Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:30 Mi 01.08.2007 | | Autor: | Steffy |
| Aufgabe | Eine Zielscheibe ist mit 3 konzentrischen Kreisen vom Radius 1, 3 und 5cm versehen.
Man erhält 10, 5 bzw. 3 Punkte, wenn man die innere Kreisscheibe, den mittleren bzw. den äußeren Kreisring trifft. Die Wahrscheinlichkeit die große Kreisscheibe zu treffen sei gleich 0,5 . Jeder Punkt der Scheibe sei dabei mit gleicher Chance zu treffen.
Berechnen Sie den Erwartungswert der bei einem Schuss erreichten Punktezahl. |
Hallo Zusammen,
leider hab ich überhaupt keinen Plan, wie ich bei der oben gestellten Aufgabe vorgehen muss.
Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen
Vielen lieben Dank im voraus.
Gruß, Steffy
|
|
| |
|
> leider hab ich überhaupt keinen Plan, wie ich bei der oben
> gestellten Aufgabe vorgehen muss.
>
> Könnte mir da bitte jemand weiterhelfen
Als allererstes solltest du die Flächen der drei Kreise berechnen (ich nehme an, du kennst die Formel für die Kreisfläche bei gegebenem Radius).
Da es sich bei der mittleren und äußeren Trefferfläche um "Ringe" (nicht um Kreise) handelt, musst du das Innere jeweils subtrahieren, um die Trefferflächen zu erhalten.
Die Wahrscheinlichkeit die große Kreisscheibe zu treffen sei gleich 0,5. Das heißt mit andren Worten: Zu 50 % wird die Scheibe gar nicht getroffen.
Als nächstes kannst du ausrechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, den inneren Kreis, den mittleren Ring, den äußeren Ring und gar nichts zu treffen (Bei "gar nichts" gibt es Null Punkte).
Und nun multiplizierst du noch die geweiligen Wahrscheinlichkeiten, die du ausgerechnet hast, mit den jeweils zu vergebenden Punkten.
Das kommst du auf einen Mittelwert. Und das ist dann der "Erwartungswert"
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 Mi 01.08.2007 | | Autor: | Steffy |
Hallo,
also die Formel für die Flächenberechnung vom Kreis ist [mm] A=r^{2}\pi. [/mm] Ich versteh leider nicht, wie ich die Flächen des mittleren und äußeren Kreises berechnen soll. Könntest du dies vielleicht bitte näher erklären??
Steffy
|
|
|
| |
|
Hallo Steffy!
Der innerste Bereich ist ja ein Kreis mit [mm] $r_1 [/mm] \ = \ 1 \ cm$ , dessen Fläche [mm] $A_1 [/mm] \ = \ [mm] \pi*r_1^2 [/mm] \ = \ [mm] \pi*1^2 [/mm] \ = \ [mm] \pi [/mm] \ [mm] cm^2$ [/mm] beträgt.
Die anderen beiden Bereiche bestehen aus Kreisringen, bei dem Du von der Kreisfläche wiederum den inneren Bereich wieder abziehen musst:
[mm] $A_2 [/mm] \ = \ [mm] \pi*r_2^2-A_1 [/mm] \ = \ [mm] \pi*3^2-\pi [/mm] \ = \ [mm] 8*\pi [/mm] \ [mm] cm^2$
[/mm]
[mm] $A_3 [/mm] \ = \ [mm] \pi*r_3^2-A_2-A_1 [/mm] \ = \ [mm] \pi*5^2-8*\pi-\pi [/mm] \ = \ [mm] 16*\pi [/mm] \ [mm] cm^2$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:45 Mi 01.08.2007 | | Autor: | rabilein1 |
@ Roadrunner: Der ganz innere Kreis muss bei [mm] A_{3} [/mm] auch noch subtrahiert werden.
@ Steffi: Da es ja quasi nur um die Verhältnisse der Flähen zueinander geht, kannst du bei den weiteren Berechnungen das "Pi" ruhig vernachlässigen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 Mi 01.08.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo rabilein!
Gut aufgepasst ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") ... ich habe es korrigiert.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Do 02.08.2007 | | Autor: | Steffy |
Hallo,
ich komm leider, trotz deiner Tipps, nicht weiter.
Könnte mir da bitte jemand nochmals weiter helfen??? :-(
Danke im voraus.
Steffy
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> ich komm leider, trotz deiner Tipps, nicht weiter.
>
>
> Könnte mir da bitte jemand nochmals weiter helfen??? :-(
>
>
> Danke im voraus.
Also die Grundidee ist, dass sich die Wahrscheinlichkeiten eine der Kreisflächen zu treffen zueinander verhalten, wie deren Flächeninhalte. Sei [mm] $K_1$, $K_3$ [/mm] bzw. [mm] $K_5$ [/mm] das Ereignis, dass der Kreis mit Radius 1, 3, bzw. 5 getroffen wird.
Es wird uns gesagt, dass [mm] $\mathrm{P}(K_5)=0.5$ [/mm] ist. Die Wahrscheinlichkeiten für die anderen beiden Ereignisse erhalten wir nun eben, indem wir diese Wahrscheinlichkeit [mm] $\mathrm{P}(K_5)$ [/mm] mit dem Verhältnis der Flächeninhalte multiplizieren (obwohl von vornherein klar ist, dass sich der Zähler und Nenner gemeinsame Faktor [mm] $\pi$ [/mm] wegkürzt schreibe ich ihn dennoch hin). Es ist also:
[mm]\begin{array}{lclclcl}
\mathrm{P}(K_1) &=& \frac{\pi 1^2}{\pi 5^2}\cdot\mathrm{P}(K_5) &=& \frac{1}{25}\cdot 0.5 &=& 0.02\\
\mathrm{P}(K_3) &=& \frac{\pi 3^2}{\pi 5^2}\cdot\mathrm{P}(K_5) &=& \frac{9}{25}\cdot0.5 &=& 0.18
\end{array}[/mm]
Damit hast Du die Wahrscheinlichkeiten für die diversen mit einem Wurf erzielten Punktezahlen
Nachtrag: Hoppla, da habe ich mir die Sache etwas zu leicht gemacht. Die Wahrscheinlichkeiten für die Punktezahlen sind nicht dieselben, wie diejenigen, einen der drei Kreise zu treffen. Ist ist [mm] $\mathrm{P}(\text{10 Punkte})=\mathrm{P}(K_1)=0.02$, [/mm] aber [mm] $\mathrm{P}(\text{5 Punkte})=\mathrm{P}(K_3)-\mathrm{P}(K_1)=0.18-0.02=0.16$ [/mm] und [mm] $\mathrm{P}(\text{3 Punkte})=\mathrm{P}(K_5)-\mathrm{P}(K_3)=0.5-0.18=0.32$.
[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit, keinen Punkt zu erzielen, ist natürlich [mm] $1-\mathrm{P}(K_5)=0.5$.
[/mm]
Den Erwartungswert der in einem Wurf erzielten Punktezahl erhältst Du, indem die Punktezahlen, gewichtet mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit zusamm enzählst.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Do 02.08.2007 | | Autor: | Steffy |
Danke für die super Erklärung.
Ich hab blöderweise die Wahrscheinlichkeit von 0,5 auf die ganze Zielscheibe bezogen.
Gruß, Steffy
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:45 Fr 03.08.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> Aufgabe: Die Wahrscheinlichkeit die große Kreisscheibe zu treffen sei gleich 0,5
> Ich hab blöderweise die Wahrscheinlichkeit von 0,5 auf die
> ganze Zielscheibe bezogen.
Ist "große Kreisscheibe" gleich "Zielscheibe"???
Ich würde sagen: JA - Falls NEIN, dann wäre die Aufgabe schlecht formuliert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Fr 03.08.2007 | | Autor: | Somebody |
> > Aufgabe: Die Wahrscheinlichkeit die große Kreisscheibe zu
> treffen sei gleich 0,5
>
> > Ich hab blöderweise die Wahrscheinlichkeit von 0,5 auf die
> > ganze Zielscheibe bezogen.
>
> Ist "große Kreisscheibe" gleich "Zielscheibe"???
> Ich würde sagen: JA - Falls NEIN, dann wäre die Aufgabe
> schlecht formuliert.
Ohne nun über diesen konkreten Aufgabentext lange philosophieren zu wollen, fällt mir dazu Folgendes ein: Es genügt meiner Meinung nach, eine plausible Interpretation des Aufgabentextes korrekt zu Ende gerechnet zu haben. Damit hat man Anspruch auf die volle Punktezahl. Um überhaupt eine Aufgabe lösen zu können, muss man bei der Wahl einer Interpretation oft berücksichtigen, ob die betreffende Interpretation des Aufgabentextes überhaupt zu einer rechnerisch lösbaren Aufgabe führt - oder nicht. Am Beispiel dieser Aufgabe wäre dies z.B. die Frage, auf welche genaue Zielfläche sich die Angabe der Wahrscheinlichkeit $0.5$ bezieht. Ich habe im Moment einige Mühe zu sehen, wie eine wesentlich andere Interpretation (als dass es sich um die Wahrscheinlichkeit handelt, den Kreis mit Radius $5$ zu treffen) zu einer lösbaren Aufgabe führt.
Falls der Aufgabensteller eine andere Interpretation des Aufgabentextes beabsichtigt hatte, muss es ihm, sofern er uns nicht die volle Punktezahl gewähren will, möglich sein zu zeigen, inwiefern unserer Interpretation durch den Aufgabentext selbst widersprochen wird. - Nur einzuwenden, dass ihm seine eigene Interpretation "natürlicher" erscheine, genügt meiner Meinung nach nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Fr 03.08.2007 | | Autor: | rabilein1 |
> Um überhaupt eine Aufgabe lösen zu können, muss man bei der Wahl
> einer Interpretation oft berücksichtigen, ob die betreffende
> Interpretation des Aufgabentextes überhaupt zu einer rechnerisch
> lösbaren Aufgabe führt - oder nicht.
Die meisten Aufgaben führen auch dann zu einer rechnerischen Lösung, wenn man sie falsch interpretiert.
In diesem ganz konkreten Fall könnte man auch auf den Gedanken kommen, nur den äußeren Ring (also nicht die gesamte Zielscheibe) mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5 zu treffen.
In beiden Fällen wäre die Aufgabe lösbar - nur kommen eben völlig unterschiedliche Erwartungswerte heraus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:25 Sa 04.08.2007 | | Autor: | Somebody |
> > Um überhaupt eine Aufgabe lösen zu können, muss man bei der
> Wahl
> > einer Interpretation oft berücksichtigen, ob die
> betreffende
> > Interpretation des Aufgabentextes überhaupt zu einer
> rechnerisch
> > lösbaren Aufgabe führt - oder nicht.
>
> Die meisten Aufgaben führen auch dann zu einer
> rechnerischen Lösung, wenn man sie falsch interpretiert.
>
> In diesem ganz konkreten Fall könnte man auch auf den
> Gedanken kommen, nur den äußeren Ring (also nicht die
> gesamte Zielscheibe) mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5
> zu treffen.
Auf diesen Gedanken kann man zwar kommen, jedoch widerspricht dies der Rede von der Wahrscheinlichkeit $0.5$ den "grossen Kreis" (nicht den äusseren Kreisring) zu treffen.
>
> In beiden Fällen wäre die Aufgabe lösbar - nur kommen eben
> völlig unterschiedliche Erwartungswerte heraus.
Stimmt, aber hier widerspricht, denke ich, der Aufgabentext dieser zweiten Interpretation.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 Sa 04.08.2007 | | Autor: | rabilein1 |
@ Somebody:
Ich interpretiere die Aufgabe ja auch so wie du.
Aber dann schrieb Steffie: "Ich hab blöderweise die Wahrscheinlichkeit von 0,5 auf die ganze Zielscheibe bezogen".
Daraus schloss ich dann, dass das wohl anders gemeint war.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Sa 04.08.2007 | | Autor: | Somebody |
> @ Somebody:
> Ich interpretiere die Aufgabe ja auch so wie du.
>
> Aber dann schrieb Steffie: "Ich hab blöderweise die
> Wahrscheinlichkeit von 0,5 auf die ganze Zielscheibe
> bezogen".
Stimmt, diese Antwort von Steffie verstand ich auch nicht. Ich dachte damals, als ich dies las, dass Steffie dies einfach im Sinne einer ersten, vielleicht zu hastigen Reaktion geschrieben hatte, und dass ich vielleicht, sobald ihr nach genauerem Hinschauen mein Lösungsvorschlag doch nicht einleuchten sollte, wieder von ihr hören würde. Deshalb (und weil eine blosse Mitteilung manchmal übersehen wird) reagierte ich auf Steffies Mitteilung nicht.
> Daraus schloss ich dann, dass das wohl anders gemeint war.
Dass Steffie etwas anderes gemeint hatte als wir: das ist möglich. Aber ich sehe leider nicht, wie ich Steffies Mitteilung mit dem Aufgabentext zusammenbringen kann...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 So 05.08.2007 | | Autor: | Steffy |
Hallo,
bei meiner Antwort "Ich hab blöderweise die Wahrscheinlichkeit von 0,5 auf die ganze Zielscheibe bezogen" hab ich ein sehr wichtiges Wort vergessen und zwar "nicht" .
Es hätte also heißen müssen: "Ich hab blöderweise die Wahrscheinlichkeit von 0,5 nicht auf die ganze Zielscheibe bezogen"
Was so ein fehledes Wort alles bewirken kann.
Gruß, Steffy
|
|
|
|
