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Forum "Uni-Stochastik" - Erwartungswert
Erwartungswert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Erwartungswert: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:15 Di 09.11.2010
Autor: Noctem09

Aufgabe
Zu zeigen ist, dass für eine ganzzahlige, nichtnegative Zufallsvariable X gilt:

E(X) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}P(x \ge [/mm] n)

E(X): Erwartungswert der Zufallsvariable X

Hi,

die obige Aussage ist mir schon klar. Der formale Beweis leider nicht.

Für den Erwartungswert E(X) gilt:

E(X) = [mm] \summe_{i \in I}{} x_{i} [/mm] * P(x = [mm] x_{i}) [/mm]

Wie fahre ich fort?

Danke für die Hilfe!

        
Bezug
Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:18 Di 09.11.2010
Autor: fred97


> Zu zeigen ist, dass für eine ganzzahlige, nichtnegative
> Zufallsvariable X gilt:
>  
> E(X) = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}P(x \ge[/mm] n)
>  
> E(X): Erwartungswert der Zufallsvariable X
>  Hi,
>  
> die obige Aussage ist mir schon klar.

Das ist ja schon mal prima. Dann teile doch Deine Gedanken mit, vielleicht kann man aus ihnen einen auch formal korrekten Beweis machen !

FRED

> Der formale Beweis
> leider nicht.
>  
> Für den Erwartungswert E(X) gilt:
>  
> E(X) = [mm]\summe_{i \in I}{} x_{i}[/mm] * P(x = [mm]x_{i})[/mm]
>  
> Wie fahre ich fort?
>  
> Danke für die Hilfe!


Bezug
                
Bezug
Erwartungswert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:47 Di 09.11.2010
Autor: Noctem09

Okay, ich habe mir das bisher nur an einem Beispiel klar gemacht:

Zufallsexperiment: 2-maliges Würfeln
Betrachtung der Augensumme

[mm] X(\omega_{1},\omega_{2})= \begin{cases} 1, & \mbox{wenn } \mbox{Augensumme kleiner 6} \\ 2, & \mbox{wenn } \mbox{ Augesumme im Bereich von einschließlich 6 bis einschließlich 9} \\ 3, & \mbox{wenn } \mbox{ Augesumme größer als 9} \end{cases} [/mm]

Nach der allgemeinen Formel für den EW ergibt sich:
E(X) = 1 * (10/36) + 2 * (20/36) + 3* (6/36) = 17/9

Nach der Aufgabe ergibt sich:
E(X) = (10/36) + (20/36) + (6/36) + (20/36) + (6/36) + (6/36) = 17/9

Ist das ein passendes Beispiel? Ich tue mich bei der Verallgemeinerung schwer, obwohl es sich um eine leichte Aufgabe handeln sollte.

Vielen Dank für die Geduld!

Bezug
                        
Bezug
Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:51 Di 09.11.2010
Autor: luis52

Moin,

ich schalte mich hier mal frech ein. ;-)

Ich fuerchte, dein Beispiel wird nicht zum Ziel fuehren, zumal nur endlich viele Werte angenommen werden.

Schreib mal $ [mm] \summe_{n=1}^{4}P(X\ge [/mm]  n) $ explizit auf. Faellt dir was auf?
Noch ein Tipp: [mm] $P(X\ge n)=P(X=n)+P(X=n+1)+\dots$ [/mm]

vg Luis

Bezug
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