Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Mo 07.05.2012 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | sei X eine poissonverteilte Zufallsvariable mit X [mm] \sim P(\lambda), [/mm] d.h. [mm] f_{X} (x;\lambda) [/mm] = [mm] \bruch{\lambda^{x}}{x!} e^{-\lambda}, x\in\IN_{0}, \lambda [/mm] > 0.
berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen.
[mm] Y=\bruch{1}{1+X} [/mm] und [mm] Z=\bruch{X}{1+X} [/mm] |
bei Y haben wirs so gemacht:
Y=g(x)
[mm] E=\summe_{x=1}^{\infty}g(x)f(x)
[/mm]
das versteh ich, weil es in der definition steht
aber für Z steht dann was ganz anderes in der Lösung:
[mm] E(z)=E{\bruch{x}{x+1}} [/mm] und dann weiter umgeformt. aber wieso macht mans hier nicht so wie oben? und warum kann man das hier so machen? oder gehen immer beide Methoden?
danke schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Mo 07.05.2012 | | Autor: | luis52 |
> sei X eine poissonverteilte Zufallsvariable mit X [mm]\sim P(\lambda),[/mm]
> d.h. [mm]f_{X} (x;\lambda)[/mm] = [mm]\bruch{\lambda^{x}}{x!} e^{-\lambda}, x\in\IN_{0}, \lambda[/mm]
> > 0.
> berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen.
>
> [mm]Y=\bruch{1}{1+X}[/mm] und [mm]Z=\bruch{X}{1+X}[/mm]
> bei Y haben wirs so gemacht:
> Y=g(x)
> [mm]E=\summe_{x=1}^{\infty}g(x)f(x)[/mm]
> das versteh ich, weil es in der definition steht
> aber für Z steht dann was ganz anderes in der Lösung:
> [mm]E(z)=E{\bruch{x}{x+1}}[/mm] und dann weiter umgeformt. aber
> wieso macht mans hier nicht so wie oben? und warum kann man
> das hier so machen? oder gehen immer beide Methoden?
>
> danke schon mal!
Moin, wo ist das Problem?
[mm]\operatorname{E}[Y]=\operatorname{E}[\frac{1}{1+X}]=\summe_{x=1}^{\infty}\frac{f(x)}{1+x}[/mm]
und
[mm]\operatorname{E}[Z]=\operatorname{E}[\frac{X}{1+X}]=\summe_{x=1}^{\infty}\frac{xf(x)}{1+x}[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Mo 07.05.2012 | | Autor: | kioto |
hallo
> [mm]\operatorname{E}[Y]=\operatorname{E}[\frac{1}{1+X}]=\summe_{x=1}^{\infty}\frac{f(x)}{1+x}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\operatorname{E}[Z]=\operatorname{E}[\frac{X}{1+X}]=\summe_{x=1}^{\infty}\frac{xf(x)}{1+x}[/mm]
>
also hätte man hier genau so machen können?
dann hab ich
[mm] E(Z)=\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{x}{x+1}*\bruch{\lambda^{x}}{x!}*e^{\lambda}
[/mm]
stimmt es?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> hallo
>
> >
> [mm]\operatorname{E}[Y]=\operatorname{E}[\frac{1}{1+X}]=\summe_{x=1}^{\infty}\frac{f(x)}{1+x}[/mm]
> >
> > und
> >
> >
> [mm]\operatorname{E}[Z]=\operatorname{E}[\frac{X}{1+X}]=\summe_{x=1}^{\infty}\frac{xf(x)}{1+x}[/mm]
> >
>
> also hätte man hier genau so machen können?
> dann hab ich
>
> [mm]E(Z)=\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{x}{x+1}*\bruch{\lambda^{x}}{x!}*e^{\lambda}[/mm]
> stimmt es?
Ja, bis auf einen Tippfehler: am Ende muß stehen: [mm] e^{-\lambda}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Mo 07.05.2012 | | Autor: | kioto |
[mm] E(Z)=\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{x}{x+1}*\bruch{\lambda^{x}}{x!}*e^{-\lambda}
[/mm]
[mm] =e^{-\lambda}\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x+1}}{(1+x)!}\bruch{x}{\lambda}
[/mm]
[mm] =\bruch{xe^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}
[/mm]
[mm] =\bruch{xe^{-\lambda}}{\lambda}*(e^{\lambda}-1)
[/mm]
[mm] =\bruch{x-xe^{-\lambda}}{\lambda}
[/mm]
stimmt es so weit?
aber irgendwie komme ich nicht auf die Lösung
[mm] \bruch{\lambda-1+e^{-\lambda}}{\lambda}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Mo 07.05.2012 | | Autor: | luis52 |
>
> [mm]E(Z)=\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{x}{x+1}*\bruch{\lambda^{x}}{x!}*e^{-\lambda}[/mm]
>
> [mm]=e^{-\lambda}\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x+1}}{(1+x)!}\bruch{x}{\lambda}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{xe^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") $x_$ ist der Laufindex, den darfst du nicht vor die Summe ziehen.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 Mo 07.05.2012 | | Autor: | kioto |
dann
[mm] E(Z)=\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{x}{x+1}*\bruch{\lambda^{x}}{x!}*e^{-\lambda}
[/mm]
[mm] =e^{-\lambda}\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x+1}}{(1+x)!}\bruch{x}{\lambda}
[/mm]
= [mm] \bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{x*\lambda^{x+1}}{(1+x)!}
[/mm]
[mm] =\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x+1}}{(1+x)!}*x
[/mm]
[mm] =\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{(x!}*x
[/mm]
[mm] =\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}(\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{(x!}-1)*x
[/mm]
stimmt es jetzt so weit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Mo 07.05.2012 | | Autor: | luis52 |
> dann
> [mm]E(Z)=\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{x}{x+1}*\bruch{\lambda^{x}}{x!}*e^{-\lambda}[/mm]
>
> [mm]=e^{-\lambda}\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x+1}}{(1+x)!}\bruch{x}{\lambda}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{x*\lambda^{x+1}}{(1+x)!}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x+1}}{(1+x)!}*x[/mm]
>
>[mm]=\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{(x!}*x[/mm]
[mm]=\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}*\red{(x-1)}[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Mo 07.05.2012 | | Autor: | kioto |
> > dann
> >
> [mm]E(Z)=\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{x}{x+1}*\bruch{\lambda^{x}}{x!}*e^{-\lambda}[/mm]
> >
> >
> [mm]=e^{-\lambda}\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x+1}}{(1+x)!}\bruch{x}{\lambda}[/mm]
> > =
> >
> [mm]\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{x*\lambda^{x+1}}{(1+x)!}[/mm]
> >
> >
> [mm]=\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x+1}}{(1+x)!}*x[/mm]
> >
> >[mm]=\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{(x!}*x[/mm]
>
>
[mm] =\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}*{(x-1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}(\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}-1)*{(x-1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}*(e^{\lambda}-1)(x-1)
[/mm]
irgendwie hab ich schlechtes Gefühl beim letzten schritt...
ist es richtig?
vg kioto
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Mo 07.05.2012 | | Autor: | kioto |
> [mm]=\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}*{(x-1)}[/mm]
> >
> >
> [mm]=\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}(\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}-1)*{(x-1)}[/mm]
> > [mm]=\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}*(e^{\lambda}-1)(x-1)[/mm]
> >
> > irgendwie hab ich schlechtes Gefühl beim letzten
> > schritt...
> >
> Schon beim vorletzten Schritt sollte das Gefuehl schlecht
> sein.  Wo zauberst du denn die [mm]-1_[/mm] her?
>
aber.......ist [mm] \summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!} [/mm] nicht gleich [mm] (\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!} [/mm] - 1)?
> Versuch's mal so:
>
> [mm]\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}*{(x-1)}=\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}*x-\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
>
> >
> [mm]=\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}*{(x-1)}[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]=\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}(\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}-1)*{(x-1)}[/mm]
> > > [mm]=\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}*(e^{\lambda}-1)(x-1)[/mm]
> > >
> > > irgendwie hab ich schlechtes Gefühl beim letzten
> > > schritt...
> > >
> > Schon beim vorletzten Schritt sollte das Gefuehl schlecht
> > sein. Wo zauberst du denn die [mm]-1_[/mm] her?
> >
> aber.......ist [mm]\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}[/mm]
> nicht gleich [mm](\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}[/mm]
> - 1)?
Doch, das stimmt schon, aber da war noch der Faktor (x-1)
FRED
>
>
> > Versuch's mal so:
> >
> >
> [mm]\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}*{(x-1)}=\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}*x-\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}[/mm]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Mo 07.05.2012 | | Autor: | kioto |
> > > Versuch's mal so:
> > >
> > >
> >
> [mm]\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}*{(x-1)}=\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}*x-\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}[/mm]
kann ich hier vielleicht die zwei summen ausklammern?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Mo 07.05.2012 | | Autor: | luis52 |
> >
> [mm]\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}*{(x-1)}=\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}*x-\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}[/mm]
>
> kann ich hier vielleicht die zwei summen ausklammern?
Wozu soll das gut sein? Von da kommen wir doch gerade.
Schau mal genau hin: Woran erinnern die Summen?
vg Luis
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Mo 07.05.2012 | | Autor: | kioto |
>
> > >
> >
> [mm]\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}*{(x-1)}=\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}*x-\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}[/mm]
> >
> > kann ich hier vielleicht die zwei summen ausklammern?
>
> Wozu soll das gut sein? Von da kommen wir doch gerade.
> Schau mal genau hin: Woran erinnern die Summen?
naja..... die sehen fast aus wie e Funktionen, aber das hat ja eben nicht geklappt, sonst..... weiß ich leider nicht mehr ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
kann ich par tipps bekommen?
> vg Luis
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Mo 07.05.2012 | | Autor: | fred97 |
[mm] \summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!} [/mm] = [mm] \summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!} [/mm] -1
Das hattest Du schon.
[mm] \summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}*x= \lambda* \summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x-1}}{(x-1)!} [/mm] = [mm] \lambda*\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Mo 07.05.2012 | | Autor: | kioto |
danke erst mal!
[mm]\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}[/mm] =
> [mm]\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}[/mm] -1
>
> Das hattest Du schon.
>
>
> [mm]\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}*x= \lambda* \summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x-1}}{(x-1)!}[/mm]
> = [mm]\lambda*\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}[/mm]
dann ziehe ich bei beiden summen [mm] \lambda [/mm] raus und die kürzen sich dann mit den zwei [mm] \bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}
[/mm]
dann hat ich da stehen:
[mm] =e^{-\lambda}\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}-e^{-\lambda}\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{1}{x!}
[/mm]
stimmt es soweit?
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Hallo kioto,
> danke erst mal!
>
> [mm]\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}[/mm] =
> > [mm]\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}[/mm] -1
> >
> > Das hattest Du schon.
> >
> >
> [mm]\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}*x= \lambda* \summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x-1}}{(x-1)!}[/mm]
> = [mm]\lambda*\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}[/mm]
>
> dann ziehe ich bei beiden summen [mm]\lambda[/mm] raus und die
> kürzen sich dann mit den zwei
> [mm]\bruch{e^{-\lambda}}{\lambda}[/mm]
> dann hat ich da stehen:
>
[mm]=e^{-\lambda}\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}-e^{-\lambda}\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{1}{x!}[/mm]
>
> stimmt es soweit?
Nein, bei der ersten Summe gilt: [mm]\sum\limits_{x=0}^{\infty}\frac{\lambda^x}{x!} \ - \ 1 \ = \ e^{\lambda}-1[/mm]
Und bei der zweiten: [mm]\lambda\cdot{}\sum\limits_{x=0}^{\infty}\frac{\lambda^x}{x!} \ = \ \lambda\cdot{}e^{\lambda}[/mm]
Das nun mit den weiter oben stehenden Vorfaktoren richtig verarzten.
Schreibe das am Ende nochmal sauber hier im Zusammenhang auf (ohne dass man sich das im thread zusammensuchen muss) für eine Endkontrolle.
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Mo 07.05.2012 | | Autor: | kioto |
hallo
>
> [mm]\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}*x= \lambda* \summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x-1}}{(x-1)!}[/mm]
> = [mm]\lambda*\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}[/mm]
hier versteh ich noch eins nicht, beim zweiten schritt, wo ist das *x von vorher hin?
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Hallo nochmal,
> hallo
> >
> > [mm]\summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}*x= \lambda* \summe_{x=1}^{\infty}\bruch{\lambda^{x-1}}{(x-1)!}[/mm]
> > = [mm]\lambda*\summe_{x=0}^{\infty}\bruch{\lambda^{x}}{x!}[/mm]
> hier versteh ich noch eins nicht, beim zweiten schritt, wo
> ist das *x von vorher hin?
>
Nun, in der Summe steht doch [mm] $\frac{\lambda^x}{x!}\cdot{}x$
[/mm]
Und [mm] $x!=(x-1)!\cdot{}x$
[/mm]
Da kürzt sich ein x weg ...
Gruß
schachuzipus
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