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| Aufgabe | Ein Glücksrad hat 6 gleichgeteilte Flächen wobei jeweils 3 Flächenanteile Schwarz und 3 Weiß sind.
Das Rad wird nun 20 mal hintereinander gedreht. Fur i = 1,2,...,20 gebe [mm] X_{i} [/mm] an, ob in der i-ten Drehung schwarz gedreht wird oder nicht, d.h.
[mm] X_{i}=\begin{cases} 1, & \mbox{ wenn in der i-ten Drehung der Zeiger im schwarzen Bereich stehen bleibt} \\ 0, & \mbox{ sonst.} \end{cases}
[/mm]
Zudem gebe X an, wie oft schwarz in den zwanzig Drehungen insgesamt als Ergbnis erzielt wurde.
Nun wird das Rad so lange gedreht, bis es das erste mal im schwarzen Bereich anhält. Y gebe
die Anzahl der Versuche an, bis zum ersten Mal schwarz kommt.
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert von [mm] X_{i} [/mm] (i = 1, ..., 20).
b) Wie oft wird schwarz im Mittel insgesamt gedreht? Finden Sie einen Zusammenhang zu dem Ergebnis aus a).
c) Wie oft muss im Mittel gedreht werden, bis schwarz zum ersten Mal kommt?
d) Bestimmen Sie die Varianzen der drei Zufallsvariablen und interpretieren Sie sie! |
Hey Leute!
a) Was genau wird hier gesucht? Etwa [mm] E(X_{1}), E(X_{2}), [/mm] usw bis [mm] E(X_{20}) [/mm] oder eine allgemeine Form des Erwartungswertes [mm] E(X_{i}).
[/mm]
Wie berechne ich hier die Wahrscheinlichkeiten? Tipps bitte.
b) X ist eine Binominalverteile Zufallsvariable und daher die Summe der einzelenen Bernoulli-Experimente
[mm] X=\summe_{i=1}^{20}=X_{1}+X_{2}+...X_{20}
[/mm]
Wegen E(X+Y)=E(X)+E(Y) folgt
[mm] E(X)=E(\summe_{i=1}^{20})=E(X_{1})+E(X_{2})+...+E(X_{20})
[/mm]
Weil der Erwartungswert von diesen 20 unabhängigen Bernoulli-Experimenten immer p ist folgt
p+p+...p=p*n=0,5*20=10
c) Hier wäre ich auch für Hilfe dankbar
Vielen Grüße, Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Walde |
Hi Daniel,
> Ein Glücksrad hat 6 gleichgeteilte Flächen wobei jeweils
> 3 Flächenanteile Schwarz und 3 Weiß sind.
> Das Rad wird nun 20 mal hintereinander gedreht. Fur i =
> 1,2,...,20 gebe [mm]X_{i}[/mm] an, ob in der i-ten Drehung schwarz
> gedreht wird oder nicht, d.h.
>
> [mm]X_{i}=\begin{cases} 1, & \mbox{ wenn in der i-ten Drehung der Zeiger im schwarzen Bereich stehen bleibt} \\ 0, & \mbox{ sonst.} \end{cases}[/mm]
>
> Zudem gebe X an, wie oft schwarz in den zwanzig Drehungen
> insgesamt als Ergbnis erzielt wurde.
> Nun wird das Rad so lange gedreht, bis es das erste mal im
> schwarzen Bereich anhält. Y gebe
> die Anzahl der Versuche an, bis zum ersten Mal schwarz
> kommt.
>
> a) Bestimmen Sie den Erwartungswert von [mm]X_{i}[/mm] (i = 1, ...,
> 20).
> b) Wie oft wird schwarz im Mittel insgesamt gedreht?
> Finden Sie einen Zusammenhang zu dem Ergebnis aus a).
> c) Wie oft muss im Mittel gedreht werden, bis schwarz zum
> ersten Mal kommt?
> d) Bestimmen Sie die Varianzen der drei Zufallsvariablen
> und interpretieren Sie sie!
> Hey Leute!
>
> a) Was genau wird hier gesucht? Etwa [mm]E(X_{1}), E(X_{2}),[/mm]
> usw bis [mm]E(X_{20})[/mm] oder eine allgemeine Form des
> Erwartungswertes [mm]E(X_{i}).[/mm]
>
> Wie berechne ich hier die Wahrscheinlichkeiten? Tipps
> bitte.
Jetzt bin ich verwirrt. Du benutzt doch bei der b) schon die Erkenntnis, dass alle [mm] E(X_i)=p=\bruch{1}{2} [/mm] sind. Was hast du nicht verstanden?
>
> b) X ist eine Binominalverteile Zufallsvariable und daher
> die Summe der einzelenen Bernoulli-Experimente
>
> [mm]X=\summe_{i=1}^{20}=X_{1}+X_{2}+...X_{20}[/mm]
>
> Wegen E(X+Y)=E(X)+E(Y) folgt
>
> [mm]E(X)=E(\summe_{i=1}^{20})=E(X_{1})+E(X_{2})+...+E(X_{20})[/mm]
>
> Weil der Erwartungswert von diesen 20 unabhängigen
> Bernoulli-Experimenten immer p ist folgt
>
> p+p+...p=p*n=0,5*20=10
Gut.
>
> c) Hier wäre ich auch für Hilfe dankbar
Bestimme zunächst die Verteilung von Y. Da ja Y beliebig gross werden kann, siehst du hoffentlich nach den ersten paar Rechnungen, wie allgemein P(Y=n) gebildet wird. Dann musst du den Erwartungswert von Y ausrechnen (in die übliche Formel des Erwartungswerts einsetzen), dabei brauchst du die geometrische Reihe (bzw. deren Grenzwert.)
>
>
> Vielen Grüße, Daniel
>
>
LG walde
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Die Aufgabenstellung hat mich aus der Bahn geworfen, wenn ich die [mm] X_{i} [/mm] mit i=1,...,20 als einzelne Bernoulli-Versuche betrachten( und so gesehen 1 Versuch 20-Mal durchführe) darf wäre es mir auch klar...Darf ich es als einzelne Versuche betrachten? Bei b) ist es mir irgendwie 10000*n Mal einleuchtener, ich habe auch keine Erklärung dafür...! Hm irgendwie ist es mir jetzt doch insgesamt einleuchtend ;)
c) Solangsam komme ich doch noch dahinter! Y ist eine geometrische verteilte Zufallsvariable, der Wertebereich von Y ist IN oder kurz W(Y)=IN
Allgemein werden die Wahrscheinlichkeiten von Y folgendermaßen gebildet:
[mm] P(Y=n)=(1-p)^{n-1}*p [/mm] Denn falls das gewünschte Ereignis erstmals beim n-ten Versuch auftritt, müssen zuvor (n-1)-Male ihr Gegenereignis 1-p eingetreten sein
So kommen wir nun zum Erwartungswert von Y
[mm] E(Y)=\summe_{i=1}^{\infty}i*P(Y=i)=\summe_{i=1}^{\infty}i*(1-p)^{i-1}*p [/mm]
mit p=0,5 ergibt sich nun
[mm] E(Y)=\summe_{i=1}^{\infty}i*(0,5)^{i-1}*0,5=\summe_{i=1}^{\infty}i*(0,5)^{i}
[/mm]
hmmm jetzt stocke ich, wie wende ich die geometrische Grenzwertbetrachtung an?^^
LG, die BeeRe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Walde |
> Die Aufgabenstellung hat mich aus der Bahn geworfen, wenn
> ich die [mm]X_{i}[/mm] mit i=1,...,20 als einzelne
> Bernoulli-Versuche betrachten( und so gesehen 1 Versuch
> 20-Mal durchführe) darf wäre es mir auch klar...Darf ich
> es als einzelne Versuche betrachten? Bei b) ist es mir
> irgendwie 10000*n Mal einleuchtener, ich habe auch keine
> Erklärung dafür...! Hm irgendwie ist es mir jetzt doch
> insgesamt einleuchtend ;)
>
> c) Solangsam komme ich doch noch dahinter! Y ist eine
> geometrische verteilte Zufallsvariable, der Wertebereich
> von Y ist IN oder kurz W(Y)=IN
>
> Allgemein werden die Wahrscheinlichkeiten von Y
> folgendermaßen gebildet:
>
> [mm]P(Y=n)=(1-p)^{n-1}*p[/mm] Denn falls das gewünschte
> Ereignis erstmals beim n-ten Versuch auftritt, müssen
> zuvor (n-1)-Male ihr Gegenereignis 1-p eingetreten sein
>
> So kommen wir nun zum Erwartungswert von Y
>
> [mm]E(Y)=\summe_{i=1}^{\infty}i*P(Y=i)=\summe_{i=1}^{\infty}i*(1-p)^{i-1}*p[/mm]
>
> mit p=0,5 ergibt sich nun
>
> [mm]E(Y)=\summe_{i=1}^{\infty}i*(0,5)^{i-1}*0,5=\summe_{i=1}^{\infty}i*(0,5)^{i}[/mm]
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> hmmm jetzt stocke ich, wie wende ich die geometrische
> Grenzwertbetrachtung an?^^
Ich weiss, grad nicht, ob's auch einfacher geht, aber kuck mal ![[]](/images/popup.gif) hier. Man versteht mit 1-p=q:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}iq^{i-1} [/mm] als Funktion (Potenzreihe) in q, die man gliedweise differenzieren darf. Dann ist [mm] \summe_{i=1}^{\infty}iq^{i-1}=\bruch{d}{dq}\summe_{i=0}^{\infty}q^{i}=\bruch{d}{dq}\bruch{1}{1-q}=\bruch{1}{(1-q)^2}=\bruch{1}{p^2}
[/mm]
Dann hast du [mm] E(Y)=p*\bruch{1}{p^2}=\bruch{1}{p}
[/mm]
>
> LG, die BeeRe
LG walde
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