Erwartungswert, Varianz < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Irgendwie habe ich es mit diesem Thema nicht wirklich
Die Zufallsvariable X hat eine symmetrische Verteilung, im Intervall 0 bis 1 ist ihre Verteilungsfunktion F(x) = 1/2*(1 + [mm] x^n)
[/mm]
Was heisst symmetrisch? Punkssymmetrisch zum NUllpunkt? Symmetrisch zur Y Achse? Oder was ist damit gemeint?
Kann ich sagen dass die verteilfunktion bei x= 1, Y resp. F(x) = 1 sein muss
a) Berechnen Sie den Erwartungswert von X
b) Berechnen Sie ihre Varianz X
c) Was passiert, wenn man n beliebig gross werden lässt?
Danke
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Hallo,
bei einer symmetrische Verteilung ist die zugehörige Dichte achsensymmetrisch durch eine gedachte senkrechte Achse an der Stelle des Erwartungswertes der Verteilung. Hilft dir das weiter?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:29 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Kuriger |
Hallo, danke für deine Antwort
> Hallo,
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> bei einer symmetrische Verteilung ist die zugehörige
> Dichte achsensymmetrisch durch eine gedachte senkrechte
> Achse an der Stelle des Erwartungswertes der Verteilung.
> Hilft dir das weiter?
Und weiss ich wo sich die gedachte senkrechte Achse, resp. die Stelle des Erwartungswertes befindet?
Gruss Kuriger
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Hallo,
> Und weiss ich wo sich die gedachte senkrechte Achse, resp.
> die Stelle des Erwartungswertes befindet?
nun, das wird man für gewöhnlich irgendwie ausrechnen können. Das Problem an der hiesigen Aufgabe ist, dass du eine falsche Verteilungsfunktion angegeben hast, was du leicht daran sehen kannst, dass [mm] P(X\le{1})=F(1)-F(0)=\bruch{1}{2} [/mm] ergäbe. Dies darf aber nicht sein, da die 1 ja der Rand des Definitionsbereiches ist, also müsste [mm] P(X\le{1})=1 [/mm] gelten.
Recherchiere nochmal die Aufgabenstellung und korrigiere das, dann könnte man über eine konkrete Rechnung reden.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Kuriger |
Komisch
Die Aufgabenstellung steht auf meinem Aufgabenblatt Wort wörtlich so
In der Lösung steht bei Aufgabe a)
Da X symmetrisch ist, ist E(x) = 0
D. h. die Y Achse wäre hier gerade die Symmetrie Achse? Aber wieso?
Also müsste in diesem beispiel gelten
F(0) = E(X) = 0.5 = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (1 + [mm] x^n)
[/mm]
0.5 = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (1 + [mm] 0^n) [/mm] = 0.5
Okay das würde stimmen...
Aber trotzdem wie weiss ich einfach so, die Symmetrieachse?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Kuriger |
Das ganze scheint sich so zu präsentieren:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aber eben wie man aus der Aufgabenstellung sieht, dass die Y Achse die Symmetrieachse der Dichtefunktion ist?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
> Aber eben wie man aus der Aufgabenstellung sieht, dass die
> Y Achse die Symmetrieachse der Dichtefunktion ist?
nein. Jetzt hast du zwar einen völlig anderen Definitionsbereich präsentiert. Aber damit die Dichtre achsensymmetrisch wird, muss noch etwas über n gesagt werden. Für welche n ist denn [mm] x^n [/mm] achsensymmetrisch?
Bitte gib solche Aufgabenstellungen in deinem eigenen Interesse in Zukunft sorgfältiger an: wir erzählen dir u.U. sonst hier Dinge, die, wenn du sie auf die eigentliche Aufgabe anwendest, höherer Blödsinn sind. Und das wollen wir doch alle nicht? 
Gruß, Diophant
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Hallo,
> Komisch
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> Die Aufgabenstellung steht auf meinem Aufgabenblatt Wort
> wörtlich so
Wie lautet der Definitionsbereich, und fals der auch stimmt, was gilt für F wenn x kleiner Null oder größer 1?
Als Nebenbemerkung möchte ich mir erlauben, darauf hinzuweisen, dass du dir ganz offensichtlich die Bedeutung von Dichte und Verteilung nochmals gründlich klarmachen solltest, insbesondere auch, wie der stetige mit dem diskreten Fall zusammenhängt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Kuriger |
> Hallo,
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> > Komisch
> >
> > Die Aufgabenstellung steht auf meinem Aufgabenblatt Wort
> > wörtlich so
>
> Wie lautet der Definitionsbereich, und fals der auch
> stimmt, was gilt für F wenn x kleiner Null oder größer
> 1?
Davon steht in der Aufgabenstellung rein gar nichts. Steht nur was von dem Intervall 0 bis 1 und die Symmetrie
>
> Als Nebenbemerkung möchte ich mir erlauben, darauf
> hinzuweisen, dass du dir ganz offensichtlich die Bedeutung
> von Dichte und Verteilung nochmals gründlich klarmachen
> solltest, insbesondere auch, wie der stetige mit dem
> diskreten Fall zusammenhängt.
>
> Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:18 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Davon steht in der Aufgabenstellung rein gar nichts. Steht
> nur was von dem Intervall 0 bis 1 und die Symmetrie
woher kommen dann die [mm] -1\le{x}\le{1} [/mm] in deiner Skizze?
Bitte gib jetzt irgendwoe die komplette Aufgabenstellung im Originalwortlaut ohne Weglassungen und ohne eigene Hinzufügungen an, sonst muss ich aussteigen: weil ich nämlich nicht mehr durchsteige, ganz ehrlich.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Ich habe die Aufgabenstellung Wort wörtlich so abgeschrieben wie auf dem Aufgabenblatt, hier nochmals:
Die Zufallsvariable X hat eine symmetrische Verteilung, im Intervall 0 bis 1 ist ihre Verteilungsfunktion F(x) = 1/2*(1 + [mm] x^n)
[/mm]
a) Berechnen Sie den Erwartungswert von X
b) Berechnen Sie ihre Varianz X
c) Was passiert, wenn man n beliebig gross werden lässt?
> woher kommen dann die [mm]-1\le{x}\le{1}[/mm] in deiner Skizze?
Darauf komme ich aufgrund der Lösung. Denn in der Lösung von a) steht folgendes:
"Da X symmetrisch verteilt ist, ist E(X) = 0"
Also muss es aufgrund der Lösung so sein? Aber eben aufgrund der Aufgabenangaben sieht man das ja gar nicht...
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Hallo,
> Hallo
>
> Ich habe die Aufgabenstellung Wort wörtlich so
> abgeschrieben wie auf dem Aufgabenblatt, hier nochmals:
>
> Die Zufallsvariable X hat eine symmetrische Verteilung, im
> Intervall 0 bis 1 ist ihre Verteilungsfunktion F(x) =
> 1/2*(1 + [mm]x^n)[/mm]
Dann muss sie (die Verteilungsfunktiopn) auf einem entsprechenden weiteren Intervall definiert sein und dort eine abweichende Funktiuonsdefinition besitzen.
> a) Berechnen Sie den Erwartungswert von X
Der muss dann 0 sein, wie in der Lösung steht.
> b) Berechnen Sie ihre Varianz X
> c) Was passiert, wenn man n beliebig gross werden lässt?
Für beide Fragen benötigst du erst einmal die komplette Verteilung, für diese wiederum die Dichte.
Ich mache dir jetzt mal folgenden Lösungsvorschlag:
Ermittle die Dichte auf [0;1] durch Ableiten des gegebenen Stücks der Verteilungsfunktion.
Ermittle das 'Gegenstück' zur Dichte auf [-1;0). Hierbei wirst du eine Fallunterscheidung vornehmen müssen. Ist dir klar weshalb?
Jetzt bekommst du durch Integration die Verteilung auf [-1;0], und zwar muss dazu die Integrationskonstante entsprechend angepasst werden.
Erst dann kannst du die restlichen Aufgabenteile bearbeiten. Für eine gezilete ilfestellung wäre es noch gut, wenn du dazusagen würdewst, welche Sätze über die Varianz dir bekannt sind.
Gruß, Diophant
> > woher kommen dann die [mm]-1\le{x}\le{1}[/mm] in deiner Skizze?
> Darauf komme ich aufgrund der Lösung. Denn in der Lösung
> von a) steht folgendes:
> "Da X symmetrisch verteilt ist, ist E(X) = 0"
> Also muss es aufgrund der Lösung so sein? Aber eben
> aufgrund der Aufgabenangaben sieht man das ja gar nicht...
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Kuriger |
> Hallo,
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> > Hallo
> >
> > Ich habe die Aufgabenstellung Wort wörtlich so
> > abgeschrieben wie auf dem Aufgabenblatt, hier nochmals:
> >
> > Die Zufallsvariable X hat eine symmetrische Verteilung, im
> > Intervall 0 bis 1 ist ihre Verteilungsfunktion F(x) =
> > 1/2*(1 + [mm]x^n)[/mm]
>
> Dann muss sie (die Verteilungsfunktiopn) auf einem
> entsprechenden weiteren Intervall definiert sein und dort
> eine abweichende Funktiuonsdefinition besitzen.
>
>
> > a) Berechnen Sie den Erwartungswert von X
>
> Der muss dann 0 sein, wie in der Lösung steht.
Wieso muss er 0 sein? Ich sehe das nicht einfach so...
>
> > b) Berechnen Sie ihre Varianz X
> > c) Was passiert, wenn man n beliebig gross werden
> lässt?
>
> Für beide Fragen benötigst du erst einmal die komplette
> Verteilung, für diese wiederum die Dichte.
>
> Ich mache dir jetzt mal folgenden Lösungsvorschlag:
>
> Ermittle die Dichte auf [0;1] durch Ableiten des gegebenen
> Stücks der Verteilungsfunktion.
f(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * n * [mm] x^{n-1} [/mm] im INtervall 0 bis 1
wenn ich z. B. n = 4 setze
f(x) = 2 * [mm] x^{3} [/mm]
Dann geht dies für das Intervall -1, 1 nicht .......
wenn ich z. B. n = 5 setze
f(x) = 2.5 * [mm] x^{4} [/mm]
So passt das auch für das Intervall -1 bis 0
also kann ich sagen, falls n eine ungerade Zahl ist:
f(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * n * [mm] x^{n-1} [/mm] im INtervall -1 bis 1
>
> Ermittle das 'Gegenstück' zur Dichte auf [-1;0). Hierbei
> wirst du eine Fallunterscheidung vornehmen müssen. Ist dir
> klar weshalb?
>
> Jetzt bekommst du durch Integration die Verteilung auf
> [-1;0], und zwar muss dazu die Integrationskonstante
> entsprechend angepasst werden.
>
> Erst dann kannst du die restlichen Aufgabenteile
> bearbeiten. Für eine gezilete ilfestellung wäre es noch
> gut, wenn du dazusagen würdewst, welche Sätze über die
> Varianz dir bekannt sind.
Var = [mm] E(X^2) [/mm] - [mm] E(X)^2
[/mm]
>
> Gruß, Diophant
>
>
> > > woher kommen dann die [mm]-1\le{x}\le{1}[/mm] in deiner Skizze?
> > Darauf komme ich aufgrund der Lösung. Denn in der
> Lösung
> > von a) steht folgendes:
> > "Da X symmetrisch verteilt ist, ist E(X) = 0"
> > Also muss es aufgrund der Lösung so sein? Aber eben
> > aufgrund der Aufgabenangaben sieht man das ja gar nicht...
> >
> >
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Hallo,
ok. Eine Sache ist beantwortet: du kennst den Verschiebungssatz. Aber soweit sind wir hier noch lange nicht.
Ich gebe zu, dass die Aufgabe, so sie denn wirklich Wortlaut angegeben ist, ziemlich nachlässig formuliert ist. Man benötigt seine ganzen Kenntnisse über Dichten und Verteilungen, um überhaupt zu einer sinnvollen Interpretation zu kommen. Dies ist dir bisher nicht gelungen, darzum möchte ich mit dieser Antwort ein paar Stichpunkte aufzählen, die dir mdas Verständnis der Aufgabe möglich machen sollen.
- Für jede Dichte gilt [mm] f(x)\ge{0}
[/mm]
- Für jede Verteilung gelten F'(x)=f(x), [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}F(X)=0, \limes_{x\rightarrow\infty}F(X)=1
[/mm]
- [mm] f(x)=x^n [/mm] ist je nach Grad eine gerade oder eine ungerade Funktion. Wo ist jedoch im geraden Fall der Tief- und im ungeraden Fall der Wendepunkt?
- Kann nach der obigen Erkenntnis die Ableitung der vorgegebenen Verteilung irgendwie symmetrisch sein? Falls nein: was muss man tun, um eine symmetrische Dichte zu erhalten?
Sind dirhier alle Punkte klar, dann wirst du mir beipflichten, dass du an die Dichte der vorgegebenen Verteilung ein weiteres Stück auf dem Intzervall [-1,0] so ankleben musst, dass ein achsensysmmetrisches Schaubild herauskommt. Dabei wirst du, wie schon gesagt, die Fallunterscheidung benötigen, ob n gerade oder ungerade ist.
Ist dir das bis hierher allkes klar? Dann versuche es mal selbst, sonst frage nochmal nach.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Mo 06.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
>
> Irgendwie habe ich es mit diesem Thema nicht wirklich
>
>
> Die Zufallsvariable X hat eine symmetrische Verteilung, im
> Intervall 0 bis 1 ist ihre Verteilungsfunktion F(x) =
> 1/2*(1 + [mm]x^n)[/mm]
>
> Was heisst symmetrisch? Punkssymmetrisch zum NUllpunkt?
> Symmetrisch zur Y Achse? Oder was ist damit gemeint?
Schau Dir das an:
http://www.wiwi.uni-bielefeld.de/fileadmin/emeriti/frohn/symmetrie.pdf
FRED
>
> Kann ich sagen dass die verteilfunktion bei x= 1, Y resp.
> F(x) = 1 sein muss
>
> a) Berechnen Sie den Erwartungswert von X
> b) Berechnen Sie ihre Varianz X
> c) Was passiert, wenn man n beliebig gross werden lässt?
>
>
> Danke
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Kuriger |
Hallo
Ich habe leider keine Ahnung von Mathematik, mach das drum auch nur im Nebenfach....
Also ich bin sofort verwirrt, wenn ich da ein fremdes Skript sehe, das andere Abkürzungen, variablen etc. verwendet.
Ob es sich um eine symmetrische Verteilung handelt, sehe ich anhand der Dichtefunktion? Irgendwo existiert eine senkrechte Achse zu der die Dichtefunktion symmetrisch ist. Dort wo diese Y Achse die X Achse schneidet entspricht gerade dem Erwartungswert E(x).
Nun gibt es ja die bedingung
f(-x) = f(x) --> Achsensymmetrisch bezüglich y-Achse.
Doch hier muss es ja nicht die Y Achse sein. Wie lautet dann die bedingung? Auf Seite 2 unten bei diesem Skript steht da was, aber bringen tut mir das nicht viel. denn dazu muss mir ja die senkrechte Symmetrie Achse bekannt sein
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 Di 07.02.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Kuriger,
das auf Seite 2 unten ist die Definition und auf der Seite 3 oben steht ein Verfahren, das man anwenden kann, um über die Dichteverteilung den Erwartungswert zu bestimmen. Hierbei kannst Du also den Erwartungswert über eine variable Integralgrenze bestimmen, die so gelegt wird, dass die Fläche unter der Dichtekurve für zwei Teilintegrale gleich ist. Das eine Integral beginnt bei -Unendlich und geht bis zu dieser noch unbekannten Stelle x, das zweite beginnt dort und endet bei einem Wert von Unendlich.
Das führt also auf folgenden Audruck:
[mm] \int_{-\infty}^{x} f_x \, dx = \int_{x}^{\infty} f_x \, dx [/mm]
Viele Grüße,
Infinit
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