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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Mo 09.05.2011 | | Autor: | pirad |
| Aufgabe | Seien für i=1,...,n [mm] X_i [/mm] und [mm] Y_i [/mm] unabhängige auf [0,1] gleichverteilte Zufallsgrößen. Sei nun [mm] X_{[1]},...,X_{[n]} [/mm] eine Umordnung, so dass [mm] X_{[1]}\le X_{[2]}\le [/mm] ... [mm] \le X_{[n]}. [/mm] Analog für [mm] Y_{[i]}. [/mm] (Vgl. ![[]](/images/popup.gif) Ordnungsstatistik)
Berechne nun [mm] E|X_{[i]}-Y_{[i]}|. [/mm] |
Ich glaube dass sich das nicht gut berechnen lässt. Ich suche aber erst mal eine Formel wo ich die Verteilungsfunktionen von [mm] X_{[i]} [/mm] einsetzen kann.
Meine Vermutung ist folgende:
[mm] E|X_{[i]}-Y_{[i]}|=2\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{s}{(s-e)f(s)f(e) de} ds}
[/mm]
Wobei f(x) die Verteilungsfunktion von [mm] X_{[i]} [/mm] ist.
Stimmt diese Vermutung? Warum (nicht)?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:14 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Stimmt diese Vermutung? Warum (nicht)?
Das frag ich Dich. Du mußt doch irgendwie auf die Formel gekommen sein. =)
Übrigens,
[mm] $X_{[i]}\sim \text{Beta}(i, [/mm] n+1-i)$
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 Mo 09.05.2011 | | Autor: | pirad |
Gesagt hatte mir die Formel wer anders und ich wollt jetzt wissen, wo sie her kommt. Aber inzwischen hab ich es glaube ich:
[mm] E(g(Z))=\integral [/mm] g(z)p(z)dz
dabei ist g(z)=|z|
z=x-y
p(z)=f(x)f(y)
Das mit der Beta-Funktion habe ich, dank deines Hinweises jetzt auch gefunden: Wikipedia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Mo 09.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
stimmt nicht ganz, weil Z ein Zufallsvektor ist, also u.a. [mm] $g:\IR^2\to\IR^+$, [/mm] aber ist sehr nahe dran. =)
ciao
Stefan
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