Erwartungswert Pkt. auf Stab < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:57 Fr 27.04.2012 | | Autor: | chesn |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Auf einem Stab der Länge 1 Meter werden rein zufällig und unabhängig zwei Punkte $ X,Y $ gewählt.
1. Berechnen Sie den Erwartungswert der Länge des Teilstückes vom linken Stabenede bis zum ersten der beiden Punkte.
2. Wenn man den Stab an den Stellen $ X,Y $ zerbricht, was ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich aus den Stücken ein Dreieck bilden lässt? |
Hallo! Bräuchte etwas Hilfe hierbei..
Wenn X ein Punkt auf dem Stab ist, dann gilt für Y=g(x)=max(x,1-x) also
$g(x)=\{^{ \ 1-x \ \ falls \ \ \ 0<x<0,5}_{ \ x \ \ \ \ \ \ falls \ \ \ 0,5<x<1}$
Nach ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia ist der Erwartungswert von X:
[mm] E(X)=\bruch{1}{2} [/mm] und mit Y=g(x) der Erwartungswert von Y Wikipedia:
[mm] E(Y)=\integral^{1}_{0}{g(x)f(x) \ dx}=\integral_{0}^{0,5}{(1-x) \ dx}+\integral_{0,5}^{1}{x \ dx}=\bruch{3}{4}
[/mm]
So jetzt habe ich zwei Erwartungswerte, aber welcher Punkt ist denn nun der erste von links, der in der Aufgabenstellung gesucht ist?
Wegen E(X)<E(Y) würde ich sagen, wenn links die 0 ist, dann ist X der erste der beiden Punkte, oder??
Danke für jede Hilfe!!
Lieben Gruß
chesn
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Hallo chesn,
deine Herangehensweise ist meiner Meinung nach nicht wirklich Zielführend 
Die Linke Bruchstelle entspricht doch gerade dem Minimum von X und Y.
D.h. berechne einfach den Erwartungswert von [mm] $\min(X,Y)$.
[/mm]
Bei der zweiten Aufgabe wirst du dir mal überlegen müssen, welche Eigenschaften die Seitenlängen erfüllen müssen, damit du ein Dreieck bauen kannst (Tip: Dreiecksungleichungen!).
Daraus lassen sich dann Eigenschaften an das [mm] \min [/mm] bzw [mm] \max [/mm] stellen, die man berechnen kann.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Do 25.04.2013 | | Autor: | triad |
hallo,
wie genau berechnet man hierbei den Erwartungswert von [mm]\min(X,Y)[/mm]? Es ist ja keine Dichte und auch sonst kaum etwas gegeben.
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> hallo,
>
> wie genau berechnet man hierbei den Erwartungswert von
> [mm]\min(X,Y)[/mm]? Es ist ja keine Dichte und auch sonst kaum etwas
> gegeben.
Hallo triad,
du greifst da eine Aufgabe wieder auf, welche seit
ziemlich genau einem Jahr liegen geblieben ist.
So wie ich die
| Aufgabe | Auf einem Stab der Länge 1 Meter werden rein zufällig und unabhängig zwei Punkte $ X,Y $ gewählt.
1. Berechnen Sie den Erwartungswert der Länge des Teilstückes vom linken Stabenede bis zum ersten der beiden Punkte.
2. Wenn man den Stab an den Stellen $ X,Y $ zerbricht, was ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich aus den Stücken ein Dreieck bilden lässt? |
verstehe, soll man wohl davon ausgehen, dass jede
der beiden Bruchstellen durch eine Gleichverteilung
über die ganze Länge des ursprünglichen Stabs
hinweg beschrieben werden soll, und zwar unab-
hängig voneinander.
Damit sollte es möglich sein, auch die Verteilung
von M:=min(X,Y) darzustellen und dann den Erwartungs-
wert von M zu berechnen.
Kleiner Tipp für eine mögliche Herangehensweise:
betrachte die zufällig gewählten Werte x und y der
beiden Zufallsvariablen als Koordinaten eines Punktes P
in der x-y-Ebene. Wegen der Unabhängigkeit darf
man dann annehmen, dass der Punkt P einer
Gleichverteilung über das Einheitsquadrat in dieser
Ebene unterliegt. Zur Veranschaulichung kannst du
dir z.B. vorstellen , es werden Regentropfen beobachtet,
welche auf ein quadratisches Stück Blech von 1m [mm] \times [/mm] 1m fallen.
min(x,y) ist dann für jeden einzelnen Regentropfen
der kleinere der beiden Koordinatenwerte x, y .
LG , Al-Chwarizmi
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