Erwartungstreue < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 So 26.09.2010 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | [mm] X_1,X_2,...X_n [/mm] seien stochastisch unabhängige und identisch verteilte geometrisch verteilte Zufallsgrößen mit Parameter [mm] \lambda.
[/mm]
[mm] (P(X_i=k)=\lambda*(1-\lambda)^{k-1} [/mm] für [mm] k\in\IN)
[/mm]
Überprüfen Sie, ob [mm] T(x_1,..,x_n)=\bruch{1}{n^2}(\sum_{i=1}^{n}X_i)^2 [/mm] ein erwartungstreuer Schätzer für [mm] \bruch{1}{\lambda^2} [/mm] ist. |
Hallo!
Hab versucht, die Aufgabe zu lösen, in dem ich zeige, dass der Erwartungswert > [mm] \bruch{1}{\lambda^2} [/mm] ist.
[mm] E(\bruch{1}{n^2} (\sum X_i)^2)\ge \bruch{1}{n^2}E(\sum X^2_i)=\bruch{1}{n}(\bruch{2}{\lambda^2}-\bruch{1}{\lambda})
[/mm]
Aber damit komm ich nicht weiter. Könnte jemand mir Tipps geben?
Gruß
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 So 26.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Hab versucht, die Aufgabe zu lösen, in dem ich zeige,
> dass der Erwartungswert > [mm]\bruch{1}{\lambda^2}[/mm] ist.
> [mm][mm] E(\bruch{1}{n^2} (\sum X_i)^2)
[/mm]
wieso multiplizierst Du hier nicht einfach die Summe aus?
Du kannst doch [mm] $E(X_iX_j)$ [/mm] sowohl für i=j, als auch für [mm] $i\neq [/mm] j$ berechnen.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:51 Mo 27.09.2010 | | Autor: | Fry |
Hey Stefan.
Danke für deine Antwort! :)
Hab mir gedacht, dass dabei nichts Vernünftiges bei rauskommen würde ;).Aber wie genau würdest du das denn machen?
Habs jetzt mir mal so gedacht:
[mm]E(\summe_{i=1}^{n} X_i)^2=E(\summe_{i=1}^{n-1} X_i+X_n)^2=E((\summe_{i=1}^{n-1} X_i)^2+2(\summe_{i=1}^{n-1} X_i)X_n+X^2_n)=E((\summe_{i=1}^{n-1} X_i)^2)+2*\summe_{i=1}^{n-1} E(X_iX_n)+ EX^2_n
\summe_{i=1}^{n-1} E(X_iX_n)=\summe_{i=1}^{n-1} E(X_i)E(X_n), \mbox{da stochastisch unabhängig}[/mm]
[mm]=(n-1)(EX_n)^2, \mbox{da identisch verteilt}[/mm]
Nun ist [mm] (EX_n)^2=\bruch{1}{\lambda^2}. [/mm] Für n>2 ist [mm] E(\summe_{i=1}^{n} X_i)^2>\bruch{1}{\lambda^2}. [/mm] Denn [mm] (n-1)(EX_n)^2+EX^2_n>\bruch{1}{\lambda^2} [/mm] und alle anderen Termen sind [mm] \ge0.
[/mm]
Gruß
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:46 Mo 27.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Christian!
> Danke für deine Antwort! :)
> Hab mir gedacht, dass dabei nichts Vernünftiges bei
> rauskommen würde ;).Aber wie genau würdest du das denn
> machen?
> Habs jetzt mir mal so gedacht:
>
>
>
> [mm]E(\summe_{i=1}^{n} X_i)^2=E(\summe_{i=1}^{n-1} X_i+X_n)^2=E((\summe_{i=1}^{n-1} X_i)^2+2(\summe_{i=1}^{n-1} X_i)X_n+X^2_n)=E((\summe_{i=1}^{n-1} X_i)^2)+2*\summe_{i=1}^{n-1} E(X_iX_n)+ EX^2_n
\summe_{i=1}^{n-1} E(X_iX_n)=\summe_{i=1}^{n-1} E(X_i)E(X_n), \mbox{da stochastisch unabhängig}[/mm]
>
> [mm]=(n-1)(EX_n)^2, \mbox{da identisch verteilt}[/mm]
Soweit ist es ok.
> Nun ist [mm](EX_n)^2=\bruch{1}{\lambda^2}.[/mm] Für n>2 ist
> [mm]E(\summe_{i=1}^{n} X_i)^2>\bruch{1}{\lambda^2}.[/mm]
Wo genau steht hier das Quadrat? Im Erwartungswert oder ausserhalb?
> Denn
> [mm](n-1)(EX_n)^2+EX^2_n>\bruch{1}{\lambda^2}[/mm]
genauer: es ist $n [mm] \frac{1}{\lambda^2}$.
[/mm]
> und alle anderen Termen sind [mm]\ge0.[/mm]
Du willst allerdings [mm] $E((\sum_{i=1}^n X_i^2)^2) [/mm] > [mm] \frac{n^2}{\lambda^2}$ [/mm] zeigen. Du bist also noch lange nicht fertig.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Mo 27.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> [mm]E(\summe_{i=1}^{n} X_i)^2=E(\summe_{i=1}^{n-1} X_i+X_n)^2=E((\summe_{i=1}^{n-1} X_i)^2+2(\summe_{i=1}^{n-1} X_i)X_n+X^2_n)=E((\summe_{i=1}^{n-1} X_i)^2)+2*\summe_{i=1}^{n-1} E(X_iX_n)+ EX^2_n
\summe_{i=1}^{n-1} E(X_iX_n)=\summe_{i=1}^{n-1} E(X_i)E(X_n), \mbox{da stochastisch unabhängig}[/mm]
>
> [mm]=(n-1)(EX_n)^2, \mbox{da identisch verteilt}[/mm]
Das stimmt so, aber wieso multiplizierst Du nur [mm] $X_n$ [/mm] raus?
[mm] $E\left(\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)^2\right)=E\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n X_iX_j\right)=E\left(\sum_{i=1}^n X_i^2\right)+E\left(\sum_{i=1}^n\sum_{\substack{j=1,\\ j\neq i}}^n X_iX_j\right)=$
[/mm]
[mm] $=nE(X_1^2)+n(n-1) \left(E(X_1)\right)^2$
[/mm]
Vergiß die Ungleichungen, Du kriegst ein explizites Ergebnis.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mo 27.09.2010 | | Autor: | Fry |
Hallo,
vielen Dank euch beiden für die Erhellung.
Sehe ich es richtig, dass es auch gereicht hätte n=1 zu setzen und zu zeigen, dass [mm] E(X^2)\not=\bruch{1}{\lambda^2} [/mm] ?
Gruß!
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Mo 27.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Christian!
> vielen Dank euch beiden für die Erhellung.
> Sehe ich es richtig, dass es auch gereicht hätte n=1 zu
> setzen und zu zeigen, dass [mm]E(X^2)\not=\bruch{1}{\lambda^2}[/mm]
> ?
Ja. Mit etwas mehr Rechnen kannst du aber zeigen, dass es fuer kein $n$ uebereinstimmt 
Edit: Fehler korrigiert.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:58 Mo 27.09.2010 | | Autor: | Fry |
Da haste Recht,
habs auch noch ausgerechnet :)
Danke!
LG
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Mo 27.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
nicht ganz, da asymptotische Erwartungstreue auch eine Art der Erwartungstreue ist, und der Schätzer *ist* asymptotisch erwartungstreu.
[mm] $\frac1{n^2} E\left(\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)^2\right)=(E(X_1))^2 [/mm] + [mm] O\left(\frac1n\right) [/mm] = [mm] \frac1{\lambda^2}+ O\left(\frac1n\right)$
[/mm]
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 Mo 27.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Stefan,
> nicht ganz, da asymptotische Erwartungstreue auch eine Art
> der Erwartungstreue ist, und der Schätzer *ist*
> asymptotisch erwartungstreu.
>
> [mm]\frac1{n^2} E\left(\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)^2\right)=(E(X_1))^2 + O\left(\frac1n\right) = \frac1{\lambda^2}+ O\left(\frac1n\right)[/mm]
ah, ich hatte mich da etwas verlesen. Du hast Recht, er ist asymptotisch erwartungstreu.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Mo 27.09.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> ah, ich hatte mich da etwas verlesen. Du hast Recht, er ist
> asymptotisch erwartungstreu.
no harm done.
Ich hatte in meiner urspr Antwort auch impliziert, daß man [mm] $E(X^2)$ [/mm] braucht; nur ist mir dann aufgefallen, daß wg. der n sich das ganze nicht unerheblich vereinfacht. =)
ciao
Stefan
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