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| Aufgabe | | In einem Sack befinden sich 15 Kugeln. 10 davon sind schwarz und 5 weiß. Aus dem Sack werden 2 Kugeln gezogen. Gesucht sind der Erwartungswert und die Standardabweichung für die Zahl der weißen Kugeln in der Stichprobe. |
Hallo zusammen,
Ich habe da so meine Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe. Ich stelle erstmal zusammen, was ich schon habe:
1.
[mm] \Omega={\omega=(x_1;x_2),x_1,x_2\in{S,W}}, \Omega'={0,1,2} [/mm]
2.
X: [mm] \Omega\to\Omega'
[/mm]
X: [mm] (x_1;x_2)\mapsto#W
[/mm]
Jetzt ist mir schon nicht ganz klar, wie man den Erwartungswert berechnet. Also man benutzt die Formel [mm] \summe_{\omega'\in\Omega}\omega'P{\omega'}
[/mm]
heißt das, man berechnet das jetzt folgendermaßen?
[mm] EX=\summe_{\omega'\in\Omega}\omega'P{\omega'}=\omega_0'*\bruch{34*33}{40*39}+\omega_1'*(\bruch{6*34}{40*39}*2)+\omega_2'(\bruch{6*5}{40*39})=0*\bruch{34*33}{40*39}+1*(\bruch{6*34}{40*39}*2)+2*(\bruch{6*5}{40*39})=\bruch{3}{10}
[/mm]
3. [mm] Standardabweichung=\wurzel{Var(X)}=\wurzel{E(X-E(X))^2}
[/mm]
Welchen Wert hat mein X? Ich dachte X ist eine Funktion?
Ich danke schon im Voraus für jeden Hinweis!
lg,
euer Duke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:22 Fr 21.05.2010 | | Autor: | statler |
Hi,
vielleicht solltest du erstmal verraten, ws denn überhaupt dein X ist. Die Anzahl der schwarzen Kugeln? X muß eine zahlenwertige Abbildung sein!
Und legst du zurück oder nicht? Wahrscheinlich nicht, aber das muß klar gesagt werden.
Gruß und frohe Pfingsten
Dieter
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> In einem Sack befinden sich 15 Kugeln. 10 davon sind
> schwarz und 5 weiß. Aus dem Sack werden 2 Kugeln gezogen.
> Gesucht sind der Erwartungswert und die Standardabweichung
> für die Zahl der weißen Kugeln in der Stichprobe.
> Hallo zusammen,
>
> Ich habe da so meine Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe.
> Ich stelle erstmal zusammen, was ich schon habe:
> 1.
> [mm]\Omega={\omega=(x_1;x_2),x_1,x_2\in{S,W}}, \Omega'={0,1,2}[/mm]
> 2.
> X: [mm]\Omega\to\Omega'[/mm]
> X: [mm](x_1;x_2)\mapsto#W[/mm]
> Jetzt ist mir schon nicht ganz klar, wie man den
> Erwartungswert berechnet. Also man benutzt die Formel
> [mm]\summe_{\omega'\in\Omega}\omega'P{\omega'}[/mm]
> heißt das, man berechnet das jetzt folgendermaßen?
>
> [mm]EX=\summe_{\omega'\in\Omega}\omega'P{\omega'}=\omega_0'*\bruch{34*33}{40*39}+\omega_1'*(\bruch{6*34}{40*39}*2)+\omega_2'(\bruch{6*5}{40*39})=0*\bruch{34*33}{40*39}+1*(\bruch{6*34}{40*39}*2)+2*(\bruch{6*5}{40*39})=\bruch{3}{10}[/mm]
> 3.
> [mm]Standardabweichung=\wurzel{Var(X)}=\wurzel{E(X-E(X))^2}[/mm]
> Welchen Wert hat mein X? Ich dachte X ist eine Funktion?
>
> Ich danke schon im Voraus für jeden Hinweis!
> lg,
> euer Duke
Hallo Duke,
ich nehme an, dass zwei Kugeln aus dem Sack genommen
werden (ohne Zurücklegen), da von der "Zahl der weißen
Kugeln in der Stichprobe" die Rede ist.
Diese Anzahl - nennen wir sie X - kann ja nur die Werte 0, 1
oder 2 annehmen.
Dann ist der Erwartungswert dieser Zufallsgröße X:
$\ E(X)\ =\ P(X=0)*0 +P(X=1)*1 +P(X=2)*2$
Die Wahrscheinlichkeit P(X=0), also die Wahrscheinlichkeit,
keine weiße Kugel zu ziehen, berechnet man kombinatorisch.
Ich erhalte dafür den Wert [mm] P(X=0)=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}
[/mm]
und schließlich für den Erwartungswert:
$\ E(X)\ =\ [mm] \frac{2}{3}$
[/mm]
Deine kombinatorischen Berechnungen konnte ich nicht
nachvollziehen.
LG Al-Chw.
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Hallo Al-Chw,
Vielen Dank für deine Antwort. Ich denke, das mit dem Erwartungswert habe ich verstanden. Kannst Du mir vielleicht das mit der Varianz/der Standardabweichung noch erklären?
Bei [mm] \wurzel{E((X-E(X))^2)}kommt [/mm] doch für X-E(X) immer eine Zahl raus und der Erwartungswert einer Zahl ist doch immer die Zahl selbst, dachte ich. Wozu dann der ganze Aufstand?
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> Hallo Al-Chw,
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> Vielen Dank für deine Antwort. Ich denke, das mit dem
> Erwartungswert habe ich verstanden. Kannst Du mir
> vielleicht das mit der Varianz/der Standardabweichung noch
> erklären?
> Bei [mm]\wurzel{E((X-E(X))^2)}kommt[/mm] doch für X-E(X) immer
> eine Zahl raus und der Erwartungswert einer Zahl ist doch
> immer die Zahl selbst, dachte ich. Wozu dann der ganze
> Aufstand?
Da hast du aber womöglich die Rolle des Quadrates in der
Formel übersehen.
Es ist natürlich E(X-E(X))=0 , aber daraus folgt nicht, dass
[mm] E((X-E(X))^2)=0 [/mm]
Für die Berechnung der Varianz (und der Standardabweichung)
würde ich hier den ![[]](/images/popup.gif) Verschiebungssatz verwenden.
LG Al-Chw.
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Hi, Al-Chwarizmi,
Vielen Dank für Deine Hilfe bisher!
folgendes Problem:
Ich versuche also, die Varianz mit Hilfe von [mm] Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2 [/mm] zu berechnen. Wäre in der Aufgabe von vorhin dann [mm] E(X^2)=0 [/mm] für X=2? Denn E(X=4) existiert ja gar nicht...
Viele Grüße,
Der Duke
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> Hi, Al-Chwarizmi,
>
> Vielen Dank für Deine Hilfe bisher!
> folgendes Problem:
> Ich versuche also, die Varianz mit Hilfe von
> [mm]Var(X)=E(X^2)-(E(X))^2[/mm] zu berechnen. Wäre in der Aufgabe
> von vorhin dann [mm]E(X^2)=0[/mm] für X=2? Denn E(X=4) existiert ja
> gar nicht...
>
> Viele Grüße,
> Der Duke
Die Zufallsvariable X (= Anzahl der gezogenen weißen Kugeln)
kann nur die Werte 0, 1 oder 2 annehmen, [mm] X^2 [/mm] demzufolge
die Werte 0, 1 oder 4 , und zwar mit den vorher berechneten
Wahrscheinlichkeiten [mm] \frac{9}{21} [/mm] , [mm] \frac{10}{21} [/mm] , [mm] \frac{2}{21}.
[/mm]
Daraus kann man [mm] E(X^2) [/mm] leicht berechnen.
Sowas wie E(X=4) macht hier überhaupt keinen Sinn. Man
könnte allenfalls nach P(X=4) fragen. Das wäre dann P(X=4)=0 .
LG Al-Chw.
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Funktioniert es dann so?
[mm] X^2:\begin{cases} \Omega \to \Omega'' \\ (x_1; x_2) \mapsto (\mbox{Anzahl der weißen Kugeln})^2 \end{cases}
[/mm]
[mm] P(X^2=0)=P(X=0)=\bruch{10*9}{15*14}=\bruch{9}{21}
[/mm]
etc.
Al-Chwarizmi, Du bist wundervoll!
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> Funktioniert es dann so?
> [mm]X^2:\begin{cases} \Omega \to \Omega'' \\ (x_1; x_2) \mapsto (\mbox{Anzahl der weißen Kugeln})^2 \end{cases}[/mm]
statt [mm] \Omega'' [/mm] würde ich einfach [mm] \IN_0 [/mm] schreiben ...
> [mm]P(X^2=0)=P(X=0)=\bruch{10*9}{15*14}=\bruch{9}{21}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> etc.
>
> Al-Chwarizmi, Du bist wundervoll!
danke für die ![[flowers]](/images/smileys/flowers.gif "[flowers]") !
LG Al-Chw.
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