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Hey, hab mal ne Frage zum Erwartungswert für diskrete Zufallsvariablen, also sei z.B. X diese ZV (auf natürlichen Zahlen ohne Null) und es gelte [mm] P(X=n)=2^{-n}. [/mm] Nun meine Frage, kann ich schreiben:
[mm] E(X^{2})=\summe_{i=1}^{\infty}i^{2}*P(X=i) [/mm] oder muss ich die Wahrscheinlichkeit auch quadrieren???
mfg piccolo
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ok, dann hab ich jetzt folgendes Problem. Es ergibt sich:
[mm] E(X^{2})=\summe_{i=1}^{\infty}i^{2}*2^{-i} [/mm] hat jemand vllt ne Idee, wie ich das lösen kann??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Di 10.11.2009 | | Autor: | luis52 |
> ne Idee, wie ich das lösen kann??
Leite $ [mm] f(x)=\summe_{i=1}^{\infty}x^i [/mm] $ zweimal ab ... (Wo darf man das?)
vg Luis
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ok, wenn ich das 2 mal ableite erhalte ich:
[mm] f''(x)=\summe_{i=1}^{\infty}(i^{2}-i)*x^{i-2} [/mm]
jetzt könnte ich ja die geometrische Reihe evtl ins Spiel bringen oder da x zwischen 0 und 1 liegt oder?? Also:
[mm] f''(x)=\summe_{i=1}^{\infty}(i^{2}-i)*x^{i-2}=\frac{2}{1-x^{3}} [/mm]
Ich weiss jetzt nicht so genau, wie ich das auf mein Problem [mm] \summe_{i=1}^{\infty}i^{2}*2^{-i}=\frac{1}{4}\summe_{i=1}^{\infty}i^{2}*(\frac{1}{2})^{i-2} [/mm] anwenden kann??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Di 10.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
es gilt also
[mm] $f''(x)=\frac{1}{x^2}\summe_{i=1}^{\infty}(i^{2}-i)\cdot{}x^{i}= \frac{1}{x^2}(\summe_{i=1}^{\infty}i^{2}x^i-\summe_{i=1}^{\infty}ix^i)$
[/mm]
Andererseits ist $f(x)=x/(1-x)$. Leite einmal nach $x_$ ab, und du
erhaeltst eine geschlossene Form fuer [mm] $\summe_{i=1}^{\infty}ix^i$. [/mm] Leite
noch einmal ab, und du erhaeltst eine geschlossene Form fuer $f''(x)$.
Loese nun nach [mm] $\summe_{i=1}^{\infty}i^{2}x^i$ [/mm] auf.
vg Luis
PS: FYI [mm] $\summe_{i=1}^{\infty}i^{2}(1/2)^i=6$. [/mm]
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ok, alles klar, habs jetzt hinbekommen, danke
mfg piccolo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:46 Mi 11.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Prima, weiter so! 
vg Luis
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