Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:52 Do 03.02.2005 | | Autor: | xsjani |
Hallo, ich habe nochmal eine Aufgabe zum Erwartungswert bekommen und brauche beim Beweis mal wieder ein bisschen Hilfe.
Also die Aufgabe lautet:
X,Y: [mm] \Omega \rightarrow \IR [/mm] seien unabhängige Zufallsvariablen, deren Erwartungswerte existieren. Skizziere einen Beweis der Tatsache, dass
E(X*Y) = EX * EY ist.
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Grüße!
Nun, ich weiß nicht, ob das als Beweisskizze ausreicht, wenn ich "Fubini" sage...
Aber beachte einfach, was für bei Produkten von Verteilungen unabhängiger Zufallsvariablen gilt. 
Lars
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Da du die Frage wieder auf "unbeantwortet" gestellt hast, gehe ich mal davon aus, dass du mit Lars Hinweis nicht zurechtkommst. In diesem Fall wäre eine kleine Mitteilung zusätzlich zur Statusänderung sehr hilfreich.
Eigentlich hat Lars das Wesentlich aber gesagt. Ich will nur noch ein kleines bisschen ausführlicher werden und warte dann mal auf deine Ideen.
Die Tatsache, dass $X$ und $Y$ stochastisch unabhängig sind, bedeutet ja, dass die gemeinsame Verteilung, also die Verteilung des zweidimensionalen Zufallsvektors $(X,Y)$, bezeichnet mit [mm] $P_{(X,Y)}$, [/mm] gerade gleich dem Produkt der Verteilungen der beiden Zufallsvariablen $X$ und $Y$, also gleich [mm] $P_X \otimes P_Y$, [/mm] ist.
Kurz geschrieben:
(*) $X,Y [mm] \quad \mbox{stochastisch unabhängig} \quad \Rightarrow \quad P_{(X,Y)} [/mm] = [mm] P_X \otimes P_Y$.
[/mm]
Merken wir uns das. Jetzt fangen wir mit dem Beweis an:
$E[XY]$
[mm] $=\int\limits_{\Omega} XY\, [/mm] dP$
[mm] $=\int\limits_{\IR^2} xy\, dP_{(X,Y)}(x,y)$
[/mm]
[mm] $\stackrel{(\*)}{=} \int\limits_{\IR^2} xy\, d(P_X \otimes P_Y)(x,y)$
[/mm]
$= [...]$
So, und jetzt kommt der Satz von Fubini ins Spiel. Um besser nachvollziehen können, wie man den hier anwendet, kannst du ja mit der anderen Seite der zu zeigenden Gleichung beginnen:
$E[X] [mm] \cdot [/mm] E[Y]$
[mm] $=\int\limits_{\Omega}X\, [/mm] dP [mm] \cdot \int\limits_{\Omega}Y\, [/mm] dP$
[mm] $=\int\limits_{\IR}x\, dP_X(x) \cdot \int\limits_{\IR}y\, dP_Y(y)$.
[/mm]
So, warum sind nun die beiden Seiten gleich? Naja, wegen Fubini halt. Aber du solltest vorher mal schauen, ob die Voraussetzungen des Satzes von Fubini überhaupt erfüllt sind! Mache dir das bitte ganz genau klar .
Liebe Grüße
Julius
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