Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Ich habe große Probleme bei der Lösung 2er Aufgaben zu meiner Stochastik-Vorlesung.
Es geht bei beiden um den Erwartungswert:
1)
Ein fairer Würfel wird viermal geworfen.
[mm] X_{i} [/mm] sei das Ergebnis des i-ten Wurfes.
Sei X:=min{ [mm] X_{1},...,X_{4} [/mm] }.
Bestimme E(X).
2)
In einer Spielbank kann man folg. Spiel spielen:
Für einen Einsatz x darf der Spieler einmal mit 2 Würfeln würfeln.
Würfelt er die Augensumme 2,3,4,10,11 oder 12, dann erhält er den Einsatz zurück und zusätzlich die gewürfelte Augenzahl ausbezahlt.
In den übrigen Fällen verliert er den Einsatz.
Welchen Einsatz x muss die Bank verlangen, damit sie durchschnittlich 5% Gewinn macht?
Könnt ihr mir bei meinen Aufgaben behilflich sein?
Mit Ansätzen wäre ich schon sehr dankbar!
Vielen Dank schon mal im Voraus.
MfG
Karin
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Karin!
Zur a)
Es gilt wegen der Unabhängigkeit der Würfe für [mm] $k=1,2,\ldots,6$:
[/mm]
[mm] $P(\min(X_1,\ldots,X_4) \le [/mm] k) = [mm] P(X_1 \le k,\ldots,X_4 \le [/mm] k) = [mm] \left( \frac{k}{6} \right)^4$.
[/mm]
Berechne nun
[mm] $E[\min(X_1,\ldots,X_4) [/mm] ] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty} P(\min(X_1,\ldots,X_4) [/mm] > k)$.
Zur b)
Der stochastische Gewinn/Verlust der Spielbank beträgt, wenn $X$ die stochastische Augensumme ist:
$Z= x - (2+x) [mm] \cdot 1_{\{X=2\}} [/mm] - (3+x) [mm] \cdot 1_{\{X=3\}} [/mm] - (4+x) [mm] \cdot 1_{\{X=4\}} [/mm] - (10+x) [mm] \cdot 1_{\{X=10\}} [/mm] - (11+x) [mm] \cdot 1_{\{X=11\}} [/mm] - (12+x) [mm] \cdot 1_{\{X=12\}}$.
[/mm]
Berechne mal $E[Z]$.
Viebe Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
Hi Julius!
Zuerst einmal möchte ich mich für Deine schnelle Antwort bedanken!
Doch leider verstehe ich ein paar Dinge nicht:
Bei der 1. Aufgabe sagst Du:
[mm] P(\min(X_1,\ldots,X_4) \le [/mm] k) = [mm] P(X_1 \le k,\ldots,X_4 \le [/mm] k) = [mm] \left( \frac{k}{6} \right)^4
[/mm]
Wie kommst Du darauf (auf das [mm] ...\le [/mm] k)?
k ist doch die Augenzahl des Wurfes?
In der nächsten Zeile schreibst Du dann:
[mm] E[\min(X_1,\ldots,X_4) \le [/mm] k] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty} P(\min(X_1,\ldots,X_4) [/mm] > k)
Wieso steht dann hier bei der Summe > k?
Bei der 2. Aufgabe sagst Du:
Z= x - (2+x) [mm] \cdot 1_{\{X=2\}} [/mm] - (3+x) [mm] \cdot 1_{\{X=3\}} [/mm] - (4+x) [mm] \cdot 1_{\{X=4\}} [/mm] - (10+x) [mm] \cdot 1_{\{X=10\}} [/mm] - (11+x) [mm] \cdot 1_{\{X=11\}} [/mm] - (12+x) [mm] \cdot 1_{\{X=12\}}
[/mm]
(wobei X die stochastische Augensumme ist).
Wie kommst Du auf diesen Term?
Das "klein" x ist doch bei Dir auch der Einsatz des Spielers, oder?
Wie soll ich dann hier E[Z] ausrechnen?
Wie muss ich mir das denn vorstellen?
Und wie bringe ich dann die 5%-Gewinn der Spielbank in die Rechnung?
Stehe echt total auf dem Schlauch!
Könntest Du mir (mir Dummerchen) das nochmal erklären?
Wäre echt lieb!
Vielen Dank schon mal (nochmal)!
GuK
Karin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 Do 09.12.2004 | | Autor: | karin1982 |
Hi nochmal!
Hab die Ansätze nicht ganz verstanden!
Hatte deswegen nochmal 'ne Frage gepostet (über dieser).
Kann mir jemand weiterhelfen?
Hänge mal wieder total daran!
Bitte um Hilfe!
VlG
Karin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Do 09.12.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Also, für eine diskrete Zufallsvariable mir Werte in [mm] $\IN_0$ [/mm] gilt für den Erwartungswert
$E[X] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty} [/mm] P(X>k)$.
Wir müssen also die $P(X>k)$ berechnen. Häufig ist es aber leichter die Wahrscheinlichkeiten $P(X [mm] \le [/mm] k)$ zu berechnen. Daraus erhält man dann aber $P(X>k)$ mittels
$P(X>k) = 1 - P(X [mm] \le [/mm] k)$.
In unserem Fall gilt:
[mm] $E[\min(X_1,X_2,X_3,X_4)] [/mm] = [mm] \sum\limits_{k=0}^{\infty} [/mm] P( [mm] \min(X_1,X_2,X_3,X_4) [/mm] > k)$
und
$P( [mm] \min(X_1,X_2,X_3,X_4) [/mm] > k) = 1 - [mm] P(\min(X_1,X_2,X_3,X_4) \le [/mm] k)$.
Nun ist das Minimum von vier Zahlen genau dann kleiner gleich $k$, wenn alle vier Zahlen kleiner gleich $k$ sind. Daher gilt:
[mm] $P(\min(X_1,X_2,X_3,X_4) \le [/mm] k) = [mm] P(X_1 \le [/mm] k, [mm] X_2\le [/mm] k, [mm] X_3 \le [/mm] k, [mm] X_4 \le [/mm] k)$.
Nutzt man nun die stochastische Unabhängigkeit von [mm] $X_1,X_2,X_3,X_4$ [/mm] aus, so folgt:
[mm] $P(X_1 \le [/mm] k, [mm] X_2\le [/mm] k, [mm] X_3 \le [/mm] k, [mm] X_4 \le [/mm] k) = [mm] P(X_1 \le [/mm] k) [mm] \cdot P(X_2 \le [/mm] k) [mm] \cdot P(X_3 \le [/mm] k) [mm] \cdot P(X_4 \le [/mm] k)$.
Nun ist aber für $i=1,2,3,4$
[mm] $P(X_i \le [/mm] k) = [mm] P(X_i \in \{1,2,\ldots,k\}) [/mm] = [mm] \frac{k}{6}$
[/mm]
für $k [mm] \in \{1,2,\ldots,6\}$.
[/mm]
Wenn du alles zusammensetzt, erhältst du die Behauptung.
Viele Grüße
Julius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Fr 10.12.2004 | | Autor: | karin1982 |
Hi Julius!
Vielen Dank für Deine nette Hilfe bei den Aufgaben!
Hast mir echt super geholfen!
VlG
Karin
|
|
|
|
