Erwartungswert/Varianz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Sa 06.06.2015 | | Autor: | mimo1 |
| Aufgabe | (a) Sei X eine Zufallsvariable ,it Werten in [mm] \IN. [/mm] Zeige folgende Aussagen:
(i) Die Verteilung von X ist eindeutig durch [mm] \phi_X(y):=\summe_{k=0}^\infty P(X=k)y^k, y\in\[0,1\], [/mm] bestimmt.
(ii) Ist [mm] \phi_x [/mm] in 1 zweifach diffbar, so gilt
[mm] E(X)=\phi'_X(1) [/mm] und [mm] Var(X)=\phi"_X(1)+\phi'_X(1)-(\phi'_X(1) )^2
[/mm]
(b) Sei V=G(p) geometrische verteilt ,mit parameter [mm] p\in(0,1\]. [/mm] Berechne E(V) und Var(V).
(c) Sei W=B(n,p) binomialverteilt mit Parametern [mm] n\in\IN, p\in \[0,1\]. [/mm] Berechne E(W) und Var(W). |
hallo,
ich brauche eure hilfe!!
zu(ii) da habe ich
[mm] \phi'_X(y)= (\summe_{k=0}^\infty P(X=k)y^k)'=\summe_{k=0}^\infty P(X=k)k\cdot y^{k-1}
[/mm]
Setze dann y=1 und erhalte
[mm] \phi'_X(1)=\summe_{k=0}^\infty [/mm] P(X=k)k wie komme ich jetzt zu E(X)?
und zu Varianz:
[mm] \phi"_X(y)=\summe_{k=0}^\infty P(X=k)k(k-1)y^{k-2}
[/mm]
y=1 [mm] eingesetzt:\phi"_X(1)=\summe_{k=0}^\infty P(X=k)k(k-1)=E(X(X-1))=E(X^2) [/mm] und weil wir wissen dass [mm] \phi'_X(1)=E(X) [/mm] (aus vorherige Rechnung) dann habe
[mm] \phi"_X(1)+\phi'_X(1)-(\phi'_X(1) )^2=E(X^2)+E(X)-E(X)^2 [/mm] und das ist die Formel der Varianz (lt Skript)
(b) [mm] G(p)=p(1-p)^k [/mm] und dann ist
[mm] \phi_X(y)=\summe_{k=0}^\infty p(1-p)^ky^k=p\summe_{k=0}^\infty ((1-p)y)^k=\bruch{p}{1-((1-p)y)} [/mm] (geometrische Reihe)
[mm] \Rightarrow \phi'_X(y)= \bruch{-p(p-1)}{(1-((1-p)y)^2}
[/mm]
y=1: [mm] \Rightarrow \phi'_X(1)= \bruch{-p(p-1)}{(1-((1-p))^2}=\bruch{p(1-p)}{p^2}=\bruch{(1-p)}{p}
[/mm]
und für [mm] \phi"_X(1)=-2\bruch{(1-p)}{p^2} [/mm]
und somit erhalte ich für
[mm] E(X)=\bruch{(1-p)}{p} [/mm] und [mm] Var(X)=-2\bruch{(1-p)}{p^2} +\bruch{(1-p)}{p}-(\bruch{(1-p)}{p})^2
[/mm]
scheint mir irgendwie falsch zu sein?!
kann mir jemand zu (i) ein tipp geben? ist es ansonsten richtig was ich bis hierhin gemacht habe? dankschön im voraus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Di 09.06.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo mimo1!
(Ich nehme an, dass ihr [mm] \IN:=\{0,1,\ldots\} [/mm] definiert habt.)
> (a) Sei X eine Zufallsvariable ,it Werten in [mm]\IN.[/mm] Zeige folgende Aussagen:
> (i) Die Verteilung von X ist eindeutig durch [mm]\phi_X(y):=\summe_{k=0}^\infty P(X=k)y^k, y\in\[0,1\],[/mm] bestimmt.
Du meinst [mm] $y\in[0,1]$.
[/mm]
> (ii) Ist [mm]\phi_x[/mm] in 1 zweifach diffbar, so gilt
Du meinst [mm] $\phi_X$.
[/mm]
> [mm]E(X)=\phi'_X(1)[/mm] und [mm]Var(X)=\phi"_X(1)+\phi'_X(1)-(\phi'_X(1) )^2[/mm]
>
> (b) Sei V=G(p) geometrische verteilt ,mit parameter [mm]p\in(0,1\].[/mm]
Für [mm] $p=1\$ [/mm] haben wir ein Problem!
> zu(ii) da habe ich
>
> [mm]\phi'_X(y)= (\summe_{k=0}^\infty P(X=k)y^k)'=\summe_{k=0}^\infty P(X=k)k\cdot y^{k-1}[/mm]
>
> Setze dann y=1 und erhalte
>
> [mm]\phi'_X(1)=\summe_{k=0}^\infty[/mm] P(X=k)k wie komme ich jetzt zu E(X)?
Falls der Erwartungswert existiert ist per definitionem
[mm] $\summe_{k=0}^\infty [/mm] k*P(X=k)=E(X)$.
> und zu Varianz:
> [mm]\phi"_X(y)=\summe_{k=0}^\infty P(X=k)k(k-1)y^{k-2}[/mm]
> y=1
> [mm]eingesetzt:\phi"_X(1)=\summe_{k=0}^\infty P(X=k)k(k-1)=E(X(X-1))=E(X^2)[/mm]
> und weil wir wissen dass [mm]\phi'_X(1)=E(X)[/mm] (aus vorherige
> Rechnung) dann habe
>
> [mm]\phi"_X(1)+\phi'_X(1)-(\phi'_X(1) )^2=E(X^2)+E(X)-E(X)^2[/mm]
> und das ist die Formel der Varianz (lt Skript)
Deiner Begründung kann ich nicht folgen. Ich glaube, dass du
dich vertippt hast. Wir haben
[mm] $\phi''_X(1)=\sum_{k=0}^{\infty}P(X=k)*k*(k-1)=E(X^2)-E(X)$,
[/mm]
so dass gilt
[mm] $\phi''_X(1)+\phi'_X(1)-\left(\phi'_X(1)\right)^2=E(X^2)-E(X)+E(X)-E(X)^2=V(X)$.
[/mm]
> (b) [mm]G(p)=p(1-p)^k[/mm] und dann ist
> [mm]\phi_X(y)=\summe_{k=0}^\infty p(1-p)^ky^k=p\summe_{k=0}^\infty ((1-p)y)^k=\bruch{p}{1-((1-p)y)}[/mm]
> (geometrische Reihe)
>
> [mm]\Rightarrow \phi'_X(y)= \bruch{-p(p-1)}{(1-((1-p)y)^2}[/mm]
Im Nenner meinst du [mm] $(1-(1-p)*y)^2$ [/mm] statt [mm] $(1-((1-p)y)^2$.
[/mm]
> y=1: [mm]\Rightarrow \phi'_X(1)= \bruch{-p(p-1)}{(1-((1-p))^2}=\bruch{p(1-p)}{p^2}=\bruch{(1-p)}{p}[/mm]
Im Nenner meinst du [mm] $(1-(1-p))^2$ [/mm] statt [mm] $(1-((1-p))^2$.
[/mm]
> und für [mm]\phi"_X(1)=-2\bruch{(1-p)}{p^2}[/mm]
Du hast dich verrechnet. Es ist
[mm] $\phi''_X(y)=\frac{2*p*(1-p)^2}{(1-(1-p)*y)^3}$,
[/mm]
so dass gilt
[mm] $\phi''_X(1)=\frac{2*(1-p)^2}{p^2}$.
[/mm]
> und somit erhalte ich für
> [mm]E(X)=\bruch{(1-p)}{p}[/mm] und [mm]Var(X)=-2\bruch{(1-p)}{p^2} +\bruch{(1-p)}{p}-(\bruch{(1-p)}{p})^2[/mm]
Es gilt
[mm] $E(X)=\frac{1-p}{p}$ [/mm] und [mm] $V(X)=\frac{2*(1-p)^2}{p^2}+\frac{1-p}{p}-\left(\frac{1-p}{p}\right)^2=\frac{1-p}{p^2}$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
Hiho,
zu i) schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier
Gruß,
Gono
|
|
|
|
