\IR^n [/mm] -> [mm] \Theta
[/mm]
M'_n [mm] :\IR^n [/mm] -> [mm] \Theta
[/mm]
[mm] E_{\mu_{\theta}} [/mm] (g(Y(x))- [mm] g(\theta)= [/mm] 2/n [mm] E(\sum_{i=1}^n X_i) [/mm] - [mm] \frac{a}{2}= \frac{2}{n} [/mm] n* [mm] \frac{a}{2}- \frac{a+b}{2}= \frac{a}{2}
[/mm]
[mm] E_{\mu_{\theta}} [/mm] (g(M(x))- [mm] g(\theta)= [/mm] E [mm] (max_{1 \le i \le n } X_i) [/mm] - a/2 = a/2 -a/2=0
erwartungstreu
[mm] E_{\mu_{\theta}} [/mm] (g(M'(x))- [mm] g(\theta) [/mm] = [mm] \frac{n+1}{n} \frac{a}{2} [/mm] - [mm] \frac{a}{2}=\frac{(n+1-n)*a}{2n}= \frac{a}{2n}
[/mm]
Ich hab das gefühlt, dass stimmt nicht!
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Hallo,
> Seien [mm]X_1,.., X_n[/mm] unabhängige Zufallsvariablen, uniform
> verteilt auf dem Intervall [0,a]. Der Parameter a sei
> unbekannt.
> drei Schätzer:
> [mm]Y_n[/mm] := 2/n [mm]\sum_{i=1}^n X_i[/mm]
> [mm]M_n[/mm] := [mm]max_{1 \le i \le n } X_i[/mm]
>
> [mm]M_n'[/mm] := [mm]\frac{n+1}{n} max_{1 \le i \le n } X_i[/mm]
>
> Bestimme die Bias. Welche Schätzer sind erwartungstreu?
> [mm](\mu_{\theta})_{\theta \in \Theta}[/mm] Klasse von
> Verteilungen
> [mm]\Theta =\IR[/mm] , [mm]\theta=\frac{a}{2}[/mm]
> [mm]Y_n: \IR^n[/mm] -> [mm]\Theta[/mm]
> [mm]M_n :\IR^n[/mm] -> [mm]\Theta[/mm]
> M'_n [mm]:\IR^n[/mm] -> [mm]\Theta[/mm]
Ehrlich gesagt verstehe ich nicht, was du mit der Einführung von diesem [mm] $\Theta$ [/mm] und [mm] $\theta$ [/mm] bezweckst. Dadurch wird das ganze unübersichtlicher.
> [mm]E_{\mu_{\theta}}[/mm] (g(Y(x))- [mm]g(\theta)=[/mm] 2/n [mm]E(\sum_{i=1}^n X_i)[/mm]
> - [mm]\frac{a}{2}= \frac{2}{n}[/mm] n* [mm]\frac{a}{2}- \frac{a+b}{2}= \frac{a}{2}[/mm]
Ja, der erste Schätzer ist erwartungstreu.
> [mm]E_{\mu_{\theta}}[/mm] (g(M(x))- [mm]g(\theta)=[/mm] E [mm](max_{1 \le i \le n } X_i)[/mm]
> - a/2 = a/2 -a/2=0
> erwartungstreu
Das ist falsch.
Ich weiß auch nicht, wie du den Erwartungswert vom Maximum bestimmt hast.
Dafür musst du nämlich eigentlich erstmal die Dichte von [mm] $\max X_i$ [/mm] bestimmen mittels des Tricks
[mm] $\IP(\max(X_i) \le [/mm] x) = [mm] \IP(X_1 \le [/mm] x, ..., [mm] X_n \le [/mm] x) = [mm] \prod_{i=1}^{n}\IP(X_i \le [/mm] x)$.
> [mm]E_{\mu_{\theta}}[/mm] (g(M'(x))- [mm]g(\theta)[/mm] = [mm]\frac{n+1}{n} \frac{a}{2}[/mm]
> - [mm]\frac{a}{2}=\frac{(n+1-n)*a}{2n}= \frac{a}{2n}[/mm]
Das ist demzufolge auch falsch.
Es sollte herauskommen, dass der dritte Schätzer [mm] M_n' [/mm] erwartungstreu ist.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 So 23.06.2013 | | Autor: | Lu- |
Ah klar.
Ich hatte es auch ganz falsch gerechnet!
Nun hab ich es richtig.
Habe aber noch eine Frage zu b)
Zeige: Jeder dieser Schätzer ist konsistent, d.h. jeder Schätzer konvergiert in Wahrscheinlichkeit zu a. Welche der beiden erwartungstreuen Schätzer [mm] (Y_n, M_n [/mm] ') konvergiert schneller?
Ich muss zeigen:
[mm] P_{\mu_{\theta}} [/mm] (| [mm] Y_n [/mm] - a| > [mm] \epsilon) [/mm] -> 0 [mm] \forall \epsilon>0
[/mm]
Nach dem Gesetz der großen Zahlen gilt
[mm] lim_{n->\infty} [/mm] P(|1/n [mm] \sum_{i=1}^n X_i [/mm] - [mm] EX_i [/mm] | > [mm] \epsilon)=0 \forall \epsilon>0
[/mm]
<=>
[mm] lim_{n->\infty} [/mm] P(1/2 [mm] [|Y_n [/mm] -a|] > [mm] \epsilon)=0 \forall \epsilon>0
[/mm]
Aber hilft mir das ?
LG
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Hallo,
> Zeige: Jeder dieser Schätzer ist konsistent, d.h. jeder
> Schätzer konvergiert in Wahrscheinlichkeit zu a. Welche
> der beiden erwartungstreuen Schätzer [mm](Y_n, M_n[/mm] ')
> konvergiert schneller?
>
>
>
> Ich muss zeigen:
> [mm]P_{\mu_{\theta}}[/mm] (| [mm]Y_n[/mm] - a| > [mm]\epsilon)[/mm] -> 0 [mm]\forall \epsilon>0[/mm]
Ja.
> Nach dem Gesetz der großen Zahlen gilt
> [mm]lim_{n->\infty}[/mm] P(|1/n [mm]\sum_{i=1}^n X_i[/mm] - [mm]EX_i[/mm] | >
> [mm]\epsilon)=0 \forall \epsilon>0[/mm]
> <=>
> [mm]lim_{n->\infty}[/mm] P(1/2 [mm][|Y_n[/mm] -a|] > [mm]\epsilon)=0 \forall \epsilon>0[/mm]
Ja. Damit folgt die Konsistenz des ersten Schätzers [mm] $Y_n$.
[/mm]
Allerdings hilft dir eine solche Aussage nichts für die Konvergenzgeschwindigkeit.
Wahrscheinlich sollst du bei dieser Aufgabe die Tschebyscheff-Ungleichung benutzen:
[mm] $\IP(|X [/mm] - E X| > [mm] \varepsilon) \le \frac{Var(X)}{\varepsilon^2}$.
[/mm]
Nun kannst du jeweils für $X$ deine Schätzer einsetzen. Du müsstest dann also die Varianz dieser Schätzer berechnen. Je nachdem wie schnell die Varianz gegen Null geht, umso schneller konvergiert auch der Schätzer.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 So 23.06.2013 | | Autor: | Lu- |
-) [mm] Var(Y_n)= [/mm] Var(2 [mm] \overline{X})= [/mm] 4 [mm] Var(\overline{X})= \frac{a^2}{3n}
[/mm]
-) [mm] Var(M_n)= E(M_n^2) [/mm] - [mm] E(M_n)^2 [/mm] = [mm] E(M_n^2) [/mm] - [mm] [\frac{n}{n+1} a]^2
[/mm]
[mm] E(M_n^2)= \int_0^a \frac{n x^{n+1}}{a^n} [/mm] dx = [mm] \frac{n}{a^n} \frac{x^{n+2}}{n+2} [/mm] = [mm] \frac{n}{n+2} a^2
[/mm]
[mm] Var(M_n) [/mm] = [mm] E(M_n^2) [/mm] - [mm] \frac{n}{n+1} [/mm] a = [mm] \frac{n}{n+2} a^2 -\frac{n^2}{(n+1)^2} a^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] * [mm] \frac{n*(n+1)^2- n^2 *(n+2)}{(n+2)(n+1)^2}= a^2 [/mm] * [mm] \frac{n^3+2n^2+n-n^3 - 2n^2}{(n+2)(n+1)^2}
[/mm]
[mm] =a^2 \frac{n}{(n+2)(n+1)^2}
[/mm]
[mm] Var(M_n [/mm] ')= [mm] a^2 \frac{1}{n*(n+2)}
[/mm]
[mm] M_n [/mm] ' konvergiert schneller.
Passt das?
Damit ist meine ich auch die Konsistent aller drei Schätzer gezeigt..
> $ [mm] \IP(|X [/mm] - E X| > [mm] \varepsilon) \le \frac{\Var(X)}{\varepsilon^2} [/mm] $.
Aber Erwartungswert ist doch hier a/2 bei Gleichverteilung und ich muss das ganze für a und nicht a/2 abschätzen!
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Hallo,
> -) [mm]Var(Y_n)=[/mm] Var(2 [mm]\overline{X})=[/mm] 4 [mm]Var(\overline{X})= \frac{a^2}{3n}[/mm]
Richtig.
> -) [mm]Var(M_n)= E(M_n^2)[/mm] - [mm]E(M_n)^2[/mm] = [mm]E(M_n^2)[/mm] -
> [mm][\frac{n}{n+1} a]^2[/mm]
>
> [mm]E(M_n^2)= \int_0^a \frac{n x^{n+1}}{a^n}[/mm] dx = [mm]\frac{n}{a^n} \frac{x^{n+2}}{n+2}[/mm]
> = [mm]\frac{n}{n+2} a^2[/mm]
> [mm]Var(M_n)[/mm] = [mm]E(M_n^2)[/mm] - [mm]\frac{n}{n+1}[/mm] a
> = [mm]\frac{n}{n+2} a^2 -\frac{n^2}{(n+1)^2} a^2[/mm] = [mm]a^2[/mm] *
> [mm]\frac{n*(n+1)^2- n^2 *(n+2)}{(n+2)(n+1)^2}= a^2[/mm] *
> [mm]\frac{n^3+2n^2+n-n^3 - 2n^2}{(n+2)(n+1)^2}[/mm]
> [mm]=a^2 \frac{n}{(n+2)(n+1)^2}[/mm]
>
> = [mm]a^2 \frac{1}{n*(n+2)}[/mm]
Das habe ich nicht im Detail überprüft... (ist ja nur rechnen)
Sieht aber gut aus.
> [mm]M_n[/mm] ' konvergiert schneller.
> Passt das?
Ja.
> Damit ist meine ich auch die Konsistent aller drei
> Schätzer gezeigt..
Ja. Dies folgt aus der Tschebyscheff-Ungleichung:
> > [mm]\IP(|X - E X| > \varepsilon) \le \frac{Var(X)}{\varepsilon^2} [/mm].
> Aber Erwartungswert ist doch hier a/2 bei Gleichverteilung
> und ich muss das ganze für a und nicht a/2 abschätzen!
Ja, es geht aber nicht um den Erwartungswert von der Gleichverteilung, sondern um den Erwartungswert von deinen Schätzern. Du setzt ja für X die Schätzer ein. Beispiel:
[mm] \IP(|M_n' [/mm] - E [mm] M_n'| \ge \varepsilon) \le \frac{Var(M_n)}{\varepsilon^2} \to [/mm] 0.
Damit hast du gezeigt:
[mm] $M_n' \overset{\IP}{\to } [/mm] E [mm] M_n' [/mm] = a$,
Damit folgt die Konsistenz vom dritten Schätzer.
Weil [mm] $\frac{n}{n+1}\to [/mm] 1$ folgt so auch die Konsistenz von [mm] $M_n$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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