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| Aufgabe | Sei (Ω, E, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → N eine diskrete Zufallsvariable. Zeigen Sie:
a) E(X) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}P(X [/mm] ≥ n)
[mm] b)E(X^{2}) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] (2n-1) P(X ≥ n) |
Hallo Leute
Ich weiß, was der Erwartungswert und eine Zufallsvariable ist, aber ich verstehe den Ausdruck nicht ganz und was genau ich zeigen muss.
Gruß zahlenfreund
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:11 Do 20.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Zahlenfreund,
> Sei (Ω, E, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → N eine diskrete Zufallsvariable.
Du meinst:
[mm] X\colon\Omega\to\IN.
[/mm]
> Zeigen Sie:
> a) E(X) = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}P(X[/mm] ≥ n)
> Ich weiß, was der Erwartungswert und eine Zufallsvariable ist,
Ich nehme an, dass ihr den endlichen Erwartungswert für reell-
wertige Zufallsvariablen über Reihen definiert habt. Schreibe
uns doch bitte eure genaue Definition auf.
> aber ich verstehe den Ausdruck nicht ganz und was genau ich zeigen muss.
Das Resultat der ersten Aussage ist, dass der Erwartungswert
einer [mm] $\IN$-wertigen [/mm] Zufallsvariable [mm] $X\$ [/mm] gegeben ist durch
[mm] $\mathbb{E}(X)=\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(X\ge [/mm] n)$.
(Du kannst dir auch eine Aussage über [mm] $\IN_0$-wertige [/mm] Zufalls-
variablen überlegen.)
Ein möglicher Ansatz für den Beweis der Aussage ist
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(X\ge n)=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{l=n}^{\infty}\mathbb{P}(X=l)$.
[/mm]
Jetzt bist du dran! Begründe die Gleichheit und probiere damit
auf eure Definition des Erwartungswerts zu kommen.
Gruß
DieAcht
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Erwartungswert: [mm] \summe_{\alpha \in Ω}X(\alpha)P(\alpha) [/mm] (Im Index soll Alpha Element Ω stehen)
E(x)= [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n*(x=n) (nach Def. vom Erwartungswert)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}P(X [/mm] ≥ n)= P(x=n)+P(x=n+1)+P(x=n+2)....
daran erkennt man die Gleichheit. Ist das soweit richtig ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Do 20.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
> Erwartungswert: [mm]\summe_{\alpha \in Ω}X(\alpha)P(\alpha)[/mm]
> (Im Index soll Alpha Element Ω stehen)
Das ist nur dann wahr, wenn die Reihe
[mm] \sum_{\alpha\in\Omega}p(\alpha)|X(\alpha)|
[/mm]
konvergiert. Du findest aber mit Sicherheit unter den Eigen-
schaften des Erwartungswertes, dass die Zufallsvariable [mm] $X\$
[/mm]
genau dann einen Erwartungswert besitzt, falls die Reihe
[mm] \sum_{\alpha\in X(\Omega)}|\alpha|\mathbb{P}(X=\alpha)
[/mm]
konvergiert. Dann setzen wir
[mm] \mathbb{E}(X)=\sum_{\alpha\in X(\Omega)}\alpha*\mathbb{P}(X=\alpha).
[/mm]
(Ist dir klar weshalb die Reihe konvergieren muss?)
> E(x)= [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] n*(x=n) (nach Def. vom Erwartungswert)
Du meinst:
[mm] \mathbb{E}(X)=\summe_{n=1}^{\infty}n*\mathbb{P}(X=n).
[/mm]
Das ist der Erwartungswert für [mm] $\IN$-wertige [/mm] Zufallsvariablen,
falls dieser existiert. Du hast aber Recht, denn genau darauf
wollen wir hinaus.
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}P(X[/mm] ≥ n)=P(x=n)+P(x=n+1)+P(x=n+2)....
> daran erkennt man die Gleichheit. Ist das soweit richtig ?
Wir brauchen eine Begründung für
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty}\mathbb{P}(X\ge n)=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{l=n}^{\infty}\mathbb{P}(X=l)$,
[/mm]
also eine Begründung für
[mm] \mathbb{P}(X\ge n)=\sum_{l=n}^{\infty}\mathbb{P}(X=l).
[/mm]
Es ist
$ [mm] \mathbb{P}\left(X \ge n\right) [/mm] = [mm] \mathbb{P}\left(X \in \{n,n+1,n+2,\ldots\}\right) [/mm] = [mm] \mathbb{P}\left(X \in \{n\} \cup X \in \{n+1\} \cup X \in \{n+2\} \cup \ldots\right) [/mm] $.
Jetzt wieder du!
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