Erwartungswert - Zeilenmaximum < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Fr 02.08.2013 | | Autor: | k0ol |
Hallo zusammen,
seien [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $x_2$ [/mm] zwei Zufallszahlen aus der selben Verteilung, sagen wir Standardnormalverteilung, also [mm] $E[x_1]=E[x_2 [/mm] ]=0$. Außerdem sei [mm] $x_3=max\{x_1, x_2\}$. [/mm] Was ist der Erwartungswert von [mm] x_3?
[/mm]
Ich habe das Ganze mal mit Stata simuliert. Bei der Standardnormalverteilung ist [mm] $E[x_3]\approx [/mm] 0.56$, wenn ich stattdessen sage [mm] $x_1,x_2\sim [/mm] N(0,2)$ kriege ich [mm] $E[x_3]\approx [/mm] 1.12$. Der Erwartungswert von [mm] $x_3$ [/mm] scheint also linear in der Standardabweichung der angenommenen Verteilung zu sein.
Ich würde diese Ergebnisse gerne theoretisch nachvollziehen, habe aber ehrlich gesagt keine Ahnung wie ich dabei vorgehen muss. Kann mir jemand von Euch bitte helfen?
Danke und Gruß
k0ol
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Es seien [mm]\varphi(t),\Phi(t)[/mm] Dichte und Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Vermutlich sollen [mm]X_1,X_2[/mm] unabhängig voneinander sein.
[mm]Y=\max \left\{ X_1,X_2 \right\}[/mm] ist genau dann kleiner oder gleich [mm]t[/mm], wenn beide Größen zugleich kleiner oder gleich [mm]t[/mm] sind. Als Verteilungsfunktion von [mm]Y[/mm] bekommt man damit:
[mm]F(t) = P \left( Y \leq t \right) = P \left( X_1 \leq t \, , \, X_2 \leq t \right) = P \left( X_1 \leq t \right) \cdot P \left( X_2 \leq t \right) = \left( \Phi(t) \right)^2[/mm]
Und die Dichte von [mm]Y[/mm] ist
[mm]f(t) = 2 \, \varphi(t) \, \Phi(t)[/mm]
Für den Erwartungswert von [mm]Y[/mm] gilt somit:
[mm]\mathcal{E}(Y) = \int_{- \infty}^{\infty} 2 t \, \varphi(t) \, \Phi(t) ~ \mathrm{d}t = \int_{- \infty}^{\infty} -2 \varphi'(t) \Phi(t) ~ \mathrm{d}t = \int_{- \infty}^{\infty} 2 \left( \varphi(t) \right)^2 ~ \mathrm{d}t = \frac{1}{\sqrt{\pi}}[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Fr 02.08.2013 | | Autor: | k0ol |
Das ging ja schnell. Super! Vielen Dank.
|
|
|
|
